例题(补充)证明向量组A:a1,a与向量组B:B1,等价,其中 1=(1,-1,2,4),a2=(0,3,1,2); 2向量组的线性相关性 3向量组的税 B1=(3,0,7,14),B2=(2,1,5,10) 4向量空间 5线性方程组的解的结构 证分别把 和 )用初等行变换化为行最简形 1-124 3 标题页 0312 01 31 30714 10 21510 01 第11页共56页 返回 所以, (a)=()故向量加A与向组B等价 全屏显示
天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 11 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦❑(Ö➾) ②➨➉þ⑤A : αT 1 , αT 2❺➉þ⑤B : β T 1 , β T 2✤❞, Ù➙ α T 1 = (1, −1, 2, 4), α T 2 = (0, 3, 1, 2); β T 1 = (3, 0, 7, 14), β T 2 = (2, 1, 5, 10). ② ➞❖r αT 1 αT 2 Ú β T 1 β T 2 ❫Ð✤✶❈❺③➃✶⑩④✴: αT 1 αT 2 = 1 −1 2 4 0 3 1 2 r2÷3 ]r1 + r2 1 0 7 3 14 3 0 1 1 3 2 3 ; β T 1 β T 2 = 3 0 7 14 2 1 5 10 r1÷3 r]2 − 2r1 1 0 7 3 14 3 0 1 1 3 2 3 ; ↕➧, αT 1 αT 2 Ð^✤✶❈❺ β T 1 β T 2 , ✙➉þ⑤A❺➉þ⑤B✤❞.
注:向量组的线性组合,线性表示,等价等概念可以移用到线性方程组: 向量一→线性方程 (an1,a2,…,amn,b)一a1x1+a2x2+…+ aina=b 2向量组的线性相关性 3向量组的税 向量组一→线性方程组 4向量空间 5线性方程组的解的结构 线性组合:对方程组A的各个方程作线性运算所得到的一个方程就称为方 本章总结 程组A的一个线性组合 线性表示:方程组B的每个方程都是方程组A的线性组合,称方程组B能由 主讲张少强 方程组A线性表示,这时方程组A的解一定是方程组B的解; 标题页 方程组等价:方程组A与方程组B能相互线性表示,就称这两个方程组等 价,等价的线性方程一定同解 定义4给定向量组A:a1,a2,,am,若存在不全为零的数k1,k2,,km,使 第12页共56页 k1a1+k2a2+…+kmam=0, 全屏显示 则称向量组A是线性相关的;否则称A是线性无关的(要使上式成立只 有k1=k2 出
天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 12 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✺: ➉þ⑤✛❶✺⑤Ü, ❶✺▲➠, ✤❞✤❱❣➀➧↔❫✔❶✺➄➜⑤: ➉þ −→ ❶✺➄➜ (ai1, ai2, . . . , ain, bi) −→ ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn = bi ➉þ⑤ −→ ❶✺➄➜⑤ ❶✺⑤Ü: é➄➜⑤A✛❼❻➄➜❾❶✺✩➂↕✚✔✛➌❻➄➜Ò→➃➄ ➜⑤A✛➌❻❶✺⑤Ü. ❶✺▲➠: ➄➜⑤B✛③❻➄➜Ñ➫➄➜⑤A✛❶✺⑤Ü, →➄➜⑤B❯❞ ➄➜⑤A❶✺▲➠, ù➒➄➜⑤A✛✮➌➼➫➄➜⑤B✛✮; ➄➜⑤✤❞: ➄➜⑤A❺➄➜⑤B❯❷♣❶✺▲➠, Ò→ùü❻➄➜⑤✤ ❞, ✤❞✛❶✺➄➜➌➼Ó✮. ➼➶4❽➼➉þ⑤A : a1, a2, . . . , am, ❡⑧✸Ø✜➃✧✛êk1, k2, . . . , km, ➛ k1a1 + k2a2 + · · · + kmam = 0, ❑→➉þ⑤A➫❶✺❷✬✛; ➘❑→A➫❶✺➹✬✛(❻➛þ➟↕á➄ ❦k1 = k2 = · · · = km = 0)
