P128习题四12设向量组B:b1,b2,…,b能由向量组A:a1,a2,…,a3表 示为 br)=(a1, a2, ..,as)Ksr 31n维向量 其中s×r矩阵K为线性表示的系数矩阵,并且向量组A线性无关 2向量组的线性相关性 证明:向量组B线性无关的充要条件是矩阵K的秩R(K)=r 3向量组的税 4向量空间 5线性方程组的解的结构 证记矩阵A=(a1,a2…,a3),B=(b1,b2,…,b-) 本章总结 必要性:向量组B线性无关→→Bx=0只有零解→AK=0只有零 主讲:张少 解,→→Kr=0只有零解(反证:若Km=0有非零解,但K=0的任 非零解也是AK=0的非零解,这与AK=0只有零解矛盾)=>上章 标题页 定理2知R(K)=T 充分性:R(K)=r=Kx=0只有零解.=AK=0只有零解(反 第16页共56页 证:假设AK=0有非零解,设c0是它的非零解,令9=Kax0,于是 有Ay0=AKo=0,即y是方程组A=0的解.因为矩阵A的列向量 回 线性无关,所以A=0只有零解,因而=0,从而Kxo=0,得到ao也 全屏显示 是方程组K=0的非零解,这与K=0只有零解矛盾)→→B=0只 有零解→→向量组B线性无关
天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 16 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ P.128 ❙❑♦12✗➉þ⑤B : b1, b2, · · · , br❯❞➉þ⑤A : a1, a2, · · · , as▲ ➠➃ (b1, b2, · · · , br) = (a1, a2, · · · , as)Ks×r Ù➙s × rÝ✡K➃❶✺▲➠✛❳êÝ✡, ➾❹➉þ⑤A❶✺➹✬. ②➨: ➉þ⑤B❶✺➹✬✛➾❻❫❻➫Ý✡K✛➑R(K) = r. ② PÝ✡A = (a1, a2, · · · , as), B = (b1, b2, · · · , br). ✼❻✺: ➉þ⑤B❶✺➹✬=⇒ Bx = 0➄❦✧✮=⇒ AKx = 0➄❦✧ ✮.=⇒ Kx = 0➄❦✧✮.(❻②: ❡Kx = 0❦➎✧✮, ✂Kx = 0✛❄➌ ➎✧✮➃➫AKx = 0✛➎✧✮, ù❺AKx = 0➄❦✧✮❣ñ). =⇒ þÙ ➼♥2⑧R(K) = r. ➾➞✺:R(K) = r =⇒ Kx = 0➄❦✧✮. =⇒ AKx = 0➄❦✧✮.(❻ ②: ❜✗AKx = 0❦➎✧✮, ✗x0➫➜✛➎✧✮, ✲y0 = Kx0, ✉➫ ❦Ay0 = AKx0 = 0, ❂y0➫➄➜⑤Ax = 0✛✮. Ï➃Ý✡A✛✎➉þ ❶✺➹✬, ↕➧Ax = 0➄❦✧✮, Ï✌y0 = 0, ❧✌Kx0 = 0, ✚✔x0➃ ➫➄➜⑤Kx = 0✛➎✧✮, ù❺Kx = 0➄❦✧✮❣ñ) =⇒ Bx = 0➄ ❦✧✮=⇒ ➉þ⑤B❶✺➹✬.
