解：()c0s15°=c0s450-30)=c0s45c0s30°+sin45sin30°-V6+v2 4 sin 15-sin(45-30)-sin 45cos 30-c 45sin 6- 由余弦定理，得c2=a2+b2-2abc0sC=4+8-2V2×(V6+V2)=8-4V3,所 以c=V6-V2. 又由正孩定理得，品=C则品 解得血4片 4 又b2+c2-2>0,即c0sA>0,所以A为锐角，即A=30°. 故B=180°-(A+C)=180°-(30°+15)=135°
导航 解:(1)cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°= 𝟔+ 𝟐 𝟒 , sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°= 𝟔- 𝟐 𝟒 . 由余弦定理,得 c 2 =a2 +b2 -2abcos C=4+8-2 𝟐 ×( 𝟔 + 𝟐)=8-4 𝟑,所 以 c= 𝟔 − 𝟐. 又由正弦定理,得 𝒂 𝐬𝐢𝐧𝑨 = 𝒄 𝐬𝐢𝐧𝑪 ,则 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝑨 = 𝟔- 𝟐 𝟔- 𝟐 𝟒 ,解得 sin A=𝟏 𝟐 . 又 b 2 +c2 -a 2 >0,即 cos A>0,所以 A 为锐角,即 A=30°. 故 B=180°-(A+C)=180°-(30°+15°)=135°
(2)因为>c>b,所以A为最大角， 导航 由余弦定理，得cos42+c2Q= 32+52-721 2bc 2×3×5 2 叉0°<4<180°，所以A=120,所以siA=sin1200= 2 由正弦定理，得 sin 1-sinc 所以sinC-csin4 5x2 5V3 a 7 14 所以最大角A为120°，sinC的值为5v3 141
导航 (2)因为 a>c>b,所以 A 为最大角, 由余弦定理,得 cos A=𝒃 𝟐 +𝒄 𝟐-𝒂 𝟐 𝟐𝒃𝒄 = 𝟑 𝟐 +𝟓 𝟐 -𝟕 𝟐 𝟐×𝟑×𝟓 =- 𝟏 𝟐 , 又 0°<A<180°,所以 A=120°,所以 sin A=sin 120°= 𝟑 𝟐 . 由正弦定理,得 𝒂 𝐬𝐢𝐧𝑨 = 𝒄 𝐬𝐢𝐧𝑪 , 所以 sin C=𝒄𝐬𝐢𝐧𝑨 𝒂 = 𝟓× 𝟑 𝟐 𝟕 = 𝟓 𝟑 𝟏𝟒 . 所以最大角 A 为 120°,sin C 的值为𝟓 𝟑 𝟏𝟒
导 延伸探究 例1(2)改为：在△ABC中，已知sinA:sinB:sinC=7:3:5,求 最大角. 解：.sinA:sinB:sinC=7:3:5, ‘.a:b:c=7:3:5. 设=7t(>0),则b=3t,c=5t,.>c>b∴A最大 :cos4b2+c2-a2=302+5t2-(72_ 2bc 2×3t×5t 2 又0°<A<180°，∴A=120°
导航 例1(2)改为:在△ABC中,已知sin A∶sin B∶sin C=7∶3∶5,求 最大角. 解:∵sin A∶sin B∶sin C=7∶3∶5, ∴a∶b∶c=7∶3∶5. 设a=7t(t>0),则b=3t,c=5t,∵a>c>b,∴A最大. 又0°<A<180° ,∴A=120° . ∵cos A=𝒃 𝟐 +𝒄 𝟐-𝒂 𝟐 𝟐𝒃𝒄 = (𝟑𝒕) 𝟐 +(𝟓𝒕) 𝟐 -(𝟕𝒕) 𝟐 𝟐×𝟑𝒕×𝟓𝒕 =- 𝟏 𝟐