第四章积分 在引言中我们已经提到, Riemann积分在处理连续函数或者逐段连续函数时,在计算 些几何和物理的量时它是很有用的.但它也存在一些缺陷,使得 Riemann积分在处理分析数 学中的一些问题时显得不够有力.因此需要建立新的积分的理论二十世纪初, Lebesgue建 立了一种新的积分理论.新的积分理论消除了上述缺陷,并且包含了原有的 Riemann积分理 论.这就是本章将要介绍的 Lebesgue积分理论 由于现代数学的许多分支如概率论,泛函分析,群上调和分析等越来越多的用到一般 空间上的测度与积分理论,因此我们将在一般的测度空间上介绍积分理论 §41积分的定义 教学目的由于理论和应用的需要,需要建立新的积分理论本节在抽象 测度空间上定义可测函数的积分,并简单讨论可积条件 本节要点定义积分的过程分三个步骤,逐步定义非负简单函数,非负 可测函数和一般可测函数的积分.其中第一,二个步骤要验证定义的合理性 本节介绍的积分是在一般测度空间上的, Lebesgue积分是其特例 设(X,,)为一测度空间.我们通过三个步骤定义简单函数的积分 L.非负简单函数的积分 定义1设f=∑al4是一非负简单函数定义∫关于测度4的积分为 f=∑aA(A) 在不引起混消的情况下.∫,可简记为m 由定义知道这里d20.一般情况下|和d可能为+∞ 在上述定义中,∫d的值是确定的,即不依赖于∫的表达式的选取.事实上,设 f=∑b1是f的另一表达式注意到X=U4=UB,并且当当4AB,≠D时必 有a1=b,我们有
90 第四章 积 分 在引言中我们已经提到, Riemann 积分在处理连续函数或者逐段连续函数时, 在计算一 些几何和物理的量时它是很有用的. 但它也存在一些缺陷, 使得Riemann积分在处理分析数 学中的一些问题时显得不够有力. 因此需要建立新的积分的理论. 二十世纪初, Lebesgue 建 立了一种新的积分理论. 新的积分理论消除了上述缺陷, 并且包含了原有的Riemann积分理 论. 这就是本章将要介绍的 Lebesgue 积分理论. 由于现代数学的许多分支如概率论, 泛函分析, 群上调和分析等越来越多的用到一般 空间上的测度与积分理论, 因此我们将在一般的测度空间上介绍积分理论. §4.1 积分的定义 教学目的 由于理论和应用的需要, 需要建立新的积分理论.本节在抽象 测度空间上定义可测函数的积分, 并简单讨论可积条件. 本节要点 定义积分的过程分三个步骤, 逐步定义非负简单函数, 非负 可测函数和一般可测函数的积分. 其中第一, 二个步骤要验证定义的合理性. 本节介绍的积分是在一般测度空间上的, Lebesgue 积分是其特例. 设(X, F ,µ) 为一测度空间. 我们通过三个步骤定义简单函数的积分. I. 非负简单函数的积分 定义 1 设 1 i n i A i f a I = =∑ 是一非负简单函数.定义 f 关于测度 µ 的积分为 X fdµ ∫ = 1 ( ). n i i i a A µ = ∑ 在不引起混淆的情况下, X fdµ ∫ 可简记为 ∫ fdµ . 由定义知道这里 ≥ 0. ∫ fdµ 一般情况下 ∫ fdµ 可能为 + ∞. 在上述定义中, ∫ fdµ 的值是确定的, 即不依赖于 f 的表达式的选取. 事实上, 设 ∑= = m j j Bj f b I 1 是 f 的另一表达式. 注意到 , 1 1 ∪ ∪ m j j n i X Ai B = = = = 并且当当 Ai ∩ Bj ≠ ∅ 时必 有 , ai = bj 我们有
∑a,(4)=∑∑a川(A1∩B)=∑∑b(4∩B)=∑b,(B) 这表明的∫值不依赖于的表达式的选取 上面定义的非负简单函数的积分,在 Lebesgue测度空间的情形有明显的几何意义.例 如若∫=∑a,L为b上的非负阶梯函数,其中J…,为[ab]上的互不相交的子 区间,则 =∑am()=∑a 恰好是函数∫的下方图形{(x,y):a≤x≤b,0≤y≤f(x)}的面积(见图4_1)若 ∫=∑a是[ab]上一般的非负简单函数,其中J…J是[a小]上互不相交的L可测 集,则|fdm也可以想象为某个平面图形的面积借助于非负简单函数的几何意义,读 者可以自己作出下面将要定义的非负可测函数和一般可测函数积分的几何解释 f(x O J.J. J.J. b 图41 当然在一般测度空间的情形,积分d无几何意义可言.但仍可以看成是一种加权 和,而 4()J则可以看成是∫在x上的一种平均值 例1设A是一可测集,则A的特征函数是非负简单函数.因此