有关向量组线性相关性的几个重要性质 定理3(1)如果一个向量组线性相关,则添加若干个向量后所得向量组也 2向量组的线性相关性 3向量组的税 线性相关.即:若向量组部分相关则整体相关;反过来,若整体无关,则部分 4向量空间 必无关 5线性方程组的解的结构 证向量组A:a1,a2,…,am线性相关=→存在不全为零的 数k1,k2,.,km,使ka1+k2a2+…+ kma=0=再添加l个向 主讲张少强 重m+1,am+2, 令k kn 0,很 标题页 显然有ka1+k2a2+…+ kma+km+1nm+1+km+2am+2+…+ km+am+1=0=>因为k1,k2,,km,km+1,km+2,…,km+不全为零,所以 向量组a1,a anm,anm+1,am+2,,am+1也线性相关.=>所以部分相 关则整体相关 第17页共56页 其逆否命题肯定成立,所以也有整体无关则部分无关. 返回 当然这个定理也可以用定理2证明,只需要证明向量组所对应的矩阵的秩 小于向量的个数号线性相关 全屏显示
天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 17 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❦✬➉þ⑤❶✺❷✬✺✛❆❻➢❻✺➓: ➼♥3 (1) ❳❏➌❻➉þ⑤❶✺❷✬, ❑❱❭❡❩❻➉þ↕✚➉þ⑤➃ ❶✺❷✬. ❂: ❡➉þ⑤Ü➞❷✬❑✒◆❷✬; ❻▲✺, ❡✒◆➹✬, ❑Ü➞ ✼➹✬. ② ➉ þ ⑤A : a1, a2, · · · , am❶ ✺ ❷ ✬=⇒ ⑧ ✸ Ø ✜ ➃ ✧ ✛ êk1, k2, . . . , km, ➛k1a1 + k2a2 + · · · + kmam = 0 =⇒✷ ❱ ❭l❻ ➉ þam+1, am+2, . . . , am+l , ✲km+1 = km+2 = · · · = km+l = 0, é ✇ ✱ ❦k1a1 + k2a2 + · · · + kmam + km+1am+1 + km+2am+2 + · · · + km+lam+l = 0 =⇒ Ï➃k1, k2, . . . , km, km+1, km+2, . . . , km+lØ✜➃✧, ↕➧ ➉þ⑤a1, a2, · · · , am, am+1, am+2, . . . , am+l ➃❶✺❷✬. =⇒↕➧Ü➞❷ ✬❑✒◆❷✬; Ù❴➘➲❑➆➼↕á,↕➧➃❦✒◆➹✬❑Ü➞➹✬. ✟✱ù❻➼♥➃➀➧❫➼♥2②➨, ➄■❻②➨➉þ⑤↕é❆✛Ý✡✛➑ ✂✉➉þ✛❻êÒ❶✺❷✬.
定理3(2)向量组A:a1,α2,…,am的每个向量添上相同数量的 分量后得向量组B:b1,b2,…,bm,即每个b 其中所有 31n维向量 2向量组的线性相关性 的c,j=1,2,…,m也组成一个向量组 3向量组的税 若向量组A线性无关,则向量组B也线性无关;若向量组B线性相关,则向 4向量空间 55线性方程蛆的解的结构 量组A也线性相关 本章总结 证记A=(a1,a2,…,am)B=(b1,b2,…,bm),显然有R(A)≤R(B) 主讲张少强 若向量组A线性无关,则R(A)=m,从而R(B)≥m,但因B只有m列,所以 有R(B)≤m,故有R(B)=m,所以向量组B线性无关.其逆否命题肯定也 标题页 成立 定理3(3)m个m维向量组成的向量组,当m>m时,即向量的个数大于向量 的维数时,向量组一定线性相关 第18页共56页 返回 证m个n维向量a1,a2,…,am构成的m×m矩阵A的秩R(A)≤m,因为m> 全屏显示 n,所以R(A)<m,故m个n维向量a1,a2,…,am线性有关
天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 18 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➼ ♥3 (2) ➉ þ ⑤A : a1, a2, · · · , am✛ ③ ❻ ➉ þ ❱ þ ❷ Ó ê þ ✛ ➞þ✚➉þ⑤B : b1, b2, · · · , bm, ❂③❻bj = aj cj , Ù➙↕❦ ✛cj , j = 1, 2, · · · , m➃⑤↕➌❻➉þ⑤. ❡➉þ⑤A❶✺➹✬, ❑➉þ⑤B➃❶✺➹✬; ❡➉þ⑤B❶✺❷✬, ❑➉ þ⑤A➃❶✺❷✬. ② PA = (a1, a2, · · · , am), B = (b1, b2, · · · , bm), ✇✱❦R(A) 6 R(B). ❡➉þ⑤A❶✺➹✬, ❑R(A) = m, ❧✌R(B) > m, ✂ÏB➄❦m✎, ↕➧ ❦R(B) 6 m, ✙❦R(B) = m, ↕➧➉þ⑤B❶✺➹✬. Ù❴➘➲❑➆➼➃ ↕á. ➼♥3 (3) m❻n➅➉þ⑤↕✛➉þ⑤, ✟m > n➒, ❂➉þ✛❻ê➀✉➉þ ✛➅ê➒, ➉þ⑤➌➼❶✺❷✬. ② m❻n➅➉þa1, a2, · · · , am✟↕✛n×mÝ✡A✛➑R(A) 6 n, Ï➃m > n, ↕➧R(A) < m, ✙m❻n➅➉þa1, a2, · · · , am❶✺❦✬.
