元素法的一般步骤: 1)根据问题的具体情况,选取一个变量例如为 积分变量,并确定它的变化区间[a,b 2)设想把区间[a,b分成t个小区间,取其中任 小区间并记为x,x+dx],求出相应于这小区 间的部分量△U的近似值如果U能近似地表示 为[a,b上的一个连续函数在x处的值∫(x)与dx 的乘积,就把∫(x)4x称为量的元素且记作 U,即山U=∫(x)l;
元素法的一般步骤： 1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为 积分变量，并确定它的变化区间[a,b]； 2）设想把区间[a,b]分成n 个小区间，取其中任 一小区间并记为[x, x + dx]，求出相应于这小区 间的部分量U 的近似值.如果U 能近似地表示 为[a,b]上的一个连续函数在x 处的值 f ( x)与dx 的乘积，就把 f ( x)dx称为量U 的元素且记作 dU ，即dU = f ( x)dx；
3)以所求量的元素∫(x)小x为被积表达式,在 区间nb上作定积分,得U=J(x)d, 即为所求量的积分表达式 这个方法通常叫做元素法 应用方向: 平面图形的面积;体积;平面曲线的弧长 功;水压力;引力和平均值等
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx为被积表达式，在 区间[a,b]上作定积分，得 = b a U f (x)dx， 即为所求量U 的积分表达式. 这个方法通常叫做元素法． 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
三、直角坐标系情形 y=∫(x) y=f2(x) y:=f(r) xx+△ of a xax b x 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 A=/(x)dx A=I(x)-fi(x)ldx
x y o y = f (x) a b x y o ( ) y = f 1 x ( ) y = f 2 x a b 曲边梯形的面积 = b a A f (x)dx 曲边梯形的面积 = − b a A [ f2 (x) f1 (x)]dx 二、直角坐标系情形 xx + x xx
例1计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的 图形的面积 解两曲线的交点 (0,0)(1,1) y=p 选x为积分变量x∈|0, 面积元素d4=(x-x2)d
例 1 计算由两条抛物线y = x 2 和 2 y = x 所围成的 图形的面积. 解 两曲线的交点 (0,0) (1,1) 面积元素 dA ( x x )dx 2 = − 选 x 为积分变量 x[0,1] A ( x x )dx 2 1 0 = − 2 y = x 2 x = y
例2计算由曲线y=x3-6x和y=x2所围成 的图形的面积 6x 解两曲线的交点 y=x y=x →(0,0),(-2,4),(3,9) 选x为积分变量x∈|-2,3 (1)x∈|-2,01,d41=(x3-6x-x2) (2)x∈|0,3l,d42=(x2-x3+6x)d
例 2 计算由曲线y x 6x 3 = − 和 2 y = x 所围成 的图形的面积. 解 两曲线的交点 (0,0), (−2,4), (3,9). = = − 2 3 6 y x y x x 选 x 为积分变量 x[−2, 3] (1) x[−2, 0], dA (x 6x x )dx 3 2 1 = − − (2) x[0,3], dA (x x 6x)dx 2 3 2 = − + 2 y = x y x 6x 3 = −