第六章:数值积分与数值微分 1 第6章:数值积分与数值微分 6.1求积公式 由定积分的定义可知,连续函 数f(x)在区间[a,b]上的定积分近 似值可以表示为[a,b]内的一些点 X0×1,Xn处的函数值 f(xo,fx1),…,f(xn)的加权和或线性 组合,即 f(x)dx≈∑w·∫(x,) (1) 其中Wo,W1,Wn仅与X0,X1,xXn 有关而与被积函数f(x)无关。我们 把这样的公式称为求积公式,也称
第六章：数值积分与数值微分 1 第 6 章：数值积分与数值微分 6.1 求积公式 由定积分的定义可知，连续函 数 f(x) 在区间[a,b]上的定积分近 似值可以表示为[a,b]内的一些点 x0,x1,…,xn 处的函数值 f(x0),f(x1),…,f(xn)的加权和或线性 组合，即 = = b a k n k k xk f x dx w f 0 ( ) ( ) （1） 其中 w0,w1,…,wn 仅与 x0,x1,…,xn 有关而与被积函数 f(x)无关。我们 把这样的公式称为求积公式，也称
第六章:数值积分与数值微分 为机械求积公式。 1.术语和记号 为了计算f(x)在区间[a,b]上 的定积分近似值,我们通常的做法 是把积分区间[a,b]划分为n等分, 记 h=( b-a)/n, xo=a, xk=a+kh, k=0, 1 2…,n,称xoX1,xn为[a,b]的一个 等份分划。 假如XX1.1Xn为[a,b]的一个 等份分划那么求积公式(1)中的 WoW1,Wn的选取仅仅只与n有
第六章：数值积分与数值微分 2 为机械求积公式。 1．术语和记号 为了计算 f(x) 在区间[a,b]上 的定积分近似值，我们通常的做法 是，把积分区间[a,b]划分为 n 等分， 记 h=(b-a)/n,x0=a,xk=a+kh,k=0,1, 2,…,n,称 x0,x1,…,xn 为[a,b]的一个 等份分划。 假如 x0,x1,…,xn 为[a,b]的一个 等份分 划那么 求积 公式(1)中的 w0,w1,…,wn 的选取仅仅只与 n 有
第六章:数值积分与数值微分 关,从而可以简化对求积公式的研 2求积公式的性质 微积分学中我们曾研究过,定 积分保持函数的线性关系不变,它 的含义是,若f(x),g(刈)都是[ab]上 的可积函数,则对任意实数uV我 们有uf(x)+vg(x)也是ab]上的可 积函数,而且 ∫la:f(x)+pg(x)x=a∫f(x)+∫g(x 不难验证,求积公式也保持函数的 线性关系不变,即
第六章：数值积分与数值微分 3 关，从而可以简化对求积公式的研 究。 2.求积公式的性质 微积分学中我们曾研究过，定 积分保持函数的线性关系不变，它 的含义是，若 f(x),g(x)都是[a,b]上 的可积函数，则对任意实数 u,v,我 们有 u·f(x)+v·g(x)也是[a,b]上的可 积函数，而且 + = + b a b a b a [u f (x) v g(x)]dx u f (x)dx v g(x)dx 不难验证，求积公式也保持函数的 线性关系不变，即
第六章:数值积分与数值微分 ∑ wk{·f(x)+ν·g(xk u·∑w4·f(x)+ν∑叩·g(x4) 3几种常见的求积公式 在后面的讨论中,我们将经常 用到下面一些非常简单的求积公 式,他们是中点公式、梯形公式和 辛卜生公式。 (1)中点公式 f(x)≈(b-a).fa+b (2)梯形公式 ∫(x)≈(b-a)f(a)+f(b (3)辛卜生公式 a+b f(x)d≈(b-a∫(a)+∫()+∫(b) 4.截断误差 在求积公式中,我们使用的是
第六章：数值积分与数值微分 4 ( ) ( ) [ ( ) ( )] k k n k k k k n k k k k k n k k u w f x v w g x w u f x v g x = + + = = = = = = 0 0 0 3.几种常见的求积公式 在后面的讨论中，我们将经常 用到下面一些非常简单的求积公 式，他们是中点公式、梯形公式和 辛卜生公式。 ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) f b a b f x dx b a f a f f x dx b a f a f b a b f x dx b a f b a b a b a 6 1 6 2 4 6 1 3 2 1 2 1 2 2 1 + + − + − + + − （ ） 辛卜生公式 （ ） 梯形公式 （ ） 中点公式 4．截断误差 在求积公式中，我们使用的是
第六章:数值积分与数值微分 近似等号,这是因为,对于一般的 被积函数来说,利用这些公式计算 所得的结果除了舍入误差外,还有 截断误差。 有时为了进行误差分析,我们 可以把求积公式式写成 ∫∫(x)d=∑,f(x,)+R∥ (12) 其中R印表示的就是截断误差。 5代数精度的概念 定义:一个求积公式 f(x)dx≈∑w4·f(x2)
第六章：数值积分与数值微分 5 近似等号，这是因为，对于一般的 被积函数来说，利用这些公式计算 所得的结果除了舍入误差外，还有 截断误差。 有时为了进行误差分析，我们 可以把求积公式式写成 = = = + b a k n k k f x dx w f x R f k 0 ( ) ( ) [ ] （1’） 其中 R[f]表示的就是截断误差。 5.代数精度的概念 定义：一个求积公式 = = b a k n k k xk f x dx w f 0 ( ) ( )