91 ∑ ∑∑ = == = ∩ n i n i m j i i i Ai Bj a A a 1 11 µ( ) µ( ) ∑∑= = = ∩ m j n i i Ai Bj b 1 1 µ( ) ( ). 1 j m j ∑bj B = = µ 这表明的 ∫ fdµ 值不依赖于 f 的表达式的选取. 上面定义的非负简单函数的积分, 在 Lebesgue 测度空间的情形有明显的几何意义. 例 如, 若 i J n i i f ∑a I = = 1 为[a,b]上的非负阶梯函数, 其中 1, , n J J " 为[a,b]上的互不相交的子 区间, 则 [,] 1 1 ( ) n n i i ii a b i i fdm a m J a J = = ∫ = = ∑ ∑ 恰好是函数 f 的下方图形 {(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)} 的面积 ( 见 图 4—1). 若 i J n i i f ∑a I = = 1 是[a,b]上一般的非负简单函数, 其中 n J ,"J 1 是[a,b]上互不相交的 L 可测 集, 则 [,] a b ∫ fdm 也可以想象为某个平面图形的面积. 借助于非负简单函数的几何意义, 读 者可以自己作出下面将要定义的非负可测函数和一般可测函数积分的几何解释. 图 4—1 当然在一般测度空间的情形, 积分 ∫ fdµ 无几何意义可言. 但仍可以看成是一种加权 和, 而 ∫ µ µ fd (X ) 1 则可以看成是 f 在 X 上的一种平均值. 例 1 设 A 是一可测集, 则 A 的特征函数 A I 是非负简单函数. 因此 x y O a5 1 a 2 a a3 4 a 2 J 3 J 1 J 5 J 4 J f (x) a b
1x=1(4)=(4) 这个简单事实以后会经常用到 为进一步定义可测函数的积分,我们需要先证明非负简单函数积分的几个简单性质 定理2设∫,g是非负简单函数.则 ()je和d=c,(c20是实数) (i). U+g)du= sau+ gdu (i).若∫≤g (ⅳv)若g,Jn(n≥1)是非负简单函数,满足fn≤fnt(n≥1),并且 imf(x)28(x)处处成立,则imJf,d28d 证明(i)是显然的.(i).设 b 不妨设X=U4=∪B,则f,g可以写成 ∫=∑∑a14,8=∑∑b4 故不妨设∫=∑alEg=∑blE于是 (+g)du b)(E,)=∑a(E,)+∑b(E,)=+ i)不妨设f=∑a,l4,g=∑bl4由于∫≤gae,因此对任意i=1,…,n 当(A4)>0时,a1≤b,所以 ∫=2(4)=2h(4)=「 (iv)由于{/m}是单调增加的由(i)知道」fnd是单调增加的故极限 lim fnd存 在设g=∑bl4又设E是任意给定的,满足0<E<1.对每个=1…k和自然数
92 ∫ I d = 1⋅ (A) = (A). A µ µ µ 这个简单事实以后会经常用到. 为进一步定义可测函数的积分, 我们需要先证明非负简单函数积分的几个简单性质. 定理 2 设 f , g 是非负简单函数. 则 (i). ∫ ∫ c fdµ = c fdµ , ( c ≥ 0 是实数). (ii). ∫ ∫ ∫ ( f + g)dµ = fdµ + gdµ. (iii).若 f ≤ g a.e., 则 ∫ ∫ fdµ ≤ gdµ . (iv). 若 g, f (n ≥ 1) n 是非负简单函数 , 满 足 ( 1) f n ≤ f n+1 n ≥ , 并 且 lim f (x) g(x) n n ≥ →∞ 处处成立, 则 ∫ ∫ ≥ →∞ f n dµ gdµ n lim . 证明 (i).是显然的. (ii).设 ∑= = n i i Ai f a I 1 , . 1 ∑= = m j j Bj g b I 不妨设 . 1 1 ∪ ∪ m j j n i X Ai B = = = = 则 f , g 可以写成 , 1 1 ∑∑= = = ∩ n i m j i Ai Bj f a I . 1 1 ∑∑= = = ∩ m j n i j Ai Bj g b I 故不妨设 ∑= = n i i Ei f a I 1 ∑= = n i i Ei g b I 1 于是 ∫ ∑ ∑ ∑ ∫ ∫ + = + = + = + = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .. 