《高等数学复习》教程 第一讲函数、连续与极限 理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质(单调、有界、奇偶、周期) 几类常见函数(复合、分段、反、隐、初等函数) 极限 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 函数连续(左、右连续)与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质(最值、有界、介值) 二、题型与解法 A.极限的求法 (1)用定义求 (2)代入法(对连续函数,可用因式分解或有理化消除零因子) (3)变量替换法 (4)两个重要极限法 (5)用夹逼定理和单调有界定理求 (6)等价无穷小量替换法 (7)洛必达法则与 Taylor级数法 (8)其他(微积分性质,数列与级数的性质)
《高等数学复习》教程 第一讲 函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质 函数的基本性质(单调、有界、奇偶、周期) 几类常见函数(复合、分段、反、隐、初等函数) 2.极限 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续 函数连续(左、右连续)与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质(最值、有界、介值) 二、题型与解法 A.极限的求法 (1)用定义求 (2)代入法(对连续函数,可用因式分解或有理化消除零因子) (3)变量替换法 (4)两个重要极限法 (5)用夹逼定理和单调有界定理求 (6)等价无穷小量替换法 (7)洛必达法则与 Taylor 级数法 (8)其他(微积分性质,数列与级数的性质)
I lim arctan x-x arctanx-x =lim h(1+2x3) =-6(分小句必达 2已知lm56x+x(x)=0,求m+(x) x->0 6x+xf(x) =lm cos 6x+f(x)+x 解: =lm 36sin 6x+ 2y+xy = lim 216cos 6x+3y+xy 6 216+3y”(0) 0∴.y(0)= 6+f(x) y x-90x2x-02xx>02=36(溶必达) lim =lim==lim 3.im( -1(重要极限 4已知a、b为正常数,求lm( 解:令=(b3 )x,hnt=-[(a2+b2)-h2] lim In t= lim (a In a+bhn b)==hn( ab) b 变量聲换) 5. Iim(cos x 解:令t=(0x)+x),ht= ln(1+x2) In(cos x) lim In t= lim 2x-21=e2(变量参换 -tan x 1 f(dt 6设∫(x)连续,f(0)=0,f(0)≠0,求lm (洛必达与微积分性质) )x2,x≠0 7已知f(x) 在x=0连续,求 a.x 解:令a=lmh(cosx)/x2=-1/2(连续性的概念)
1. 6 1 2 arctan lim ln(1 2 ) arctan lim 3 0 3 0 = − − = + − − − x x x x x x x x (等价小量与洛必达) 2.已知 2 0 3 0 6 ( ) 0 lim sin 6 ( ) lim x f x x x xf x x x + = + − − ,求 解: 2 0 3 0 3 6cos6 ( ) ' lim sin 6 ( ) lim x x f x x y x x x f x x x + + = + − − 0 ''(0) 72 6 216 3 ''(0) 6 216cos6 3 '' ''' lim 6 36sin 6 2 ' '' lim 0 0 = = − + = − + + = − + + = − − y y x y x y x x y x y x x 36 2 72 2 '' lim 2 ' lim 6 ( ) lim 0 0 2 0 = = = = + − − − y x y x f x x x x (洛必达) 3. 1 2 1 ) 1 2 lim ( − − + x x x x x (重要极限) 4.已知 a、b 为正常数, x x x x a b 3 0 ) 2 lim ( + − 求 解:令 [ln( ) ln 2] 3 ) ,ln 2 ( 3 = + − + = x x x x x a b x t a b t 3/ 2 0 0 ( ) ln( ) 2 3 ( ln ln ) 3 lim ln lim t ab a a b b ab a b t x x x x x x = + = + = − − (变量替换) 5. ln(1 ) 1 0 2 lim (cos ) x x x + − 解:令 ln(cos ) ln(1 ) 1 (cos ) ,ln 2 ln(1 ) 1 2 x x t x t x + = = + 1/ 2 0 0 2 1 2 tan lim ln lim − − − = − = − = t e x x t x x (变量替换) 6.设 f '(x) 连续, f (0) = 0, f '(0) 0 ,求 1 ( ) ( ) lim 0 2 0 0 2 = − x x x x f t dt f t dt (洛必达与微积分性质) 7.已知 = = − , 0 ln(cos ) , 0 ( ) 2 a x x x x f x 在 x=0 连续,求 a 解:令 lim ln(cos )/ 1/ 2 2 0 = = − − a x x x (连续性的概念)