定理3(4)如果向量组A:a1a2,…,αm线性无关,而添加一个向量b后所 得向量组B线性相关,则向量b必能由向量组A线性表示,且表示式唯 证向量组B:a1,a2,…,am,b线性相关 31n维向量 →存在不全为0的数k1,k2,…,km,k-m+1使k1a1+k2a2+…+kmam+ 2向量组的线性相关性 3向量组的秋 kmt=0 km+1≠0(反证:若km+1=0,则因为向量组A:a1,a2,…,am线性无 5线性方程组的解的结构 本章总结 关,则k1=k2 kmn=0,这与k1,k2,…,km不全为0矛盾 b=-k(1a1+k2a2+…+knam)即b能由a,a2…,am线性表示 主讲张少强 若b能由向量组A线性表示为b=A1a1+入2a2++ 标题页 也能由向量组A表示为b=11a1+p2a2+…+ Ama 上两式相减有 0=(1-1)a1+(A2-12)a2+…+(Am-1m)anm 第19页共56页 因向量组A线性无关,所以A一12=0,即=1,=1,2,…,m,因此表示 回 式唯一 全屏显示 当然也可以证明(αa1,α2,…,αm)x=b有唯一解来证明此定理 出
天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 19 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➼♥3 (4) ❳❏➉þ⑤A : a1, a2, · · · , am❶✺➹✬, ✌❱❭➌❻➉þb↕ ✚➉þ⑤B❶✺❷✬, ❑➉þb✼❯❞➉þ⑤A❶✺▲➠,❹▲➠➟➁➌. ② ➉þ⑤B : a1, a2, · · · , am, b❶✺❷✬ =⇒ ⑧✸Ø✜➃0✛êk1, k2, · · · , km, km+1➛k1a1 + k2a2 + · · · + kmam + km+1b = 0 =⇒ km+1 6= 0 (❻②: ❡km+1 = 0, ❑Ï➃➉þ⑤A : a1, a2, · · · , am❶✺➹ ✬, ❑k1 = k2 = · · · = km = 0, ù❺k1, k2, · · · , kmØ✜➃0❣ñ) =⇒ b = − 1 km+1 (k1a1 + k2a2 + · · · + kmam) ❂b❯❞a1, a2, · · · , am❶✺▲➠. ❡b❯❞➉þ⑤A❶✺▲➠➃b = λ1a1 + λ2a2 + · · · + λmam ➃❯❞➉þ⑤A▲➠➃b = µ1a1 + µ2a2 + · · · + µmam þü➟❷⑦❦ 0 = (λ1 − µ1)a1 + (λ2 − µ2)a2 + · · · + (λm − µm)am Ï➉þ⑤A❶✺➹✬, ↕➧λi − µi = 0, ❂λi = µi , i = 1, 2, · · · , m, Ï❞▲➠ ➟➁➌. ✟✱➃➀➧②➨(a1, a2, · · · , am)x = b❦➁➌✮✺②➨❞➼♥.