详细证明：（根据黄昆书4.1节p154) 由于势场的周期性反映了晶格的平移对称性，可定义 一个平移对称操作算符T,使得对于任意函数f(r)有 Taf(r)=f(r+aa) 这里，a,0=1,2,3是晶格的三个基矢。 显然，它们是互易的： T.Tof(r)=Tf(r+an)=f(r+ap+a.) =TeTaf(r) TaTB-TB Ta=0
详细证明：（根据黄昆书 4.1节p154） 由于势场的周期性反映了晶格的平移对称性，可定义 一个平移对称操作算符 Ta，使得对于任意函数 f (r) 有 Ta a f f (r) = + (r a ) 这里，aa，a＝1, 2, 3是晶格的三个基矢。 显然，它们是互易的： TaTb f (r) = Ta f f (r + ab ) = (r + + a a b a ) T T f ( ) = b a r TaTb－ Tb Ta = 0
晶体中单电子运动的哈密顿量应具有晶格周期性： fo=.+Uor四 [-+Gr+)+a) 2m [-+vo)fu+a） 2m 即：平移算符和晶体中电子的哈密顿量是互易的
晶体中单电子运动的哈密顿量应具有晶格周期性： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 T Hf T U f m a a é ù = - Ñ + ê ú ë û h r r r r ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 U f m U f m a a a a + é ù = - Ñ + + + ê ú ë û é ù = - Ñ + + ê ú ë û h h r a r r a r a r r a ( ) ( ) ( ) 2 2 2 U T f HT f m a a é ù = - Ñ + = ê ú ë û h r r r r 即：平移算符和晶体中电子的哈密顿量是互易的
即：T。H一HT。=0 根据量子力学可知，可对易的算符T和H有共同本征态。 设w()为其共同本征态，有 Hw(r)=Ev(r) (设为非简并) Tw(r)=w(r+a)=xw(r) 0=1,2,3 其中入是平移算符T的本征值。为了确定平移算符的本征 值，引入周期性边界条件。 设晶体为一平行六面体，其棱边沿三个基矢方向，N,N2 和N3分别是沿a1,和a方向的原胞数，，即晶体的总原胞数 为N=NN2N3
即：Ta H－H Ta ＝0 根据量子力学可知， 可对易的算符 Ta和 H 有共同本征态。 设y(r)为其共同本征态，有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H E Ta a a y y y y l y = = = r r { r r + a r a＝1, 2, 3 其中 la是平移算符 T a的本征值。为了确定平移算符的本征 值，引入周期性边界条件。 设晶体为一平行六面体，其棱边沿三个基矢方向，N1，N2 和N3分别是沿a1，a2和a3方向的原胞数，，即晶体的总原胞数 为 N＝N1N2N3 。 （设为非简并）
周期性边界条件：y(r)=y(r+N。a) w(r+Naa)=Tw(r)=aw(r)=w(r) 得入=1=e2rhu h=整数，=1,2,3 所以 引入矢量 这里b1,b2和b3为倒格子基矢，于是有 入n=eka aa·bg=2πdB
周期性边界条件： y y (r) = + (r a Na a ) 而 ( ) ( ) ( ) ( ) N N N T a a y r + a aa = a a y r = = l y y r r 得 2 1 N i h e a a p la = = ha＝整数， a＝1, 2, 3 所以 2 exp h i N a a a p l æ ö = ç ÷ è ø 引入矢量 1 2 3 123 1 2 3 h h h N N N k = b + + b b 这里b1，b2和b3为倒格子基矢，于是有 i e a la × = k a 2 a b pdab a b× =
w(r+R)=Ψ(r+4+l242+l343) =TT22Ty(r)=12223y(r） =exp[k.(04+(24+(,4)]w(r) .y(r+R)=eRy(r） 定义一个新函数：2 g(r)=ewk(r) ug(r+R)=e(s(r+R) eikreik.ekkw(r) =ek"y(r)=4,(r) 这表明uk()是以格矢R为周期的周期函数。证毕
y y (r + Rl ) = (r + l1 a1 + + l l 2 a a 2 3 3 ) ( ) ( ) 1 2 3 3 1 2 = = T1 T T 2 3 y l1 l2 3 l y l l l l l l r r ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 = exp é ù i × + + y ë û k l a l l a a r ( ) ( ) i y y e × \ = l l k R r + R r 定义一个新函数： ( ) ( ) i u e y - × = k r k k r r ( ) ( ) ( ) i u e y - × + + = + l l l k r R k k r R r R ( ) i i i e e e y - × - × × = × l l k r k R k R k r ( ) ( ) i e u y - × = = k r k k r r 这表明 uk (r) 是以格矢 Rl 为周期的周期函数。证毕