三、补充习题(作业) 12x=o=3(经) 2. lim ctx( )(溶必达成 Taylor) dh 1(溶必达与微积分性质) 第二讲导数、微分及其应用 、理论要求 1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导(基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导) 会求平面曲线的切线与法线方程 2微分中值定理理解 Roll, Lagrange、 Cauchy、 Taylor定理 会用定理证明相关问题 3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题,能画简图 会计算曲率(半径) 二、题型与解法 A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 2y=y(x)由h(x2+y)=x3y+snx决定,求 dy 解:两边微分得x=0时y= cost=y,将x=0代入等式得y=1 3y=y(x)由2=x+y决定,则dl=0=(h2-1)dtx B曲线切法线问题4求对数螺线尸=e在(p,0)=(e21,m/2)处切线的直角坐标方程。 x=e cos e 解 (0.,e12),y sin e =-X 5f(x)为周期为5的连续函数,它在x=1可导,在x=0的某邻域内满足 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+0(x)。求fx)在(6,f(6))处的切线方程
三、补充习题(作业) 1. 3 1 cos 1 lim 0 = − − − − − − x x e x x x (洛必达) 2. ) 1 sin 1 lim ( 0 x x ctgx x − − (洛必达或 Taylor) 3. 1 1 lim 2 2 0 0 = − − − − x x t x e x e dt (洛必达与微积分性质) 第二讲 导数、微分及其应用 一、理论要求 1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导(基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导) 会求平面曲线的切线与法线方程 2.微分中值定理 理解 Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor 定理 会用定理证明相关问题 3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题,能画简图 会计算曲率(半径) 二、题型与解法 A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1. − + = = = 2 5 arctan ( ) 2 t y ty e x t y y x 由 决定,求 dx dy 2. y y(x) ln( x y) x y sin x 2 3 = 由 + = + 决定,求 | x=0 = 1 dx dy 解:两边微分得 x=0 时 y' = y cos x = y ,将 x=0 代入等式得 y=1 3. y y x x y xy = ( )由2 = + 决定,则 dy dx x | (ln 2 1) =0 = − B.曲线切法线问题 4.求对数螺线 , / 2) / 2 = e 在( , )=(e 处切线的直角坐标方程。 解: ,( , ) | (0, ), '| 1 sin cos / 2 / 2 / 2 = = − = = = = x y e y y e x e y − e = −x / 2 5.f(x) 为周期为 5 的 连 续 函 数 , 它 在 x=1 可 导 , 在 x=0 的 某 邻 域 内 满 足 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求 f(x)在(6,f(6))处的切线方程
解:需求f(6),f(6或f(1),厂(1),等式取x>0的极限有:() lim /(+ sin x)-3/(l-sin x) sinter Im f(1+1)-f(1)2f(1-0)-f(1) 4厂(1)=8∴f(1) y=2(x C导数应用问题6已知y=f(x)对一切x满足xf'(x)+2x/(x)2=1-e 若(x)=0(x≠0),求(x0,y)点的性质 解:令x=x0代入,f"(x0) 0,x>0 >0x0<0 故为极小值点 7.y= ,求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。 (x-1)2 解:定义域x∈(-∞,1)∪(1 y=0→驻点x=0及x=3 y=0→拐点x=0;x=1:铅垂:y=x+2:斜 8求函数y=(x-1)e12+mx的单调性与极值、渐进线 →驻点x=0与x=-1,渐: (x-2)与 D.幂级数展开问题d sim(x-t sin x (2n+1)! 4n-1 (4n-1)(2n+1) 4n-1 (4n-1)(2n+1) 1)2dt (2n+1) 或:x-t=u= dr sin u(-du)=d sin lt 10求f(x)=x2h(1+x)在x=0处的m阶导数f(O)
解:需求 f (6), f '(6)或f (1), f '(1) ,等式取 x->0 的极限有:f(1)=0 4 '(1) 8 '(1) 2 2( 6) ] (1 ) (1) 3 (1 ) (1) lim[ sin (1 sin ) 3 (1 sin ) lim 0 sin 0 = = = = − − − + + − = + − − − = − f f y x t f t f t f t f x f x f x t x t x C.导数应用问题 6.已知 x y f x x xf x x f x e − = ( ) ''( ) + 2 [ '( )] =1− 对一切 满足 2 , '( ) 0( 0) 若f x0 = x0 ,求 ( , ) 0 0 x y 点的性质。 解:令 = = = − 0, 0 0, 0 ''( ) 0 0 0 1 0 0 0 0 x x e x e x x f x x x 代入, ,故为极小值点。 