5.1.4方阵的多项式单位矩阵：主对角线上全是1，其余元素全是0的方阵称为单位矩阵，记为I，或Inxn单位矩阵也可以记为E，或E.它有如下性质：I,Anxm = Anxm, AnxmIm=Anxmnxmnxmmnxm规定：A°= I方阵A的方幂：A·A......A= Ak设多项式f(x)=a,x"+an-xn-I +...+ax+ao那么,f(A)=a,A" +an--A"-I +....+a,A+a.I在多项式的等式中，用A代x可以作出形式相同的矩阵等式
5.1.4 方阵的多项式 单位矩阵 :主对角线上全是1,其余元素全是0的方阵称为单位矩 阵, 记为 n I 或 I 1 1 0 0 n n 单位矩阵也可以记为 En或E .它有如下性质: , n An m An m I n m m An m A I 方阵A的方幂: k A A.A A 规定: A I 0 设多项式 1 0 1 1 f (x) a x a x . a x a n n n n 那么, f A a A a A a A a I n n n n 1 0 1 1 ( ) . 在多项式的等式中, 用A代x可以作出形式相同的矩阵等式
5.1.5矩阵的转置aila12dina21a22a2n设A=daamlm2mn把矩阵A的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵记为A'或AT转置有下面的性质(9) (A')= A(10) (A+ B)'= A'+B(11) (AB)=B' A
5.1.5 矩阵的转置 设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a 把矩阵 A 的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵 A 的转置矩阵, 记为 A' 或 . T A 转置有下面的性质: (9) (A')' A (10) (A B)' A'B' (11) AB' B'A
5. 2可逆矩阵矩阵的乘积的行列式一、内容分布5.2.1可逆矩阵的定义5.2.2可逆矩阵的性质5.2.3初等矩阵的定义、性质5.2.4矩阵可逆的判别5.2.5逆矩阵的求法5.2.6矩阵乘积的行列式教学目的二茶掌握逆矩阵的概念及矩阵可逆的判别2掌握求逆矩阵的方法，尤其是能熟练利用矩阵的行初等变换求逆矩阵。3了解初等矩阵与初等变换的关系三、重点、难点逆矩阵的求法矩阵可逆的判别
5.2 可逆矩阵 矩阵的乘积的行列式 一、内容分布 5．2．1 可逆矩阵的定义 5．2．2 可逆矩阵的性质 5．2．3 初等矩阵的定义、性质 5．2．4 矩阵可逆的判别 5．2．5 逆矩阵的求法 5．2．6 矩阵乘积的行列式 二、教学目的 1 掌握逆矩阵的概念及矩阵可逆的判别 2 掌握求逆矩阵的方法,尤其是能熟练利用矩阵的行初等变 换求逆矩阵。 3 了解初等矩阵与初等变换的关系 三、重点、难点 逆矩阵的求法 矩阵可逆的判别
5.2. 1可逆矩阵的定义定义1A为F上n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=I称A为可逆矩阵（非奇异矩阵），B称为A的逆矩阵例：-()-6932)=(BAA与B互为逆矩阵注1有零行或零列的矩阵不可逆
5.2.1 可逆矩阵的定义 定义1 A为F上n 阶方阵，若存在n阶方阵B，使 AB = BA = I 称A为可逆矩阵（非奇异矩阵），B称为A的逆矩阵. 例： A B 0 1 1 0 1 3 2 5 1 2 3 5 1 2 3 5 1 3 2 5 A与B互为逆矩阵. 注1 有零行或零列的矩阵不可逆
5. 2. 2可逆矩阵的性质①A可逆，则A的逆矩阵唯一证设B,C均为A的逆矩阵，则AB=BA-IAC=CA-IB=BI=BAC= (BA) C=IC=CA可逆，则 A-1 可逆，且（A-'）-I = A证注意到 A(A-")=A-"A= I即得A，B可逆，则AB也可逆，且（AB)-=B-"A-1证注意到 AB(B-"A-")=(B-IA-")AB=I 即得④A可逆，则A'可逆，且(A')-=（A-)证AA- = A由=I有(A-)A'=A(A.)=I
5.2.2 可逆矩阵的性质 ① A可逆，则A的逆矩阵唯一。 证 设B,C均为A的逆矩阵 ，则 AB = BA =I,AC = CA =I B = BI = BAC =（BA）C = IC = C 证 注意到 A A A A I 即得. 1 1 ( ) 证 注意到 AB B A B A AB I 即得. ( ) ( ) 1 1 1 1 ④ A可逆，则 , ( ) ( ) 1 1 A 可逆 且 A A ② A可逆，则 A 1 可逆，且 A A 1 1 ( ) 由 有 . AA A A I 1 1 A A A A I ( ) ( ) 1 1 证 ③ A，B可逆，则AB也可逆，且 . 1 1 1 ( ) AB B A