第5章:插值法 第5章插值方法 5.1插值问题概述 假设f(×)是某个表达式很复杂甚至根本写不出来的实函数且已 知fx)在某个区间[ab上的n+1个互异的点xx1…,Xn处的函数 值fxo)f(×1),…;f(xn)我们希望找到个简单的函数y=P(x,使得 P(xx)=f(xk), k=0, 1,.,n 这就是插值问题 如果我们找到了这样的函数y=P(∞X)我们就可以在一定范围内利 用P(x)近似表示f∞x)从而解决了相应的计算问题。 1利用函数值列表来表示插值问题 对于一个插值问题来说,我们的已知条件就是n+1个互异的点 处的函数值回顾高等数学中学习过的函数的表示方法,我们可用 下面表1的形式列出已知的函数值,并简称为由表1给出的插值 可题 表1:插值问题的函数值列表 k x A(x)/()f(x,) f(x)
第 5 章：插值法 1 第 5 章 插值方法 5.1 插值问题概述 假设 f(x)是某个表达式很复杂,甚至根本写不出来的实函数,且已 知 f(x)在某个区间[a,b]上的 n+1个互异的点 x0,x1,…,xn处的函数 值 f(x0),f(x1),…,f(xn)，我们希望找到一个简单的函数 y=P(x),使得 P(xk)=f(xk),k=0,1,…,n. 这就是插值问题。 如果我们找到了这样的函数 y=P(x),我们就可以在一定范围内利 用 P(x)近似表示 f(x),从而解决了相应的计算问题。 1.利用函数值列表来表示插值问题 对于一个插值问题来说，我们的已知条件就是 n+1 个互异的点 处的函数值.回顾高等数学中学习过的函数的表示方法，我们可用 下面表 1 的形式列出已知的函数值，并简称为由表 1 给出的插值 问题。 表 1：插值问题的函数值列表 k 0 1 … n k x , 0 x 1 x … n x ( ) k f x ( ) 0 f x ( ) 1 f x … ( ) n f x
第5章:插值法 2重要术语 对于n+1个基点的插值问题,我们称 f(x)为被插值函数 P(x)为插值函数; Xx1…xn为插值基点或插值节点; P(Xk)=f(x,k=01…n为插值条件; [a,b]为插值区间。 注释:对于早期的插值问题来说,f(x通常是已知的,比如对数 函数,指数函数,三角函数等这些问题现在已经不用插值法来计 算了;对于现在的许多实际问题来说,我们拼并不知道f(x)的具体 形式,所对应的函数值可能是由测量仪器或其他物理设备中直接 读出来的,f(x只是一个概念中的函数。 3.多项式插值 对于n+1个基点的插值叵题如果要求插值函数是次数不超过n 的多项式,记为Pn(x),则相应的问题就是多项式插值,并且把 Pn(x)称为插值多项式 实际上,我们所考虑的插值函数通常都是多项式函数或分段
第 5 章：插值法 2 2.重要术语 对于 n+1 个基点的插值问题，我们称： f(x) 为被插值函数; P(x)为插值函数； x0,x1,…,xn 为插值基点或插值节点; P(xk)=f(xk),k=0,1,…,n 为插值条件； [a,b]为插值区间。 注释：对于早期的插值问题来说，f(x)通常是已知的，比如对数 函数，指数函数，三角函数等这些问题现在已经不用插值法来计 算了；对于现在的许多实际问题来说，我们并不知道 f(x)的具体 形式，所对应的函数值可能是由测量仪器或其他物理设备中直接 读出来的，f(x)只是一个概念中的函数。 3．多项式插值 对于 n+1个基点的插值问题，如果要求插值函数是次数不超过 n 的多项式，记为 Pn(x)，则相应的问题就是多项式插值，并且把 Pn(x)称为插值多项式。 实际上，我们所考虑的插值函数通常都是多项式函数或分段
第5章:插值法 多项式函数。由于次数不超过n的多项式的般形式为 Pn(×)=a0+aX+a2X2+…+anxn (1) 所以只要确定了n+1个系数aoaL,a2an,我们便确定了一个插值 多项式。 4.多项式插值的一般方法 对于n+1个基点的多项式插值问,我们完全可以用上 章中的办法来求插值多项式Pn(X)的系数,aa1a,an,它们可表 为下面的线性方程组的解,所以多项式插值相对说来是很简单 的 1(x)…(x)a)( 1(x)…(x1)2‖a (2) 1(xn) (x,) 定理1:n+1级范德蒙( Vandermonde)行列式 不等于零的充要条件是诸X0X,…,Xn两两互不相同 这是代数学中很著名的个定理,我们推荐大家阅读北京大