7. 2 3 ( −1) = x x y ,求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。 解:定义域 x (−,1) (1,+) 拐点 ; :铅垂; :斜 驻点 及 '' 0 0 1 2 ' 0 0 3 = = = = + = = = y x x y x y x x 8.求函数 x y x e / 2 arctan ( 1) + = − 的单调性与极值、渐进线。 解: 0 1 1 ' / 2 arctan 2 2 = = − + + = + e x x x x x y x 驻点 与 ,渐:y = e (x − 2)与y = x − 2 D.幂级数展开问题 9. − = x x t dt x dx d 0 2 2 sin( ) sin + = + − = − + + − + − + − = − + + − − + − − = − − + − + + − + + − − = − − − + + − − − − + − x n n n n x n n n n x n x x t dt x x dx d n n x x t x x n n x t x t dt x t x t n x t x t x t x t 0 2 2(2 1) 2 2 6 4 1 3 7 0 2 4 1 2 3 7 1 2(2 1) 2 2 6 sin (2 1)! ( 1) 3! 1 sin( ) (4 1)(2 1)! ( 1) 3!7 1 3 1 sin( ) (4 1)(2 1)! ( ) ( ) ( 1) 3!7 1 ( ) 3 1 sin( ) (2 1)! ( ) ( ) ( 1) 3! 1 sin( ) ( ) 或: 2 0 2 0 2 sin ( ) sin u du sin x dx d u du dx d x t u x x − = − = = 10.求 ( ) ln(1 ) 0 (0) 2 (n) f x = x + x 在x = 处的n阶导数f
解:x2hn(1 +o(x 2 E不等式的证明 (0,1),求证(1+x)h2(+x) 1)令g(x)=(1+x)hn2(1+x)-x2,g(0)=0 g'(x),g"(x)g"(x) 2n(1+x) <0,g(0)=g"(0)=0 x∈(01)时g"(x)单调下降,g"(x)<0,g(x)单调下降 g(x)<0,g(x)单调下降,g(x)<0;得证。 (0,1),H(x)<0,单调下降,得证 In(1+x) F中值定理问题 12设函数f(x)在-1]具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1, ∫(0)=0,求证:在(-1,1)上存在一点5,使f"()=3 f(x)=f(0)+f(0)x+f'(0)x2+f"(m) 其中∈(0,x),x∈[-1,1 0=f(-1)=f(0)+f(0) 将x=1,x=1代入有 f(1)=f(0)+f"(0)+f"(72) 两式相减:f"(n)+f"(72)=6 3∈[7,n2lf"(s)==[f"()+f"(72)=3 e<a<b<e2,求证:h2b-h2a 证: Lagro ∫(b)-f( ∫(5) In-6-hn 2In 令f(x)=hn
解: ( ) 2 ( 1) 2 3 ln(1 ) ( 2 2 1 2 3 2 2 − − − + − + = − + − + − n n n o x n x x x x x x x = ( ) 2 ( 1) 2 3 1 4 5 3 n n n o x n x x x x + − − + − + − − 2 ! (0) ( 1) ( ) 1 − = − − n n f n n E.不等式的证明 11.设 x(0,1) , 2 1 1 ln(1 ) 1 1 ln 2 1 1 )ln (1 ) 2 2 − + + + − x x 求证( x x x , 证:1)令 ( ) (1 )ln (1 ) , (0) 0 2 2 g x = + x + x − x g = 单调下降, ;得证。 时 单调下降, 单调下降 '( ) 0, ( ) ( ) 0 (0,1) ''( ) ''( ) 0, '( ) 0, '(0) ''(0) 0 (1 ) 2ln(1 ) '( ), ''( ), '''( ) 2 = = + + = − g x g x g x x g x g x g x g g x x g x g x g x 2)令 , (0,1), '( ) 0,单调下降,得证。 1 ln(1 ) 1 ( ) − + = x h x x x h x F.中值定理问题 12.设函数 f (x)在[−1,1] 具有三阶连续导数,且 f (−1) = 0, f (1) = 1, f '(0) = 0 ,求证:在(-1,1)上存在一点 ,使f '''() = 3 证: 2 3 '''( ) 3! 1 ''(0) 2! 1 f (x) = f (0) + f '(0)x + f x + f x 其中 (0, x), x[−1,1] 将 x=1,x=-1 代入有 '''( ) 6 1 ''(0) 2 1 1 (1) (0) '''( ) 6 1 ''(0) 2 1 0 ( 1) (0) 2 1 f f f f f f f f = = + + = − = + − 两式相减: f '''(1 ) + f '''(2 ) = 6 [ '''( ) '''( )] 3 2 1 [ ] '''( ) 1,2 , f = f 1 + f 2 = 13. 2 e a b e ,求证: ( ) 4 ln ln 2 2 2 b a e b − a − 证: '( ) ( ) ( ) : f b a f b f a Lagrange = − − 令 ln ln 2ln ( ) ln , 2 2 2 = − − = b a b a f x x