§1.4R中的点集 教学目的欧氏空间R上的测度与积分是本课程的主要研究对象本节讨 论欧氏空间上的若干拓扑概念通过本节的学习可以熟悉欧氏空间上的开集, 闭集和 Borel集, Cantor集等常见的集,为后面的学习打下基础 本节要点由R上的距离给出邻域,内点聚点的定义从而给出开集,闭 集的定义由开集生成一个o代数引入Bore集 Cantor集是一个重要的集,它 有一些很特别的性质.应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应 用充分利用几何图形的直观,可以帮助理解本节的内容 本书在一般测度空间的框架下展开测度与积分的理论.但R上的Lebesgue测度与 Lebesgue积分仍是最重要的情形.这不仅是因为R上的Lebesgue积分具有广泛的应用,而 且因为R”上的情形能给我们直观的图形和丰富的实例.本节将讨论n维欧式空间中的一些 常见的点集 用R表示n维欧式空间,即 R"={=(x1,, ),,}. 对任意x=(x1,…,xn)∈R",令 =(x+x2 称为x的范数.注意若x∈R,则就是的绝对值.设x=(x1xn)和 y=(y1,yn)是R"中的任意两点定义这两点之间的距离为d(x,y)=x-y即 1 d(x,y)=((x1-y)2)2 i=1 设{x}是R中的一个点列,x∈R.若limd(,x)=0,则称{x}收敛于x,记 k→∞ 为 lim=x,或x→x,(k→∞) k→ 邻域,内点与开集 定义1设x∈R,ACR" n (1)设>0.称R的子集U(x,)={x:d(x,)<}为点x的-邻域 (2).若x∈A并且存在x的一个邻域U(x0,8cA,则称x为A的一个内点(图 24
24 § 1.4 n R 中的点集 教学目的 欧氏空间 n R 上的测度与积分是本课程的主要研究对象.本节讨 论欧氏空间上的若干拓扑概念.通过本节的学习,可以熟悉欧氏空间上的开集, 闭集和 Borel 集,Cantor 集等常见的集,为后面的学习打下基础. 本节要点 由 n R 上的距离给出邻域,内点,聚点的定义,从而给出开集, 闭 集的定义.由开集生成一个ο -代数引入 Borel 集.Cantor 集是一个重要的集, 它 有一些很特别的性质. 应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应 用.充分利用几何图形的直观,可以帮助理解本节的内容. 本书在一般测度空间的框架下展开测度与积分的理论. 但 n R 上的 Lebesgue 测度与 Lebesgue 积分仍是最重要的情形. 这不仅是因为 n R 上的 Lebesgue 积分具有广泛的应用, 而 且因为 n R 上的情形能给我们直观的图形和丰富的实例. 本节将讨论 n 维欧式空间中的一些 常见的点集. 用 n R 表示 n 维欧式空间, 即 n R ={ ( , , ) : , , }. 1 x = x1 " xn x1 " xn ∈ R 对任意 x = (x1 ,", xn ) ∈ , n R 令 ( ) . 2 1 2 2 1 n x = x +"x 称 x 为 x 的 范 数 . 注意若 x ∈ , 1 R 则 x 就 是 x 的绝对值 . 设 ( , ) 1 n x = x "x 和 ( , ) 1 n y = y "y 是 n R 中的任意两点. 定义这两点之间的距离为 d(x, y) = x − y . 即 ( , ) ( ( ) ) . 2 1 1 2 ∑= = − n i i i d x y x y 设{ }k x 是 n R 中的一个点列, x ∈ . n R 若 lim ( , ) = 0, →∞ d x x k k 则称{ }k x 收敛于 x, 记 为 lim x x, k k = →∞ 或 x → x, (k → ∞). k 邻域, 内点与开集 定义 1 设 x0 ∈ , n R . n A ⊂ R (1).设ε > 0.称 n R 的子集U(x0 ,ε ) = { : ( , ) } 0 x d x x < ε 为点 0 x 的ε -邻域 (2). 若 x0 ∈ A并且存在 0 x 的一个邻域 ( , ) 0 U x ε ⊂ A, 则称 0 x 为 A 的一个内点(图
