福建交通职业技术学院教案纸 第页 课程： 航海数学 10-11学年第二学期第周一月一日 教学内容 备注 2在第二个重要极限的特点：)是1型：(2)形式必须一致，即，m1+xe 中的三个(x)应该是一样的. 3.在利用两个重要极限求极限时特别要注意变量的变化过程，从而根据它配成重要极限的形式。 作业：P111(3)(5)(7)片2(2)(4)(8) 1.5无穷大与无穷小 一、复习提问 1.两个重要极限： 2.如何利用两个重要极限解题 二、讲授新课 1.无穷小与无穷大的概念 1 例如m一0，m0,2x-10,等等，都属于一种类型的极限，即当 x→X。(或x→0)时，其极限都是0. 定义1：若1imfx)=0,则称fx)为当x→x时的无穷小量（简称无穷小），记为当 x→时，f)=a.若mf)=0,则称fx)为当x→，时的无穷大量（简称无穷木） 注：(1)说某个变量是无穷大或无穷小，一定要指出x的趋向。 (2)无穷大“”不是一个数而是一个符号，表示绝对值无限大的一个变量：无穷小 α是表示以0为极限的变量，常数中只有0才是无穷小 2.无穷大和无穷小有下面性质： D在自变量的同一变化过程中，若园是无穷大，则西是无穷小反之，若) 1 (国：0)是无方小则和是无方大 例1求lm(x2-3x+)
福建交通职业技术学院教案纸 第 页 课程： 航海数学 10-11 学年 第_ 一 _学期 第 周 月 日 教 学 内 容 备 注 11 2. 在第二个重要极限的特点：（1）是 1 型；（2）形式必须一致，即 1 ( ) ( ) 0 lim [1 ( )]f x f x f x e → + = 中的三个 (x) 应该是一样的. 3.在利用两个重要极限求极限时特别要注意变量的变化过程，从而根据它配成重要极限的形式. 作业：P11 1（3）（5）（7）；2（2）（4）（8）. 1.5 无穷大与无穷小 一、复习提问 1. 两个重要极限； 2. 如何利用两个重要极限解题. 二、讲授新课 1. 无穷小与无穷大的概念 例如 1 1 lim x→ x − =0， 1 lim 2 x x→ =0， lim 2 1 2 1 − → x x =0，等等，都属于一种类型的极限，即当 0 x x → （或 x → ）时，其极限都是 0. 定义 1：若 0 lim ( ) 0 x x f x → = ，则称 f (x) 为当 0 x x → 时的无穷小量（简称无穷小），记为当 0 x x → 时， f (x) = . 若 0 lim ( ) x x f x → = ，则称 f (x) 为当 0 x x → 时的无穷大量（简称无穷大）. 注：（1）说某个变量是无穷大或无穷小，一定要指出 x 的趋向. （2）无穷大 “ ” 不是一个数而是一个符号，表示绝对值无限大的一个变量；无穷小 是表示以 0 为极限的变量，常数中只有 0 才是无穷小. 2. 无穷大和无穷小有下面性质： 1）在自变量的同一变化过程中，若 f(x)是无穷大，则 1 f x( ) 是无穷小；反之，若 f x( ) ( f x( ) 0 )是无穷小，则 1 f x( ) 是无穷大. 例 1 求 lim ( 3 1) 2 − + →+ x x x
福建交通职业技术学院教案纸 第页 课程：航海数学—一10-11学年第二学期第一周一月一日 教学内容 备注 1 解因为血-3x+0,所以血(-3x+0=0 2)有限个无穷小的和仍是无穷小 注若是无穷多个凭穷小环然如四是+是++总-片 3)有界函数与无穷小之积仍是无穷小.（常数与无穷小之积仍是无穷小） 例2求超限：创回m子回血年产 解由于回产=0，商n斗1，所以回rm0: (2由于0，m华1，所以中-0 4)有限个无穷小的积仍是无穷小 3.无穷小阶的比较 观察，当x→0时，比较x,2x,x2三个函数值的变化情况。 x 1 0.50.1 0.01 0.001 x→0 2x 2 0.2 0.020.002 0.25 0.01 0.0001 0.000001 xx+20.750.11 0.01010.001001 . 从表中可看出当x→0时，x与2x趋于0的“速度”可认为是“几乎相当”，而x2比 与2x趋于0的“速度”就“快”得多.如何用数学的形式来刻画这种趋于0的“速度”的 “快慢”呢？ 注道中0 (分子比分母趋于0的“速度”快) =0 (分子比分母趋于0的“速度”快) (分子与分母趋于0的“速度”“几乎相当”) 又 马”1《说时可以认为分子与分号老于0的宽度相当) 2
