《固体物理学导论》课程PPT教学课件：第七章 能带Ⅰ

2〉 Bloch波函数是周期势场 中电子的本征函数,这个波在 晶体空间是自由(均匀)传播 的,既不随时间和空间而衰减, 也不会在传播过程中突然改变 形态,即不会由一个 Bloch波变 成另一个 Bloch波

Bloch定理的证明: 首先从正空间证明。 先定义平移算符,若点阵的平移矢量是, T=ua+vb +wc 当1.取一系列整数值时,它代表平 移矢量群,对此,我们可定义平移算符 77f()=f(F+7) 把平移算符作用在 Shodinger方程中的上得 TT HY(r) H(r+T)TY(r)

uv.w   TT f (r)   f (r T )    T T H (r)      H(r T )     TT (r)     T ua vb wc       

∵H-2m P+∪(r) 有平移不变性,在周期场中 H(F+7)=H(7) THH(F)HT平(7)

H (r)    H   2 2 2 P m  (r)    H H(r T )     H(r)   T T H (r)      H T T (r)     

平移算符与哈密顿算符是对易算符, 据量子力学可知,对易算符有相同的本 征函数,即应的本征函数也就是的本 征函数。 若T·俨′是同一平移矢量群中的任意两 个矢量,则 77r平(F)=T7r平(F)=r+产()=甲(F+7+7) 这就是说同一平移矢量群中的两个平移 算符彼此是对易的

H  T T  T T   (r) T T                ( ) ( ) ' T T T T r T T T T r       (r T T)   

现在就一维情况来证明 Bloch定 理 考虑长为L的一维晶体,有N个 初基晶胞,L=Na,固体物理考虑 的都是理想晶体,不考虑边界, 为排除晶体的有限尺寸对问题的 限制,采用周期性边界条件,即 把晶体首尾相接成一个环型晶体