特别地 1°单个向量a线性相关兮a=0 单个向量a线性无关兮a≠0 2两个向量a,b线性相关兮存在常数k,使得a=kb兮a,b的对应分量成 31n维向量 比例 2向量组的线性相关性 两个向量α,b线性无关兮不存在任何常数k,使得α=kb兮α,b的对应 3向量组的税 4向量空间 分量不成比例 5线性方程组的解的结构 性质向量组A:a1,a2,…,an(m≥2)线性相关々→向量组A中至少有 个向量能由其余m-1个向量线性表示 证“”:向量组A线性相关 主讲张少强 有不全为0的数k,k2,,km使k1a1+k2a2+…+knam=0 标题页 →因为k1,k2,km不全为0,设k≠0,便有a 1(k11 k;-1a2-1+k+1a1+1+…+kma →a;能由a1,…,a;-1,a1+1,…,anm线性表示 第13页共56页 向量组A中有某个向量能由其余m-1个向量线性表示 返回 设a;能由a1 C 线性表示 →存在1,,A-1,A+1,…,Am使a1=小1a1+…+A-1a1-1+A+1a2+1+ 全屏显 + Amam 入1a1+…+A +(-1) 0 出 系数至少有一个不为0,所以向量组A线性相关
天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 13 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❆❖✴, 1 ◦ ü❻➉þa❶✺❷✬⇔ a = 0; ü❻➉þa❶✺➹✬⇔ a 6= 0; 2 ◦ ü❻➉þa, b❶✺❷✬⇔⑧✸⑦êk, ➛✚a = kb ⇔ a, b✛é❆➞þ↕ ✬⑦. ü❻➉þa, b❶✺➹✬⇔Ø⑧✸❄Û⑦êk, ➛✚a = kb ⇔ a, b✛é❆ ➞þØ↕✬⑦. ✺➓ ➉þ⑤A : a1, a2, · · · , am (m > 2)❶✺❷✬⇐⇒ ➉þ⑤A➙➊✟❦ ➌❻➉þ❯❞Ù④m − 1❻➉þ❶✺▲➠. ② “=⇒”: ➉þ⑤A❶✺❷✬ =⇒❦Ø✜➃0✛êk1, k2, . . . , km➛k1a1 + k2a2 + · · · + kmam = 0 =⇒ Ï➃k1, k2, . . . , kmØ✜➃0, ✗ki 6= 0, ❇❦ai = − 1 ki (k1a1 + · · · + ki−1ai−1 + ki+1ai+1 + · · · + kmam) =⇒ai❯❞a1, · · · , ai−1, ai+1, · · · , am❶✺▲➠. “⇐=”: ➉þ⑤A➙❦✱❻➉þ❯❞Ù④m − 1❻➉þ❶✺▲➠ =⇒ ✗ai❯❞a1, · · · , ai−1, ai+1, · · · , am❶✺▲➠ =⇒ ⑧✸λ1, . . . , λi−1, λi+1, . . . , λm➛ai = λ1a1 +· · ·+λi−1ai−1 +λi+1ai+1 + · · · + λmam =⇒ λ1a1 + · · · + λi−1ai−1 + (−1)ai + λi+1ai+1 + · · · + λmam = 0 =⇒ ❳ê➊✟❦➌❻Ø➃0, ↕➧➉þ⑤A❶✺❷✬.