第 5 章：插值法 3 多项式函数。由于次数不超过 n 的多项式的一般形式为 Pn((x)=a0+a1x+a2x 2+…+anx n （1） 所以只要确定了 n+1 个系数 a0,a1,a2,an，我们便确定了一个插值 多项式。 4．多项式插值的一般方法 对于 n+1 个基点的多项式插值问题，我们完全可以用上一 章中的办法来求插值多项式 Pn(x)的系数，a0,a1,a2,an，它们可表 为下面的线性方程组的解，所以多项式插值相对说来是很简单 的。 = n n n n n n n y y y a a a x x x x x x 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) （2） 定理 1：n+1 级范德蒙（Vandermonde）行列式 n n 2 n n n 2 2 2 2 n 1 2 1 1 n 0 2 0 0 1 x (x ) (x ) 1 x (x ) (x ) 1 x (x ) (x ) 1 x (x ) (x ) 不等于零的充要条件是诸 x0,x1,…,xn两两互不相同。 这是代数学中很著名的一个定理，我们推荐大家阅读北京大
第5章:插值法 学数学力学系编《高等代数》(人民教育出版社1978年第一版) pp78-79,基本方法是数学归纳法。 定理2:如果两个次数都不超过n的多项式P(x和Q(x在n+1 个互不相同的点x0,x1…x处的值相同,则这两个多项式恒等。 这也是代数学中很著名的定理,在北京大学数学力学系编 《高等代数》(人民教育出版社1978年第-版)pp25-26中可 找到定理的证明,基本思路是不恒为零的n次多项式不可能有多 于n个的零点,而P(x-Q(有,所以它要么是高于n次的多 项式,要么恒等于零。 5多项式插值的基本结论 由于线性方程组(2)的系数矩阵的行列式就是范德蒙行列 式,再加上我们对插值基点互异的假设,上面的定理1表明,也 就是说,对于给定的插值条件,存在唯一的插值多项式,它的系 数就是线性方程组(2)的唯解。 定理2进步表明,不管什么形式的多项式,只要次数不超 过n,而且满足相同的插值条件,那么它们就是恒等的。 6.重要提示: 上面的两个定理已经表明,对于多项式插值问题来说,插值
第 5 章：插值法 4 学数学力学系编《高等代数》（人民教育出版社 1978 年第一版） pp78-79，基本方法是数学归纳法。 定理 2：如果两个次数都不超过 n 的多项式 P(x)和 Q(x)在 n+1 个互不相同的点 n x , x , , x 0 1 处的值相同，则这两个多项式恒等。 这也是代数学中很著名的定理，在北京大学数学力学系编 《高等代数》（人民教育出版社 1978 年第一版）pp25-26 中可 找到定理的证明，基本思路是不恒为零的 n 次多项式不可能有多 于 n 个的零点，而 P(x)-Q(x)却有，所以它要么是高于 n 次的多 项式，要么恒等于零。 5.多项式插值的基本结论 由于线性方程组（2）的系数矩阵的行列式就是范德蒙行列 式，再加上我们对插值基点互异的假设，上面的定理 1 表明，也 就是说，对于给定的插值条件，存在唯一的插值多项式，它的系 数就是线性方程组（2）的唯一解。 定理 2 进一步表明，不管什么形式的多项式，只要次数不超 过 n,而且满足相同的插值条件，那么它们就是恒等的。 6．重要提示： 上面的两个定理已经表明，对于多项式插值问题来说，插值
第5章:插值法 多项式由插值条件唯决定,所以我们在口语中所讲的n+1个 基点的插值问题求解指的就是求岀由一组插值条件所唯一决定 的多项式。但是我们允许这个多项式有不同的数学飛式,以便于 数值计算 在后面的两节中,我们将对相同的插值条件给出两种不同的 插多珷式,即 agrange和 Newton插值多珷式。所以他们应 该是恒等的,名称不同只是各自的形式有所不同。 7与曲线拟合的差异 从形式上看,n+1个基点的插值问题与曲线拟合问题基本相 同:都是由n+1个条件决定出一个多项式,也考虑寻找基函数 的线性组合,但它们的原理,方法,以及应用领域都不相同,基 本上是两个类别的问题。 曲线拟合主要应用于误差分析以及多元回归,数学原理是投 影理论,方法是最小二乘法;而插值则应用于精确计算,应该说 只是一种经验的方法,理论基非常脆弱,不过我们可以通过验 算来证实结果的有效性 52拉格朗日插值公式 1.拉格朗日插值公式的构造
第 5 章：插值法 5 多项式由插值条件唯一决定，所以我们在口语中所讲的 n+1 个 基点的插值问题求解指的就是求出由一组插值条件所唯一决定 的多项式。但是我们允许这个多项式有不同的数学形式，以便于 数值计算。 在后面的两节中，我们将对相同的插值条件给出两种不同的 插值多项式，即 Lagrange 和 Newton 插值多项式。所以他们应 该是恒等的，名称不同只是各自的形式有所不同。 7.与曲线拟合的差异 从形式上看，n+1个基点的插值问题与曲线拟合问题基本相 同：都是由 n+1 个条件决定出一个多项式，也考虑寻找基函数 的线性组合，但它们的原理，方法，以及应用领域都不相同，基 本上是两个类别的问题。 曲线拟合主要应用于误差分析以及多元回归，数学原理是投 影理论，方法是最小二乘法；而插值则应用于精确计算，应该说 只是一种经验的方法，理论基础非常脆弱，不过我们可以通过验 算来证实结果的有效性。 5.2 拉格朗日插值公式 1． 拉格朗日插值公式的构造