1 1 1 f g dµ a b µ E a µ E b µ E fdµ gdµ n i i i n i i i n i i i i (iii). 不妨设 ∑= = n i i Ai f a I 1 , . 1 ∑= = n i i Ai g b I 由于 f ≤ g a.e. , 因此对任意 i = 1,",n, 当 µ(Ai) > 0时, , ai ≤ bi 所以 ( ) ( ) . 1 1 µ µ µ µ ∫ ∑ ∑ ∫ = = = ≤ = n i i i n i fd ai Ai b A gd (iv).由于{ }n f 是单调增加的,由 (iii) 知道 ∫ f n dµ 是单调增加的,故极限 ∫ →∞ f n dµ n lim 存 在.设 . 1 ∑= = k i i Ai g b I 又设 ε 是任意给定的, 满足 0 < ε < 1 . 对每个 i = 1,", k 和自然数
n≥1,令 An={x∈A1:f(x)≥(1-E)b} 则对每个i=1…,k,{4n}腔≥是单调增加的可测集列并且由于lmf(x)≥g(x),我们有 A=∪An对每个自然数n≥1,令 则{8n}是非负简单函数列满足gn≤fn,n≥1.由(ii)和测度的下连续性,我们得到 imJ,2mng4=lm∑(-(A,) ∑(1-(A)=(1-a) 由于E是任意的,我们得到imJf42gd4 引理3设∫是一非负可测函数{Jfn}是一非负简单函数列并且厂n个∫.则有 imJ,4=spsg∈S,并且gs∫ (其中S*表示非负简单函数的全体) 证明显然(1)式左边的极限存在并且小于或等于(1)式的右边反过来,设g是非负简 函数并且g≤由于im=f2g由定理2,必有mn∫,428d因此 imJd2p!sdg∈S:,并且gsf 所以(1)成立■ I.非负可测函数积分 定义4设∫是一非负可测函数定义∫关于测度的积分为 ∫=m∫f 其中{n}是非负简单函数列并且厂n个∫ 由31定理9上述的/是存在的又有引理3∫的值不依赖于/}的选取因此 ∫的定义是确定的而且我们也可以用()式的右边作为的定义这两种定义式等 价的
93 n ≥ 1, 令 { : ( ) (1 ) }. i,n i n i A = x ∈ A f x ≥ − ε b 则对每个i = 1,", k, , 1 { } Ai n n≥ 是单调增加的可测集列,并且由于 lim f (x) g(x) n n ≥ →∞ , 我们有 . 1 ∪ , ∞ = = n Ai Ai n 对每个自然数 n ≥ 1, 令 (1 ) . , 1 Ai n i k i n g ∑ b I = = − ε 则{ } gn 是非负简单函数列满足 g ≤ f ,n ≥ 1. n n .由(iii) 和测度的下连续性, 我们得到 (1 ) ( ) (1 ) .. lim lim lim (1 ) ( ) 1 , 1 ∑ ∫ ∫ ∫ ∑ = − = − ≥ = − = = →∞ →∞ →∞ ε µ ε µ µ µ ε µ b A gd f d g d b A i i k i i i n k i n n n n n 由于ε 是任意的, 我们得到 ∫ ∫ ≥ →∞ f n dµ gdµ n lim .■ 引理 3 设 f 是一非负可测函数,{ }n f 是一非负简单函数列并且 f f . n ↑ 则有 lim sup{ : , }. ∫ ∫ = ∈ ≤ + →∞ f d gd g S g f n n µ µ 并且 (1) (其中 + S 表示非负简单函数的全体). 证明 显然(1)式左边的极限存在并且小于或等于(1)式的右边.反过来,设 g 是非负简单 函数并且 g ≤ f . 由于 lim f f g, n n = ≥ →∞ 由定理 2, 必有 ∫ ∫ ≥ →∞ f n dµ gdµ n lim .因此 lim sup{ : , }. ∫ ∫ ≥ ∈ ≤ + →∞ f d gd g S g f n n µ µ 并且 所以(1)成立.■ II. 非负可测函数积分 定义 4 设 f 是一非负可测函数.定义 f 关于测度 µ 的积分为 ∫ ∫ →∞ fdµ = lim f dµ. n n 其中{ }n f 是非负简单函数列并且 f f . n ↑ 由§3.1定理9, 上述的{ }n f 是存在的.又有引理3,∫ fdµ 的值不依赖于{ }n f 的选取.因此 ∫ fdµ 的定义是确定的.而且我们也可以用(1)式的右边作为 ∫ fdµ 的定义. 这两种定义式等 价的