福建交通职业技术学院教案纸 第 页 课程： 航海数学 10-11 学年 第_ 一 _学期 第 周 月 日 教 学 内 容 备 注 12 解 因为 0 3 1 1 lim 2 = x→+ x − x + ，所以 − + = →+ lim ( 3 1) 2 x x x . 2）有限个无穷小的和仍是无穷小. 注：若是无穷多个无穷小则不然，如 2 1 ) 1 2 3 lim ( 2 2 2 2 + + + + = → n n n n n n . 3）有界函数与无穷小之积仍是无穷小.（常数与无穷小之积仍是无穷小） 例 2 求极限：(1) x x x 1 lim sin 2 →0 ，(2) x x x sin lim → . 解 （1）由于 lim 0 2 0 = → x x ，而 1 sin 1 x ，所以 0 1 lim sin 2 0 = → x x x ； （2）由于 0 1 lim = x→ x ，而 | sin | 1 x ，所以 0 sin lim = → x x x . 4）有限个无穷小的积仍是无穷小. 3. 无穷小阶的比较 观察，当 x →0 时，比较 x ， 2x ， 2 x 三个函数值的变化情况. x 1 0.5 0.1 0.01 0.001 . x →0 2x 2 1 0.2 0.02 0.002 . 2 x 1 0.25 0.01 0.0001 0.000001 . x(x +1) 2 0.75 0.11 0.0101 0.001001 . 从表中可看出当 x →0 时， x 与 2x 趋于 0 的“速度”可认为是“几乎相当”，而 2 x 比 x 与 2x 趋于 0 的“速度”就“快”得多. 如何用数学的形式来刻画这种趋于 0 的“速度”的 “快慢”呢？ 注意到： = → x x x 2 lim 2 0 0 （分子比分母趋于 0 的“速度”快） = → x x x 2 0 lim 0 （分子比分母趋于 0 的“速度”快） 2 1 2 lim 0 = → x x x （分子与分母趋于 0 的“速度” “几乎相当”） 又 1 ( 1) lim 0 = + → x x x x （此时可以认为分子与分母趋于 0 的“速度”“相当”）
福建交通职业技术学院教案纸 第页 课程： 航海数学 10-1山学年第二学期第—周月一日 教学内容 备注 一般的，设口，B是同一极限过程中的两个无穷小， D若m名=0，则称B是比a高阶的无穷小（即B比a趋于0的“速度”快，也可以 称α是比B低阶的无穷小： 2)若m=c(c为非零常数，则称B与a是同阶的无穷小（即B与a趋于0的“津 度”“几乎相当”方 特殊地，者m是-1.则路B与口是等价的无穷水（甲B与a趋于0的“造度“阳事。 记为B~a. 例3比较-0时，无穷小1-c0sx与式的阶 52 ,2sm2 x2 =1，所以无穷小1-c0sx与是等价 在求无穷小商的极限时，可以用等价的无穷小代替以简化计算。 可以证明，当x→0时，有下列各组等价无穷小： 1 钢4求妈温器 #当0，nm22所把器若为 例5回 州6求0 x2 解一架的安 注意：函数应为乘积形式时才可以用无穷小替换，若是和差形式是不能用的.如例6， 13
