2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 例6.8求 d u 【解】令l=-x, 再令=2sect,则dlu=2 tan sector, 当u=3时1= arccos2,当u=4时t=z 、4-、上 2 tant sec t coSt dt d sin t arccos- COS sin t 1+sin t 再令y=sint(可直接利用凑微分法), dint 21-u5 =ln(2+√3)-ln(3+√5)+ln2。 例69设()-c03x=5/(2+,求5/( 【解】记「f(x)x=1,再令2x=u,则d=dm f(2x)=「f(u) 对等式/(x)-cos2x=∫3/(2x)两边取积分得到 即I-|2cos2xhx=- 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 例 6．8 求 ∫ − − − 3 4 2 x 4 dx 。 【解】令u = −x , ∫ − − − 3 4 2 x 4 dx = ∫ − 4 3 2 u 4 du . 再令u = 2sect , 则 du = 2tansectdt , 当u = 3时 3 2 t = arccos ,当u = 4 时 3 π t = , = − ∫ − − 3 4 2 x 4 dx ∫ ∫ = − 3 3 2 arccos 4 3 2 2 tan 2 tan sec 4 π dt t t t u du ∫ = 3 3 2 arccos 2 cos cos π dt t t ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = 3 3 2 arccos sin 1 sin 1 1 sin 1 2 1 π d t t t 再令 y = sin t （可直接利用凑微分法）, ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − 3 3 2 arccos sin 1 sin 1 1 sin 1 2 1 π d t t t 2 3 3 5 2 3 3 5 1 1 ln 2 1 1 1 1 1 2 1 u u dy y y − + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = ∫ = ln(2 + 3) − ln(3+ 5) + ln 2 。 例 6．9 设 ( ) ( ) ∫ − = 4 0 2 cos 2 π f x x f x dx ，求 ( ) ∫ 2 0 π f x dx 。 【解】 记 f ( ) x dx = I ∫ 2 0 π ，再令2x = u ，则 dx du 2 1 = ， ( ) = ∫ 4 0 2 π f x dx f ( ) u du I 2 1 2 1 2 0 = ∫ π 。 对等式 ( ) ( ) ∫ − = 4 0 2 cos 2 π f x x f x dx 两边取积分得到, ( ) dx I I f x x dx 2 4 [ cos ] 2 0 2 0 2 π π π − = = ∫ ∫ . 即 I xdx I 4 cos 2 0 2 π π − = ∫ ， 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 6 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 故Ⅰ--1 cO 因此I=f( 例6.10设∫(x)是[0,1上的连续函数,则(D)。 (A)J x'(sin x)dx=T/(s (B)xf(sin x )dx=2r.f(sin x)dx xf(sin x )da ∫(sinx) (D)yf (sin x)dx=of( 【解】令x=x-1,dx=-dt T-of(sin n)a -」y(sint+rlf( (sin t)dt, 移项得知答案为D 6.2.3分部积分法 设∫(x)与g(x)在[a,b连续,F(x)为f(x)在[a,b]上的一个原函数,则 r/(xg(x)dr=F(x)g(x)a-F(x)g(x)dx 例6.11求n SIn xdx=xInxli-[xd(nx) 例6.12证明∫sixd= J o cos"xa,并求J=Jsm”d 【证】令x COS cos"xdx sm”xdk=s 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 故 I I xdx ∫ − = 2 0 2 cos 4 π π 2 2 4 1 π π = ⋅ = , 因此 = = ∫ I f x dx 2 0 ( ) π π π 4 − 。 例 6.10 设 f ( x) 是[0, 1]上的连续函数, 则（ D ）。 (A) ∫ ∫ = π π π 0 0 xf (sin x)dx f (sin x)dx (B) , ∫ ∫ = π π π 0 0 xf (sin x)dx 2 f (sin x)dx (C) ∫ ∫ = π π 0 π 0 (sin ) 2 xf (sin x)dx f x dx (D) ∫ ∫ = π π π 0 0 (sin ) 2 xf (sin x)dx f x dx 【解】 令 x = π − t, dx = −dt ， ∫ ∫ = − − 0 0 (sin ) ( ) (sin ) π π xf x dx π t f t dt ， ∫ ∫ = − + π π π 0 0 tf (sin t)dt f (sin t)dt 移项得知答案为 D。 6.2.3 分部积分法 设 f (x) 与 g′(x) 在[a,b]连续， F(x) 为 f (x) 在[a,b]上的一个原函数，则 ∫ ∫ = − ′ b a b a b a f (x)g(x)dx F(x)g(x) F(x)g (x)dx 例 6．11 求 ∫ e e 1 ln xdx . 【解】 ( ) ∫ ∫ = − e e e e e e 1 ln xdx x ln x 1 1 xd ln x e dx e e e e 1 2 ⎟ − 1 = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − ∫ 。 例 6．12 证明 ∫ 2 0 sin π xdx n ∫ = 2 0 cos π xdx n ，并求 ∫ = 2 0 sin π J xdx n n 。 【证】令 x = − t 2 π ， ∫ = − 0 J π cos tdt n n 2 ∫ = 2 0 cos π xdx n 。 ∫ ∫ = = − 2 2 − 0 1 0 sin sin ( cos ) π π I xdx xd x n n n 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 7 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805