Shodinger方程的解以晶体长度 为周期重复: (X)=Y(X+D) r(X=y(x+a 平(x)是周期场中哈密顿算符的本 征函数,屮(x)也是平移算符的本 征函数 HY(X=P(X) TY(X=CP(X) c为r算符的本征值
(X ) (X L) T (X ) (X a) (x) (x) H (X ) (X ) ε T (X ) c(X ) T
当用平移算符重复作用时 平(x+2a)=T平(x+a)=c(x) p(x+a)=Tp(x=cp(x 将平移算符在波函数上作用N次, Tx+(N-1)a=Y(x+Na)=cY(x)
(x 2a) T ( ) ( ) 2 x a c x (x a) T (x) c(x) T x (N 1)a (x Na) c (x) N
按周期性边界条件: p(x+ Na=p(x) l= Na N=1这是由平移对称性得到的。 于时c=则x+0=82( 2m2丌 k Na L (周期性边界条件下 k的允许值) p(x+a=eyp(x) 这正是一维点阵中 Bloch定理的表 达式
(x Na) (x) L Na 1 N c N n i c e 2 (x a) N n i e 2 (x) n Na L n k 2 2 (x a) e (x) ika
对三维晶体在x、y、z方向 都用周期性边界条件和平移算 符,同样可得: p(r+T)=emp(r) ikT
(r T ) e (r) ik T ik T c e
在以上的证明中,我们没 有用到周期势的性质和波函数 的具体形式,只用了平移对称 性, Bloch定理是晶体平移对称 性的直接结果,不仅适用于周 期场中的电子的本征态,而且 适用于严格具有完全的平移对 称性的体系,它的所有本征函 数都具有 Bloch函数的形式