注:向量组的线性相关,线性无关的概念也可以移用到线性方程组: 线性相比方程组中有某个方程是其余方程的线性组合,这个方程是多余 的,这是称方程组是线性相关的 31n维向量 线性无比:方程组没有多余方程 2向量组的线性相关性 3向量组的秋 4向量空间 向量组A:a1,a2,…,anm构成矩阵A=(a1,a2,…,anm),向量组线性相关 5线性方程组的解的结构 就是齐次线性方程组 本章总结 x1a1+x2a2+…+xm2am=0,即Aa=0 主讲:张少强 有非零解.由上章定理2知 标题页 定理2令矩阵A=(a1,a2,…,am),向量组a1,a2,…,am线性相关台 R(A)<m,向量组线性无关←→R(A)=m 第14页共56页 例1n维单位坐标向量组e,e2,,en,其中e的第j个分量为1,其余分量 回 为0,该向量组构成的矩阵是单位矩阵En,其行列式等于1,所以R(En)=n 由定理2知n维单位坐标向量组e1,e2,en线性无关 全屏显示 例2见课本
天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 14 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✺: ➉þ⑤✛❶✺❷✬, ❶✺➹✬✛❱❣➃➀➧↔❫✔❶✺➄➜⑤: ❶✺❷✬: ➄➜⑤➙❦✱❻➄➜➫Ù④➄➜✛❶✺⑤Ü, ù❻➄➜➫õ④ ✛, ù➫→➄➜⑤➫❶✺❷✬✛. ❶✺➹✬: ➄➜⑤✈❦õ④➄➜. ➉þ⑤A : a1, a2, · · · , am✟↕Ý✡A = (a1, a2, · · · , am), ➉þ⑤❶✺❷✬ Ò➫à❣❶✺➄➜⑤ x1a1 + x2a2 + · · · + xmam = 0, ❂ Ax = 0 ❦➎✧✮. ❞þÙ➼♥2⑧ ➼♥2 ✲Ý✡A = (a1, a2, · · · , am), ➉þ⑤a1, a2, · · · , am❶✺❷✬⇐⇒ R(A) < m; ➉þ⑤❶✺➹✬⇐⇒ R(A) = m. ⑦1 n➅ü➔❿■➉þ⑤e1, e2, . . . , en, Ù➙ej✛✶j❻➞þ➃1, Ù④➞þ ➃0, ❚➉þ⑤✟↕✛Ý✡➫ü➔Ý✡En, Ù✶✎➟✤✉1, ↕➧R(En) = n. ❞➼♥2⑧n➅ü➔❿■➉þ⑤e1, e2, . . . , en❶✺➹✬. ⑦2❸➅✢
例3已知向量组a1,a2,a3线性无关,b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a1 试证向量组b,b2,b3线性无关 证设有1,x2,x3使x1b1+m2b2+x3b3=0, 即x1(a1+a2)+x2(a2+a3)+x3(a3+a1)=0 31n维向量 2向量组的线性相关性 (x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+x3)a3=0, 向量组的秩 5线性方程的解的结构 因向量组a1,a2,a3线性无关,故有 本章总结 x1+x2=0 主讲:张少强 2+x3=0 标题页 此方程组的系数行列式 101 110 ≠0 第15页共56页 011 返回 故方程组只有零解x1=x2=x3=0,所以向量组b1,b2,b3线性无关 全屏显示 例3可以推广到一般的情况,见下面的例题
天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 15 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦3 ➤⑧➉þ⑤a1, a2, a3❶✺➹✬, b1 = a1+a2, b2 = a2+a3, b3 = a3+a1, ➪②➉þ⑤b1, b2, b3❶✺➹✬. ② ✗❦x1, x2, x3➛x1b1 + x2b2 + x3b3 = 0, ❂x1(a1 + a2) + x2(a2 + a3) + x3(a3 + a1) = 0, =⇒ (x1 + x3)a1 + (x1 + x2)a2 + (x2 + x3)a3 = 0, Ï➉þ⑤a1, a2, a3❶✺➹✬, ✙❦ x1 + x3 = 0 x1 + x2 = 0 x2 + x3 = 0 ❞➄➜⑤✛❳ê✶✎➟ 1 0 1 1 1 0 0 1 1 = 2 6= 0, ✙➄➜⑤➄❦✧✮x1 = x2 = x3 = 0, ↕➧➉þ⑤b1, b2, b3❶✺➹✬. ⑦3➀➧í✷✔➌❸✛➐➵, ❸❡→✛⑦❑.