数学模型 数学规划模型 I引言 一个复杂系统往往要受诸多因素的影响,而这 些因素又要受到一定的限制。最优化就是在一定约 束下,如何选取这些因素的值,使某项(或某些) 指标达到最优的一门学科。它包括数学规划、决策 分析、最优控制等等。 最优化方法在经济、军事、科技等领域内都有 广泛的应用
数 学 规 划 模 型 I 引言 一个复杂系统往往要受诸多因素的影响，而这 些因素又要受到一定的限制。最优化就是在一定约 束下，如何选取这些因素的值，使某项（或某些） 指标达到最优的一门学科。它包括数学规划、决策 分析、最优控制等等。 最优化方法在经济、军事、科技等领域内都有 广泛的应用
(数学模丝) 例1把一根直径为d的圆木锯成矩形横梁。已知 横梁强度z与宽度x成正比,与高度y的平 方成正比。求宽、高各为多少时强度最大? 该问题的数学模型为: z=hcy(k>0 x2+y2=d2,x>0,y>0 用微分法容易求出其解 数学规划模型格式: max z=hxy(k>0) s.t. x+ J x>0,y>0
例1 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形横梁。已知 横梁强度 z 与宽度 x 成正比，与高度 y 的平 方成正比。求宽、高各为多少时强度最大？ 该问题的数学模型为： ( 0) 2 z = kxy k 用微分法容易求出其解。 , 0, 0 2 2 2 x + y = d x y 数学规划模型格式： ( 0) 2 max z = kxy k 0, 0 , 2 2 2 + = x y s.t. x y d
对某材料的需求量为q,j=1,1(数学牌的 例2施工点j的坐标为(an,b)j=12, 第许料场的容量为M吨=1,2,…,m 求料场的位置及各料场向各施工点的供应量,使 材料运输的总吨公里最小。 解设各料场到各施工点的距离为直线距离,且各施工 点可在不同料场取料 设(x,y)为第i个料场坐标 w为料场i向施工点j提供的材料数量则 minz=∑∑n(x1-a)2+(n-b)2总吨公里数 st∑w≥q1,j=1,2, 需求限制 i=1 ∑w≤M1i=1,2,…,m 容量限制 M0=12,m=12,n非负限制
例2 施工点 j 的坐标为 (aj ,bj ), j = 1,2, ,n 对某材料的需求量为 qj , j = 1,2, ,n 第 i个料场的容量为 M ,i 1,2, ,m. i 吨 = 求料场的位置及各料场向各施工点的供应量，使 材料运输的总吨公里最小。 解 设各料场到各施工点的距离为直线距离，且各施工 点可在不同料场取料。 设 (xi , yi ) 为第 i 个料场坐标 wij 为料场 i 向施工点 j 提供的材料数量 则 = = = − + − m i n j ij i j i bj z w x a y 1 1 2 2 ( ) ( ) = = m i wij qj j n 1 , 1,2,, = = n j wij Mi i m 1 , 1,2,, wij 0,i = 1,2, ,m; j = 1,2, ,n 总吨公里数 需求限制 容量限制 非负限制 min s.t
(数学模丝) 第二个问题不便用微分法求解,可用数学规 划方法求解。 学习这一部分需注意的地方: 对给定的实际问题,如何作合理的假设,并建立 模型。如何处理分段函数、矛盾约束等问题 2.怎样将一类模型化为另一类模型,易于求解。 3.同一问题可建立不同模型
学习这一部分需注意的地方： 1. 对给定的实际问题，如何作合理的假设，并建立 模型。如何处理分段函数、矛盾约束等问题。 2. 怎样将一类模型化为另一类模型，易于求解。 3. 同一问题可建立不同模型 第二个问题不便用微分法求解，可用数学规 划方法求解
(数学模型 II数学规划模型的建立 数学规划模型的一般形式 minz=f(X)(或maxz=∫(X) X∈S(cR") X=(x1,x2, 若能写出描述S的数学式子,则可直接写出。 例如:maxz=kxy2(k>0) s.t. x x>0,y>0 这里S={(x,y)|x2+y2=d2,x,y>0} X=(,y)
II 数学规划模型的建立 数学规划模型的一般形式： min z = f (X) ( ) n X S R T X x x xn ( , , , ) = 1 2 (或 max z = f (X)） 例如： ( 0) 2 max z = kxy k 0, 0 , 2 2 2 + = x y s.t. x y d {( , )| , , 0} 2 2 2 S = x y x + y = d x y T X = (x, y) 若能写出描述S的数学式子，则可直接写出。 这里