福建交通职业技术学院教案纸第页 课程：航海数学—一10-11学年第二学期第一周一月一日 教学内容 备注 由于mfx)=mx+1=l,mf)=m2+1=1: 故有mnf(x)=1=f0).所以f(x)在x=0点处是连续的， 例2试确定商数了代-sn子生0在中直地的连续性 0, xx=0 解显然f(x)在x=0点处有定义，且f(0)=0 (=sin0(0). 所以f(x)在x=0点处是连续的 以上三个条件缺一条则函数f(x)在点x=x,处就不连续。我们称不连续的点为函数f(x)的间断点 (2)间断点大致可分两类，一类是极限m)存在，可以通过补充或改变函数在某点 的定义使之连续，这类间断点称为可去间断点：另一类是极限1mf()不存在.称这类间断中 为不可去间断点。 例如1：当1是函数)=二的间断点，但)-2存在.间断的原因只是 x-l 西散问在=1授有定义。我尺要补充高数在x=1的定义。-岩1， 2 x=1 则函数在x=1就连续了，如图1
福建交通职业技术学院教案纸 第 页 课程： 航海数学 10-11 学年 第_ 一 _学期 第 周 月 日 教 学 内 容 备 注 16 由于 lim ( ) lim 1 1 0 0 = + = → + → + f x x x x ， lim ( ) lim 1 1 2 0 0 = + = → − → − f x x x x ； 故有 lim ( ) 1 (0) 0 f x f x = = → . 所以 f (x) 在 x =0 点处是连续的. 例 2 试确定函数 f (x) = = 0, 0 , 0 1 sin x x x x 在 x =0 点处的连续性. 解 显然 f (x) 在 x =0 点处有定义，且 f (0) = 0 ， 0 (0) 1 lim ( ) lim sin 0 0 f x f x x x x = = = → → . 所以 f (x) 在 x =0 点处是连续的. 以上三个条件缺一条则函数 f(x)在点 x= 0 x 处就不连续. 我们称不连续的点为函数 f(x)的间断点. （2）间断点大致可分两类,一类是极限 lim ( ) 0 f x x→x 存在，可以通过补充或改变函数在某点 的定义使之连续，这类间断点称为可去间断点；另一类是极限 lim ( ) 0 f x x→x 不存在.称这类间断点 为不可去间断点. 例如 1：当 x=1 是函数 2 1 ( ) 1 x f x x − = − 的间断点，但 lim ( ) 0 f x x→x =2 存在. 间断的原因只是 函数 f x( ) 在 x =1 没有定义，我们只要补充函数在 x =1 的定义， 2 1 1 ( ) 1 2 1 x x f x x x − = − = ， 则函数在 x =1 就连续了. 如图 1. 图 1 图 2
福建交通职业技术学院教案纸 第页 课程：航海数学10-1山学年第二学期第周月日 教学内容 备注 2么当=1是故-的点，只=2存在的 原因只是函数∫(x)不满足连续的条件(3)，我们只要补充函数在x=1的定义， x-1 f()= 】则函数在x=1就连续了，如图2. x=1 从上面的例可以看出，当极限mf(x)存在时的间断点的性质仅是一点的问题，我们可 以通过补充或改变函数在某点的定义使之连续，但当极限m(,)不存在时间断 点的性质则不同。 [x+1D1 例如3：函数fx)={0x=1在x=1有定义，但由于mf(x)不存在， x-1x<1 故f(x)在x=1x=1不连续（图3）. 此例中的间断的原因是mf八)不存在，从而导致“断裂”的产生如图3 3.初等函数的连续性 (1)函数在区间[a,b]上连续 若f(x)在(a,b)内点点连续，称f(x)在(a,b)内连续. 若f(x)在(a,b)内连续，且有imf(x)=f(a)和im.f(x)=fb),则称f(x)在 [a,b上连续. 例1求福数心子+2一亏的间断点和连线区间 解令x2+2x-3=0,得x=-3,x=1. 所以，函数f(x)的连续区间是(-0，-3)U(-3,)U1,+0). 易知∫(x)在无定义点x=1,x=-3间断，除此以外还有没有其它的间断点？ 一般地，结合极限的运算法则可得这样的结论：初等函数在其定义域内均是连续的.即初 17