定理5设∫,g是非负可测函数.则 ()cf=c「,(c≥0是实数 (ii).(+g)du=l fdu+ gdu i)若∫sgae,则∫」gd 证明()和(i)是显然的.下面证明(i).设{fn}和{gn}是非负简单函数列使得 fn↑∫,8n↑g.由于∫≤gae.,我们可适当选取{fn}和{gn}使得 fn≤gn,a.e,n≥1.于是由定理2(i),我们有 ∫=lmnJ4slim」g,d-sd 故(i)成立■ I.一般可测函数的积分 定义6设∫是一可测函数,广和厂分别是∫的正部和负部若∫广d和Jd 至少有一个是有限的,则称∫的积分存在,并定义∫关于测度的积分为 ∫=∫d丁f 当∫d和d都是有限值时,称∫是可积的设EcX是一可测集厂是定义在E 上的可测函数.若fg的积分存在(或可积),则称∫在E上的积分存在(相应地,可积)并定 义∫在E上的积分为 fd du= fedu 测度空间(X,分,以)上的可积函数的全体记为L(X,,4)或者简记为L() 注注意∫的积分存在与∫可积之间的区别.当∫的积分存在的时候,其积分值可能 是有限的,也可能为土∞.只有当∫可积的时候,其积分值才是有限的另外非负可测函数 的积分总是存在的,但积分值可能为+∞.之所以允许积分值为±∞,是因为这样处理有时 会带来一些方便.例如可以使得某些定理的条件叙述得更简明一些 当测度空间(X,,4)取为 Lebesgue测度空间(R",M(R"),m)时相应的积分称为 Lebesgue积分.∫在L可测集E上的L积分记为」Jd.设EcR是L可测集,E上的 L可积函数的全体记为L(E).又设F是一单调增加的右连续函数,pF是由F导出的
94 定理 5 设 f , g 是非负可测函数. 则 (i). ∫ ∫ c fdµ = c fdµ , ( c ≥ 0 是实数). (ii). ∫ ∫ ∫ ( f + g)dµ = fdµ + gdµ. (iii). 若 f ≤ g a.e., 则 ∫ ∫ fdµ ≤ gdµ . 证明 (i) 和 (ii) 是显然的. 下面证明 (iii) . 设{ }n f 和{ } gn 是非负简单函数列使得 f f , n ↑ g g. n ↑ 由 于 f ≤ g a.e. , 我们可适当选取 { }n f 和 { } gn 使 得 f ≤ g , a.e., n ≥ 1. n n 于是由定理 2 (iii), 我们有 ∫ ∫ ∫ ∫ = ≤ = →∞ fdµ lim f dµ lim g dµ gdµ. n n n n 故(iii) 成立.■ III. 一般可测函数的积分 定义 6 设 f 是一可测函数, + f 和 − f 分别是 f 的正部和负部.若 µ ∫ + f d 和 ∫ − f dµ 至少有一个是有限的, 则称 f 的积分存在, 并定义 f 关于测度 µ 的积分为 ∫ ∫ ∫ + − fdµ = f dµ − f dµ. 当 µ ∫ + f d 和 ∫ − f dµ 都是有限值时, 称 f 是可积的.设 E ⊂ X 是一可测集, f 是定义在 E 上的可测函数. 若 E fI 的积分存在(或可积), 则称 f 在 E 上的积分存在(相应地,可积). 并定 义 f 在 E 上的积分为 E ∫ fdµ = E fI dµ ∫ . 测度空间(X , F ,µ) 上的可积函数的全体记为 L(X , F ,µ) 或者简记为 L(µ). 注 注意 f 的积分存在与 f 可积之间的区别. 当 f 的积分存在的时候, 其积分值可能 是有限的, 也可能为 ± ∞. 只有当 f 可积的时候, 其积分值才是有限的. 另外非负可测函数 的积分总是存在的, 但积分值可能为 + ∞. 之所以允许积分值为 ± ∞, 是因为这样处理有时 会带来一些方便. 例如可以使得某些定理的条件叙述得更简明一些. 当测度空间(X , F ,µ) 取为 Lebesgue 测度空间( , ( ), m) n n R M R 时,相应的积分称为 Lebesgue 积分. f 在 L 可测集 E 上的 L 积分记为 . E f dx ∫ 设 E ⊂ n R 是 L 可测集, E 上的 L 可积函数的全体记为 L(E). 又设 F 是一单调增加的右连续函数, µ F 是由 F 导出的