运筹学同步辅导及习题全解班次时间所需人数52022:00~2:006302:00~6:00设司机和乘务人员分别在各时间区段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路至少配备多少名司机和乘务人员。列出这个问题的线性规划模型。分析本题考查了线性规划模型的建立。解设（k=1，2.3.4，5，6）表示名司机和乘务人员第k班次开始上班。由题意，有min=++++r+r6+≥60ri+≥70+≥60s.t.+≥50r,+rs≥20rs+r≥3011,12,s,14,15,1≥0O1.10某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中A、B、C含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如表1一20所示。表1-20原料成本每月限制用量甲乙原料丙（元/千克）（千克）A≥60%≥15%2.002000B1.502500c≤20%≤60%≤50%1.001.200加工费（元/千克）0.500.400.30售价3.402.852.25问该厂每月应生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大？试建立这个问题的线性规划的数学模型。解设r1,2s分别为甲糖果中A,B,C的成份；r4，a5，分别为乙糖果中A,B.C的成份；x，rs，，分别为丙糖果中A，B，C的成份。由题意，有max=(3.400.50)X(r+2+g)+(2.85-0.40)X(r+rs+r)+(2.25-0.30)×(r+rg+rg)-2.00X(i+r+r)-1.50X(r2+rs+rg)-1.00×(rs+r+rg).26
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第一章线性规划与单纯形法≥0.6r+a+rss≤0.2r+r+rsr4≥0.15r+rs+a≤0.6s.t.r+rs+r2g≤0.5r+1+g++≤2000++≤2500++≤120012,s,,a,,g≥0对上式进行整理得到所求问题的线性规划模型maxz=0.9ri+1.4r2+1.9rs+0.45r+0.95rs+1.45r-0.05r+0.45r+0.95g0.4+0.62+0.6≤0-0.2-0.2x2+0.8≤0-0.85r+0.15rs+0.15r≤0-0.6—0.6s+0.4r≤00.5r,-0.5r+0.5r.≤0s.t.3++≤2000+rs+≤2500++g≤120011,2,s,,1,16,r,1s,1g≥0O 1.11某厂生产三种产品I，Ⅱ，Ⅲ，每种产品要经过A，B两道工序加工。设该厂有两复种规格的设备能完成A工序，它们以A1，A，表示；有三种规格的设备能完成B工序，它们以B，Bz，B，表示。产品I可在A，B任何一种规格设备上加工。产品Ⅱ可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B，设备上加工：产品Ⅲ只能在A，与B，设备上加工。已知在各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如下表（表1一21），要求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。表1-21品产满负荷时的设备设备有效台时IIIIII设备费用（元）Al510300600079A21232110 0008Bi62504.00011B247837.000Bs2004.0000.250.350.50原料费（元/件）1.252.002.80单价（元/件）·27
A*B !"#$%&’() ,"-" &! &!2&$ $+5= &$ &!2&$ #+5# &/ &/2&;2&= $+5!; &= &/2&;2&= #+5= &< &?2&>2&< #+5; &!2&/2&?##+++ &;2&>##;++ &$2&=2&<#!#++ &!$&#$&$$&/$&;$&=$&?$&>$&<$ % & ’ + ª_0ÍÙt¸µLPQpMN@OW= %&’!*+5<&!2!5/!5<&$2+5/;&/2+5<;&;2!5/;&=8+5+;&?2+5/;&>2+5<;&< ,"-" 8+5/&!2+5=+5=&$#+ 8+5#&!8+5#+5>&$#+ 8+5>;&/2+5!;&;2+5!;&=#+ 8+5=&/8+5=&;2+5/&=#+ 8+5;&?8+5;&>2+5;&<#+ &!2&/2&?##+++ &;2&>##;++ &$2&=2&<#!#++ &!$&#$&$$&/$&;$&=$&?$&>$&<$ % & ’ + *!5!! -.(Ey()’$($*$+y():·5 7$8 Ú5ÚÝ5’÷/-jÚ y@p÷Ì0Ûá7 5Ú$uÜZ7!$7# ¯&jEy@p÷Ì0Ûá8 5 Ú$uÜZ8!$8#$8$ ¯’()’Y\7$8 ý-y@÷Ì_Ý5’()( Y\ý@p7 ÷Ì_Ý5$aÛá8 5ÚR$c0\8! ÷Ì_Ý5&()* c0\ 7#¨8# ÷Ì_Ý5’¶\³yÆÝ÷ÌpI,5R$sÞ~@$() ßÕ:$³ y ÷ Ì j ª à R Z ¬ õ ì á â ‘ R Æ Ý ÷ Ì p @ e $ ¾ ¯ !¯ !8#!"$:LCD}Bp.(¹O$Ñ/-Øã}ä’ ¯ !8#! ÷ Ì ( ) ’ ( * ÷ÌjªàR õìáRp ÷Ì@e!Ë" 7! ; !+ =+++ $++ 7# ? < !# !++++ $#! 8! = > /+++ #;+ 8# / !! ?+++ ?>$ 8$ ? /+++ #++ s~@!Ë-," +5#; +5$; +5;+ I:!Ë-," !5#; #5++ #5>+ ("’(