(3).若A中的每个点都是A的内点,则称A为R”中的开集.规定空集⑧为开集 (4)由A的内点全体所成的集称为A的内部,记为A° A 图4—1 例如,每个有界或无界开区间(a,b),(-∞,a)(a,+∞)都是直线R上的开集若xo∈R ∞0,则容易证明x0的r-邻域U(x0,r)是R"中的开集因此U(x0,r)又称为以x0为中 心,以r为半径的开球 定理2(开集的基本性质)开集具有如下的性质 (i)空集②和全空间R”是开集 (i).任意个开集的并集是开集 (i).有限个开集的交集是开集 证明()是显然的.往证(i).设{A,t∈T}是X中的任意一族开集.任取 x∈∪xA,则存在b∈7,使得x∈A因为A是开集,故存在x的一个 邻域U(x,),使得U(x,)A4.于是更加有U(x,)c∪xA.这表明x是 U.A的内点.这就证明了∪a4中的每个点都是其内点因此∪。4,是开集现在 证明(i)设A1…,A是开集任取x∈∩4.则对每个=1…,n,有x∈A.因为A 是开集,故存在E1>0,使得U(x1,1)cA令E=min{1…En}则E>0并且
25 4—1). (3). 若 A 中的每个点都是 A 的内点, 则称 A 为 n R 中的开集. 规定空集∅为开集. (4). 由 A 的内点全体所成的集称为 A 的内部, 记为 . D A 图 4—1 例如, 每个有界或无界开区间 (a, b),(−∞, a),(a, + ∞) 都是直线 1 R 上的开集. 若 x0 ∈ n R , r>0, 则容易证明 0 x 的 r − 邻域 ( , ) 0 U x r 是 n R 中的开集. 因此 ( , ) 0 U x r 又称为以 0 x 为中 心, 以 r 为半径的开球. 定理 2 (开集的基本性质)开集具有如下的性质: (i).空集∅ 和全空间 n R 是开集. (ii).任意个开集的并集是开集. (iii).有限个开集的交集是开集. 证 明 (i) 是显然的 . 往 证 (ii). 设 {A ,t T} t ∈ 是 X 中的任意一族开集 . 任 取 ∪t T At x ∈ ∈ . 则存在 , t0 ∈T 使 得 . 0 At x ∈ 因 为 0 At 是开集 , 故存在 x 的一个 邻域 ( , ), 0 U x ε 使得 ( , ) . 0 0 At U x ε ⊂ 于是更加有 ( , ) . 0 ∪t T At U x ∈ ε ⊂ 这表明 x 是 ∪t T∈ At 的内点. 这就证明了∪t T∈ At 中的每个点都是其内点. 因此∪t T∈ At 是开集. 现在 证明 (iii). 设 A An , , 1 " 是开集. 任取 x ∈ . 1 ∩ n i Ai = 则对每个 1, , , . Ai i = " n 有x ∈ 因为 Ai 是开集 , 故存在 > 0, i ε 使 得 ( , ) . i i Ai U x ε ⊂ 令 min{ , }. 1 n ε = ε "ε 则 ε > 0 并 且 0 x 1 x ε A ε
U(x.)c∩A1.因此x是∩4的内点这就证明了∩4是开集■ 注意,任意个开集的交集不一定是开集例如,设An=(n’)n≥1.则每个A都 是R中的开集但∩4=0}不是开集 聚点与闭集 定义3设A是R的子集 (1).设x。∈R".若对任意E>0,U(x0,E)中包含有A中的无限多个点,则称x0为 的一个聚点(图41中的x1 (2)由A的聚点的的全体所成的集称为A的导集,记为A (3)若A'∈A,则称A为闭集 (4).集A∪A'称为A的闭包,记为A 例如,每个有界或无穷闭区间[a,b],(-∞,a],[a,+∞)都是直线R上的闭集.若 x0∈R",p>0,则容易证明集 S(o, r)=x:d(x,xo)sr) 是R中的闭集,称之为以x0为中心,以r为半径的闭球又显然有理数Q的导集Q′=R, Q的闭包Q=R 定理4设AcRn.则A为闭集当且仅当AC为开集 证明必要性.设A为闭集则对任意x0∈A,x不是A的聚点.因此存在x0的一个 邻域U(x0,E1),使得U(x0,E1)中至多只包含A中有限个点,设这些点为x1,…xk,因为 xEA,故x1≠x0,i=1,…k.令E=min{d(x,x)i=1,…k},则E>0.由E的取法 知道U(x0,E)∩A=,即U(x02E)cA.因此x是A的内点.所以A是开集 充分性.设A为开集.则对任意x0∈A,存在x0的一个邻域U(x0,E),使得 U(x0,E)cA.即U(x0,E)中没有A中的点,因此x0不是A的聚点这表明A的聚点全部 在A中,即A"cA.因此A为闭集■ 由定理2和定理4并利用 De morgan公式,立即可以得到闭集的基本性质如下 定理5闭集具有如下性质 (i)空集必和全空间R”是闭集