福建交通职业技术学院教案纸 第 页 课程： 航海数学 10-11 学年 第_ 一 _学期 第 周 月 日 教 学 内 容 备 注 13 一般的, 设 ， 是同一极限过程中的两个无穷小， 1）若 lim 0 = ，则称 是比 高阶的无穷小（即 比 趋于 0 的“速度”快），也可以 称 是比 低阶的无穷小； 2）若 lim c = （c 为非零常数），则称 与 是同阶的无穷小（即 与 趋于 0 的“速 度” “几乎相当”）； 特殊地，若 lim 1 = ，则称 与 是等价的无穷小（即 与 趋于 0 的“速度”“相当”）， 记为 ～ . 例 3 比较 x →0 时，无穷小 1−cos x 与 2 2 1 x 的阶. 解 1 ) 2 1 2 ( 2 1 2sin lim 2 1 1 cos lim 2 2 0 2 0 = = − → → x x x x x x ，所以无穷小 1−cos x 与 2 2 1 x 是等价. 在求无穷小商的极限时，可以用等价的无穷小代替以简化计算. 可以证明，当 x →0 时，有下列各组等价无穷小： sin x ～ x， tan x ～ x ，1−cos x～ 2 2 1 x ， arc x tan ～ x ，arcsin x～ x ， 1 x e − ～ x ，ln(1 ) + x ～ x . 例 4 求 . tan 2 sin 3 lim 0 x x x→ 解 当 x →0 时， sin 3 ~ 3 , tan 2 ~ 2 x x x x . 所以 . tan 2 sin 3 lim 0 x x x→ = x x x 2 3 lim →0 = 2 3 . 例 5 求 2 2 0 ln(1 ) lim x sin x → x + . 解 2 2 0 ln(1 ) lim x sin x → x + = 2 2 0 lim x x → x =1. 例 6 求 3 0 tan sin lim x tan 3 x x → x − . 解 3 0 tan sin lim x tan 3 x x → x − = 3 0 tan (1 cos ) lim x tan 3 x x → x − = 54 1 (3 ) 2 1 lim 3 2 0 = → x x x x . 注意：函数应为乘积形式时才可以用无穷小替换，若是和差形式是不能用的. 如例 6
福建交通职业技术学院教案纸 第页 课程：航海数学一10-11学年第二学期第—周—月—日 教学内容 备注 一开始就由tanx~x,sinx~x,对原式作无穷小替换，则导致 归二要-四=0的结说 tan'3x 三、课堂练习 求下列函数的极限： w经鸟” （④cos/ In coso 四、课堂小结 本节讲述了无穷小与无穷大的定义，介绍了无穷小量的性质及无穷小量与无穷大量的关 系，特别要注意的是无穷小量的性质1即无穷小量与有界函数的乘积为无穷小量，这也是求 极限的方法之一。本节还介绍了无穷小的阶，其中等价无穷小尤为重要：利用等价无穷小替换 求极限是我们在求极限中常用的方法。 作业P132(2)(4)(6)(8) 1.6函数的连续性 一、复习提问 1.无穷小的概念与性质： 2.无穷大的概念与性质 3.无穷小的比较. 二、讲授新课 客观世界中广泛存在着一种连续变化的现象，例如气温的连续变化，液体的连续流动， 路 程的连续增加等，这就是我们对连续变化的现象有了感性认识，这节课我们就研究连续函数 的有关概念. 为了刻画说明函数的连续性，我们先引入改变量（亦称增量）的概念。 1.改变量 ①以下的△x称为自变量x从x,变到x的改变量，记为△x=x一x。· 由点x变到x: (起点)→（终点）△x>0: 14
福建交通职业技术学院教案纸 第 页 课程： 航海数学 10-11 学年 第_ 一 _学期 第 周 月 日 教 学 内 容 备 注 14 一开始就由 tan x ～ x ，sin x ～ x ，对原式作无穷小替换，则导致 3 0 tan sin lim x tan 3 x x → x − 0 lim 0 x 3 x x → x − = = 的错误. 三、课堂练习 求下列函数的极限： （1） x x x sin 3 tan 2 lim →0 ；（2） x x e x x 2 lim 3 1 0 + − → ；(3) ln(1 2 ) 1 1 lim 2 0 x x x x + + + − → ； (4) ; ln cos ln cos lim 0 x x x → (5) ; tan 2 sin(1 ) lim 0 x x x + → (6) lim . 