运筹学同步辅导及习题全解解对产品I来说，设以A，A完成A工序的产品分别为，2件，转人B工序时，以B,Bz,Bs完成B工序的产品分别为s，.s件；对产品I来说，设以AAz完成A工序的产品分别为x，，件，转入B工序时，以B完成B工序的产品为工件；对产品Ⅲ来说，设以A，完成A工序的产品为r件，则以B完成B工序的产品也为工。件。由上述条件可得：ri+r2=r+a+rsa+=rs由题目所给的数据可得到解此问题的数学模型为：maxz=(1.25-0.25)X(r+r2)+(2.00-0.35)X(r+r）300+(2. 80-0.50)XrgX(5r+10r）6000321250X(6rs+8r)X(72+9+12xg)100004000783200X7rsX(4r+1lrg)700040005r+10r≤60007r2+9r,+12rg≤100006r+8r≤40004r+11r≤7000s.t.7≤4000+=++s+=rs0解之得最优解为：r=1200,r=230,rj=0,=859,rs=571,r=0,i=500,r:=500,a,=324。最优值为1147元。.28
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第二章对偶理论和灵敏度分析内容提要一、原问题与对偶问题的关系若某线性规划（原问题）约束系数矩阵为A，约束条件右端为向量b，目标函数中的价值系数向量为C，则其对偶问题形式如表2-1所示。表 2-1原问题（对偶问题）对偶问题（原问题）minwb;y目标函数maxCt有n个（j=1,,n）r,(j=l,...,n)W!aiyiZc3≥0变约束条件Zauy.<c量r,<0anyi=cj1,无约束合1有m个（i=1，，m）y(i=l,..",m)Wi约束条件Sbagr变Ji≥0agrj≥bi量J≤0正肉J无约束agr,=b29
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运筹学同步辅导及习题全解二、对偶理论及其性质1.对称性：对偶问题的对偶是原问题。2.弱对偶性：若x是原问题的可行解，Y是对偶问题的可行解，则有CX<Y3.无界性：若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。4.可行解是最优解时的性质：设X是原问题的可行解，Y是对偶问题的可行解，当CX=Yb时，X、Y均为最优解。5.对偶定理：若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且目标函数值相等。6.互补松弛性：若X、Y分别是原问题和对偶问题的可行解，那么XXs=0和YsX=0当且仅当X、Y为最优解。7.设原问题是max=CX;AX+Xs-b;X,Xs≥0它的对偶问题是minw-Yb:YA-Ys-C,Y,Ys≥>0则原问题单纯形表的检验数行对应其对偶问题的一个基解。三、对偶单纯形法1.对偶单纯形法与单纯形法的区别对偶单纯形法是运用对偶原理求解原问题的一种方法，而不是求解对偶问题的单纯形法。它和单纯形法的主要区别在于：单纯形法是从一个原始问题的基本可行解转到另一个基本可行解，即迭代中始终保持原问题的可行性，亦即常数列b0，而检验数c=C一CB-1A=C-YA由有正分量逐步变为全部≤0（即变为满足YA≥C,Y是对偶问题的基本可行解）为止。对偶单纯形法则是保持对偶问题解是基本可行解（即全部检验数。≥0），而原问题在非可行解（即常数列b有负的分量）的基础上通过逐步送代达到基本可行解（即常数列6全部≥0）。这样，同时得到原问题和对偶问题的最优解。2.对偶单纯形法的计算步骤（1）将问题化为标准型，列出初始单纯形表格。（2）若存在初始对偶可行的基本解，则进行送代。（3）检验b列的数字，若检验数全部非正而b列都为非负，则问题已得到最优解，终止送代：否则，若检验数全部非正而b列至少还有一个负分量，进行下一步。（4）确定换出变量，即按min((B-"b);/(B-"b),<0)=(B-"b)对应的基变量工，为换出变量。（5)确定换人变量：检查x所所在行的各系数a,（j=1,2，，n）。若所有a≥0，则无可行解停止迭代，若存在ag<0，按0法则，即.30
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