26 ( , ) . 1 ∩ n i Ai U x = ε ⊂ 因此 x 是∩ n i Ai =1 的内点. 这就证明了∩ n i Ai =1 是开集.■ 注意, 任意个开集的交集不一定是开集. 例如, 设 ), 1. 1, 1 = (− n ≥ n n An 则每个 An 都 是 1 R 中的开集. 但 {0} 1 = ∞ = ∩ n An 不是开集. 聚点与闭集 定义 3 设 A 是 n R 的子集. (1). 设 x0 ∈ n R . 若对任意ε > 0, ( , ) 0 U x ε 中包含有 A 中的无限多个点, 则称 0 x 为 A 的一个聚点(图 4—1 中的 1 x ). (2). 由 A 的聚点的的全体所成的集称为 A 的导集, 记为 A′. (3). 若 A′ ⊂ A, 则称 A 为闭集. (4). 集 A∪ A′称为 A 的闭包, 记为 A. 例如, 每个有界或无穷闭区间 [a, b], (−∞, a],[a, + ∞) 都是直线 1 R 上的闭集. 若 x0 ∈ n R , r>0, 则容易证明集 ( , ) 0 S x r ={ : ( , ) } 0 x d x x ≤ r 是 n R 中的闭集, 称之为以 0 x 为中心, 以 r 为半径的闭球. 又显然有理数Q 的导集Q′ = 1 R , Q 的闭包Q = 1 R . 定理 4 设 A⊂ n R . 则 A 为闭集当且仅当 c A 为开集. 证明 必要性. 设 A 为闭集. 则对任意 , 0 c x ∈ A 0 x 不是 A 的聚点. 因此存在 0 x 的一个 邻域 ( , ) 0 1 U x ε , 使得 ( , ) 0 1 U x ε 中至多只包含 A 中有限个点. 设这些点为 , . 1 k x "x 因为 , x0 ∉ A 故 , 1, , . 0 x x i k i ≠ = " 令 min{ ( , ), 1, }, 0 d x x i k ε = i = " 则ε > 0. 由ε 的取法 知道U(x0 ,ε ) ∩ A = ∅ , 即 ( , ) 0 U x ε c ⊂ A . 因此 0 x 是 c A 的内点. 所以 c A 是开集. 充分性. 设 c A 为开集. 则对任意 , 0 c x ∈ A 存在 0 x 的一个邻域 ( , ), 0 U x ε 使得 c U(x0 ,ε ) ⊂ A . 即 ( , ) 0 U x ε 中没有 A 中的点, 因此 0 x 不是 A 的聚点. 这表明 A 的聚点全部 在 A 中, 即 A′ ⊂ A. 因此 A 为闭集.■ 由定理.2 和定理 4 并利用 De Morgan 公式, 立即可以得到闭集的基本性质如下. 定理 5 闭集具有如下性质: (i).空集∅和全空间 n R 是闭集
(i)任意个闭集的交集是闭集 (i)有限个闭集的并集是闭集 下面的两个定理用序列的语言,给出了A和A中的点的特征以及集A为闭集的等价 条件 定理6设ACR”.则有 ().x∈A当且仅当存在A中的点列{xk},使得xk≠x,xk→x (i).x∈A当且仅当存在A中的点列{x},使得xk→>x 证明()设x∈A.则由聚点的定义,对任意k≥1,U(x0,1/k)中包含有A中的无限 多个点.于是集U(x,1/k)-{x})∩A不空在其中任取一点记为x,则{xk}是A中的 点列,并且x≠x,x→>x 反过来,设存在A中的点列{xk},使得xk≠x,xk→>x.则对任意E>0,存在 N>0,使得当k≥N时,xk∈U(x,E).若{xk,k≥N}中只有有限项彼此不相等,则存 在一个自然数k和{xk}的一个子列{x,},使得x,=x(n21)但x≠x,这与 xk→>x矛盾!因此{xk,k≥N}中必有无穷多项是彼此不同的点.这表明U(x,E)中包含有 A中的无限多个点.因此x∈A (i)设x∈A.则x∈A或者x∈A'.若x∈A,令xk=x,k≥1,即知结论成立.若 x∈A,则由(1)知道存在A中的点列{x},使得xk→x.反过来,设存在A中的点列 {x},使得x→x.若xk≠x,k≥1,则由(i)知道x∈A.