7 2 0 x e e x x x − → 四、课堂小结 本节讲述了无穷小与无穷大的定义，介绍了无穷小量的性质及无穷小量与无穷大量的关 系，特别要注意的是无穷小量的性质 1 即无穷小量与有界函数的乘积为无穷小量，这也是求 极限的方法之一。本节还介绍了无穷小的阶，其中等价无穷小尤为重要；利用等价无穷小替换 求极限是我们在求极限中常用的方法. 作业 P13 2（2）（4）（6）（8）. 1.6 函数的连续性 一、复习提问 1. 无穷小的概念与性质； 2. 无穷大的概念与性质； 3. 无穷小的比较. 二、讲授新课 客观世界中广泛存在着一种连续变化的现象，例如气温的连续变化，液体的连续流动，路 程的连续增加等，这就是我们对连续变化的现象有了感性认识，这节课我们就研究连续函数 的有关概念. 为了刻画说明函数的连续性，我们先引入改变量（亦称增量）的概念. 1．改变量 ①以下的△ x 称为自变量 x 从 0 x 变到 x 的改变量，记为△ x = x 0 − x . 由点 0 x 变到 x： 0 x → x （起点）→（终点） △ x ＞0；
福建交通职业技术学院教案纸 第页 课程： 航海数学 10-11学年第二学期第用一月一日 教学内容 备注 由点x变到x: x+ (终点)·（起点）△r<0. ②以下的△y称为函数f(x)从x,变到x的改变量，即 △y=f(x)-fx). (终值)（初值） 由点x变到x:化 △y>0 由点x,变到x: △y<0 当△x→0（即x一x,)时，若△y一0（即f(x)一f(x),通俗地说，即当x趋于 x。时，f(x)的值也“同步平稳”地到达f(x),那么从图象上观察函数f(x)在点，会有什么 样的性态呢？不难发现这正好刻画了∫(x)在点x,是连续的这个事实 2。函数在点x,处连续 (1)若fx)在点x的近旁有定义，且mfx)=f(x,),则称f(x)在点，处连续 可以看出，函数∫x)在点x,连续可分三个层面上的条件： (1)f(x)在点x,的近旁有定义： (2)limf()存在： (3)limf(x)=f(x) 例1证明函数f)=+1Lr≥0 1x2+1,x<0 在x=0点处是连续的. 证显然f(x)在x=0点处有定义，且f(0)=1, 15
福建交通职业技术学院教案纸 第 页 课程： 航海数学 10-11 学年 第_ 一 _学期 第 周 月 日 教 学 内 容 备 注 15 由点 0 x 变到 x： x ← 0 x （终点）←（起点） △ x ＜0. ②以下的△ y 称为函数 f (x) 从 0 x 变到 x 的改变量，即 △ y = ( ) ( ) 0 f x − f x . f (x) （终值） （初值） 由点 0 x 变到 x： ( ) 0 f x △ y ＞0 o 0 x → x ( ) 0 f x f (x) 0 由点 0 x 变到 x： x ← 0 x △ y ＜0 当△ x→0 （即 x→ 0 x ） 时，若△ y →0 ( 即 f (x) → ( ) 0 f x ），通俗地说，即当 x 趋于 0 x 时， f (x) 的值也“同步平稳”地到达 ( ) 0 f x ，那么从图象上观察函数 f (x) 在点 0 x 会有什么 样的性态呢？不难发现这正好刻画了 f (x) 在点 0 x 是连续的这个事实. 2．函数在点 0 x 处连续 （1）若 f (x) 在点 0 x 的近旁有定义，且 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → ，则称 f (x) 在点 0 x 处连续. 可以看出，函数 f (x) 在点 0 x 连续可分三个层面上的条件： （1） f (x) 在点 0 x 的近旁有定义； （2） 0 lim ( ) x x f x → 存在； （3） 0 lim ( ) x x f x → = 0 f x( ) . 例 1 证明函数 f (x) = + + 1, 0 1, 0 2 x x x x 在 x =0 点处是连续的. 证 显然 f (x) 在 x =0 点处有定义，且 f (0) = 1