实际的势场并非是上面的简单形式, 而是一个复杂函数,但可用倒易点阵矢 量展成付氏级数,展成余弦势的叠加, 在一级近似下,在Bz边界都有能量间隙。 2丌 l cos -nx E 能隙的大小等于相应的傅立叶分量,Un 是收敛的,能隙的宽度越来越小
u(x) n n u nx a2 cos Eg un
§2、 Bloch定理 在存在周期性势场时,电子满足的 Shodinger方程为: V2+U(7)(F) 其中∪()=∪(+7) Bloch定理是关于周期势场中单电子 Shodinge方程的本征解的形式的问题
( ) ( ) ( ) 2 2 2 r r r m h k k k (r) r T
Bloch定理: 对于一个周期势场,单电子 Shodinger 方程的解必定具有形式: )=U(r)elk 即波函数为一个周期性函数与一个平 面波相乘的形式,其中Uk()是一个 具有晶体点阵周期性的函数。 U(F)=∪k(F+7) 7为点阵平移矢量
k (r) k (r) ik r e k k k (r) (r) r T T
把波函数平移点阵平移矢量可得 平(+7)=Uk(F+7)e k(F+7) =Uk(F)e·e=k(F)·e“ 这也是 Bloch定理的另一种表达式, 利用这种表达式 Bloch定理可叙述为 周期势场中单电子 Shodinger方程的 本征函数()可以这样来选取,使得 与每个甲()相联系的有一个波矢k 满足: H(F+7)=H(F) ik·T
(r T ) k k (r T ) ik (r T ) e ik r ik T K r e e ( ) ik T K r e ( ) (r) k (r) k k (r T ) k (r) k ik T e
由 Bloch定理可得两个重要结论: 〈1〉 Bloch定理表明周期势场中 电子的本征函数有 Bloch函数的形 式,是一个被周期场调幅了的平面 波,平面波的振幅具有周期势场的 周期性,这与自由电子的波函数不 同,自由电子的波函数是一个平面 波