否则x∈A.在两种情况下, 均有x∈A.■ 定理7设ACR".则A是闭集当且仅当A中的任意收敛点列的极限必属于A 证明必要性设A是闭集若{x}是A中的点列,x4→x,则由定理6知道x∈A 由于A是闭集,故A=A.因此x∈A 充分性.设x∈A.由定理6,存在A中的点列{x},使得x→x.由假定条件,此 时必有x∈A.这表明A'cA.因此A是闭集■ 定义8设A和B是R”的子集.若AB,则称A在B中稠密.特别地,若 A=R",则称A是R的稠密子集.若(A)°=⑧,则称A为疏集或无处稠密集. 例如,由于Q=R,因此有理数集是R的稠密子集由于z°=必,因此整数集Z是 疏集
27 (ii).任意个闭集的交集是闭集. (iii).有限个闭集的并集是闭集. 下面的两个定理用序列的语言, 给出了 A′ 和 A 中的点的特征以及集 A 为闭集的等价 条件. 定理 6 设 A⊂ n R . 则有 (i). x ∈ A′当且仅当存在 A 中的点列{ }, k x 使得 x x , k ≠ x x. k → (ii). x ∈ A 当且仅当存在 A 中的点列{ }, k x 使得 x x. k → 证明 (i).设 x ∈ A′. 则由聚点的定义, 对任意 k ≥ 1, ( , 1 ) 0 U x k 中包含有 A 中的无限 多个点. 于是集 (U(x, 1 k) −{x}) ∩ A 不空. 在其中任取一点记为 , k x 则{ }k x 是 A 中的 点列, 并且 x x , k ≠ x x. k → 反过来, 设存在 A 中的点列{ }, k x 使得 x x , k ≠ x x. k → 则对任意 ε > 0, 存在 N > 0, 使得当 k ≥ N 时, x U(x,ε ). k ∈ 若{x , k N} k ≥ 中只有有限项彼此不相等, 则存 在一个自然数 0 k 和 { }k x 的一个子列 { }, n k x 使得 ( 1). 0 xk = xk n ≥ n 但 , 0 x x k ≠ 这与 x x k → 矛盾! 因此{x , k N} k ≥ 中必有无穷多项是彼此不同的点. 这表明U(x,ε ) 中包含有 A 中的无限多个点. 因此 x ∈ A′. (ii).设 x ∈ A. 则 x ∈ A 或者 x ∈ A′. 若 x ∈ A, 令 x = x, k ≥ 1, k 即知结论成立. 若 x ∈ A′, 则由 (i) 知道存在 A 中的点列{ }, k x 使得 x x. k → 反过来, 设存在 A 中的点列 { }, k x 使得 x x. k → 若 x x, k ≠ k ≥ 1, 则由 (i) 知道 x ∈ A′. 否则 x ∈ A. 在两种情况下, 均有 x ∈ A.■ 定理 7 设 A⊂ n R . 则 A 是闭集当且仅当 A 中的任意收敛点列的极限必属于 A. 证明 必要性. 设 A 是闭集. 若{ }k x 是 A 中的点列, x x, k → 则由定理 6 知道 x ∈ A. 由于 A 是闭集, 故 A = A. 因此 x ∈ A. 充分性. 设 x ∈ A′. 由定理 6, 存在 A 中的点列{ }, k x 使得 x x. k → 由假定条件, 此 时必有 x ∈ A. 这表明 A′ ⊂ A. 因此 A 是闭集.■ 定义 8 设 A 和 B 是 n R 的子集. 若 A ⊃ B, 则称 A 在 B 中稠密. 特别地, 若 A = , n R 则称 A 是 n R 的稠密子集. 若( ) = ∅, D A 则称 A 为疏集或无处稠密集. 例如, 由于Q = 1 R , 因此有理数集是 1 R 的稠密子集. 由于 = ∅, D Z 因此整数集 Z 是 疏集
定理9设A是R”的子集.则以下几项等价 (i).A是R"的稠密子集 (i).对任意x∈R”和E>0,A∩U(x,E)≠ (i.对任意x∈R",存在A中的点列{xk}使得x→>x 定理9的证明留作习题 设A∈R".若存一个闭球S(0,r,使得AcS(0,r),则称A是有界的.设{xk}是 R"中的一个点列若存一个闭球S(0,r),使得xCS(0,r),k≥1,则称{x}是有界点列 定理10R”中的每个有界点列存在收敛子列 证明设{xk}是R”中的有界点列设x4={x),…,x);,k≥1.