有两种形态的驻波: p(+)=e a +e a=2 cos p(=e -e a=isin 这是由自由电子的行波在Bz边界上的 Bragg 反射而形成的,两个驻波使电子聚积在不同 的区域内。 N(+)2=p(+)cos3 ( cc SIn
a x e e x a x i a i () 2cos a x e e i x a x i z i () 2 sin x a π ρ 2 2 () （） cos x a π ρ 2 2 （） （） sin
(+
下面我们分别计算一下这两种情况下 电子的平均能量。 p(+)这种分布时的能量低,p(-) 分布时能量高,电子的平均能量是不同的 没有周期势场的E-k曲线是一条抛物线, 在有周期势场存在时,在Bz边界上分裂成 两个波函数,相应的能量也分成两个 个E、一个E,可以证明,对平(+的电子的 能量与屮()的电子的能量是不同的,这个 能量差就是能隙,这个能隙就是所谓的禁 带
() ()
为简单起见,我们考虑势场是谐和势(简 谐势) U(x)=ncos2zx对于L=1的单位晶体 平(+)=√2 cosx平(-)=√2 丌 sin-x √2为归一化因子,对p(+).p 算平均能量 p(+) p (+)u(x)dx p p (-)u(x)dx ∫p(+)vxk-」9(-)(x)h
x a x u 2 ( ) cos () 2 cos x a () 2 sin x a 2 1 0 u(x)dx 1 0 u(x)dx Eg 1 0 u(x)dx 1 0 u(x)dx
丌 cOS sin x)cos-xdx a k 2π3丌 aa
2u 10 x a 2 cos x a 2 sin xdx a2 cos u