则{x1)}是有界数 列由数学分析中熟知的 Weierstrass 3致密性定理,存在{x}的一个子列{x}使得 x1"→x,同理,存在{k,}的一个子列{k2}使得x2)→x2,这样一直下去,最后 存在休k}的子列{kn}使得x”→xn,记k,=km则对每个j=1…,n,有 x)→x,(k→∞).令x=(x1…x)我们有 因此若x.→x,(k1→∞).■ 思考题1开区间(0,1)在R中是不是开集? 2若将R"两个点x=(x1,…xn)和y=(y12…yn)距离的定义改为 d(x,y)=max(, -* -) 按照本节类似的方法定义邻域,内点,聚点,开集和闭集等所得结果与本节原来的定义有 和异同? 有界闭集上的连续函数在数学分析课程中,我们已经熟悉直线上的区间上或R”中的 区域上的连续函数.类似可以定义在R"的任意子集E上的连续函数 定义11设EcR",f(x)是定义在E上的实值函数.又设x∈E.若对任意E>0, 存在相应的6>0,使得当x∈E并且d(x,x)<6时,有(x)-f(x)<6,则称∫(x) 在x连续.若∫在E上的每一点都连续,则称∫在E上连续.E上的连续函数的全体记为 容易证明,∫在E上连续的充要条件是,对E中的任意点列{xn},若xn→>x并且
28 定理 9 设 A 是 n R 的子集. 则以下几项等价: (i). A 是 n R 的稠密子集. (ii). 对任意 x ∈ n R 和ε > 0, A∩U(x,ε ) ≠ ∅. (iii).对任意 x ∈ , n R 存在 A 中的点列{ }k x 使得 x x. k → 定理 9 的证明留作习题. 设 A ⊂ . n R 若存一个闭球 S(0,r), 使得 A ⊂ S(0,r), 则称 A 是有界的. 设{ }k x 是 n R 中的一个点列. 若存一个闭球 S(0,r), 使得 x ⊂ S(0,r), k ≥ 1, k 则称{ }k x 是有界点列. 定理 10 n R 中的每个有界点列存在收敛子列. 证明 设{ }k x 是 n R 中的有界点列. 设 { , , }, 1. ( ) ( ) x = x1 x k ≥ k n k k " 则{ } ( ) 1 k x 是有界数 列. 由数学分析中熟知的 Weierstrass 致密性定理, 存在{ } ( ) 1 k x 的一个子列{ } ( ) 1 1i k x 使得 . 1 ( ) 1 1 x x i k → 同理, 存在{ } 1i k 的一个子列{ } 2 i k 使得 . 2 ( ) 2 2 x x i k → 这样一直下去, 最后, 存 在 { } n 1,i k − 的子列 { } ni k 使 得 . ( ) n k n x x n i → 记 . i ni k = k 则对每个 j = 1,",n, 有 j k j x x ( i ) → ( → ∞). i k 令 ( , ). 1 n x = x "x 我们有 ( , ) ( ( ) ) 0, 2 1 1 = ∑ ( ) − 2 → = n j j k k j d x x x x i i ( → ∞). i k 因此若 x x, i k → ( → ∞). i k ■ 思考题 1.开区间(0, 1) 在 2 R 中是不是开集? 2.若将 n R 两个点 ( , ) 1 n x = x "x 和 ( , ) 1 n y = y "y 距离的定义改为 ( , ) max( , , ). 1 1 n n d x y = x − y " x − y 按照本节类似的方法定义邻域, 内点, 聚点, 开集和闭集等.所得结果与本节原来的定义有 和异同? 有界闭集上的连续函数 在数学分析课程中, 我们已经熟悉直线上的区间上或 n R 中的 区域上的连续函数. 类似可以定义在 n R 的任意子集 E 上的连续函数. 定义 11 设 E ⊂ n R , f (x) 是定义在 E 上的实值函数. 又设 x0 ∈ E . 若对任意ε > 0, 存在相应的δ > 0 , 使得当 x ∈ E 并且 d(x, x0 ) < δ 时, 有 ( ) ( ) , 0 f x − f x < ε 则称 f (x) 在 0 x 连续. 若 f 在 E 上的每一点都连续, 则称 f 在 E 上连续. E 上的连续函数的全体记为 C(E). 容易证明, f 在 E 上连续的充要条件是, 对 E 中的任意点列{ }, n x 若 x x n → 并且