福建交通职业技术学院教案纸 第 页 课程： 航海数学 10-11 学年 第_ 一 _学期 第 周 月 日 教 学 内 容 备 注 17 例如 2：当 x =1 是函数 1 1 ( ) 0 1 x x f x x + = = 的间断点，但 0 lim ( ) 2 x x f x → = 存在. 间断的 原因只是函数 f x( ) 不满足连续的条件（3），我们只要补充函数在 x =1 的定义， 2 1 1 ( ) 1 2 1 x x f x x x − = − = 则函数在 x =1 就连续了，如图 2. 从上面的例可以看出，当极限 lim ( ) 0 f x x→x 存在时的间断点的性质仅是一点的问题，我们可 以通过补充或改变函数在某点的定义使之连续，但当极限 lim ( ) 0 f x x→x 不存在时间断 点的性质则不同. 例如 3： 函数 1 1 ( ) 0 1 1 1 x x f x x x x + = = − 在 x =1 有定义，但由于 lim ( ) 1 f x x→ 不存在， 故 f x( ) 在 x =1 x=1 不连续（图 3）. 此例中的间断的原因是 lim ( ) 0 f x x→x 不存在，从而导致“断裂”的产生如图 3. 3. 初等函数的连续性 （1）函数在区间 a,b 上连续 若 f (x) 在 (a,b) 内点点连续，称 f (x) 在 (a,b) 内连续. 若 f (x) 在 (a,b) 内连续，且有 lim f (x) f (a) x a = → + 和 lim f (x) f (b) x b = − → ，则称 f (x) 在 a,b 上连续. 例 1 求函数 f (x) = 2 3 1 2 x + x − 的间断点和连续区间. 解 令 2 3 0 2 x + x − = ，得 x = −3, x = 1. 所以，函数 f (x) 的连续区间是 (−,−3) (−3,1) (1,+) . 易知 f (x) 在无定义点 x =1， x = −3 间断，除此以外还有没有其它的间断点？ 一般地，结合极限的运算法则可得这样的结论：初等函数在其定义域内均是连续的. 即初 图 3
福建交通职业技术学院教案纸 第页 课程：航海数学一10-11学年第二学期第—周—月—日 教学内容 备注 等函数的连续区间等价于定义区间。 ，试求f(x)的连续区间 解由于mf=mx-)=-山，fx)=m=0,所以mf不 存在，函数∫(x)在点x=0间断，而除点x=0以外在每段中都有定义，从而都是连续的 因此，函数f(x)的连续区间是(-0,0)(0，+o0). (2)利用函数的连续性求极限 对于连续函数，求极限亦即求函数f)在点x=,的函数值问题。皿)=f,) 即求连续函数的极限，可转化为计算f(x)的函数值，这就大大降低了求函数的极限的难度 x2+n2- (3)复合函数的极限运算法则 设复合函数y=f九0x]满足m)=a,且函数f)在4=a处连续，则 limf几o(x=f[lim(x)=fa). 即在y=f)和u=(x)都连续的情况下，求复合函数y=几p(x】的极限时，极限符号与 函数符号f可以交换次序 例5求gn+ lin In(limln(+)-Inllim(+x)]=ne-1. 4.闭区间上连续函数的主要性质 (1)最值性：若f(x)在闭区间[a,b]上连续，则必存在最大值M和最小值m (2)介值性：若f(x)在闭区间[口，b上连续，则对于介于M与m之间的任意的值C, 至少存在一个点5∈(a,b),使f(5)=C.如图1.6.4所示 (3)零点性：如果在闭区间[a,b]上，有f(a)f(b)<0,则f(x)=0在(a,b)内至少 18
福建交通职业技术学院教案纸 第 页 课程： 航海数学 10-11 学年 第_ 一 _学期 第 周 月 日 教 学 内 容 备 注 18 等函数的连续区间等价于定义区间. 例 2 已知函数 f (x) = 2 1 0 0 x x x x − ，试求 f (x) 的连续区间. 解 由于 lim ( ) lim ( 1) 1 0 0 = − = − → + → + f x x x x ， lim ( ) lim 0 2 0 0 = = → − → − f x x x x ，所以 lim ( ) 0 f x x→ 不 存在，函数 f (x) 在点 x = 0 间断，而除点 x = 0 以外在每段中都有定义，从而都是连续的. 因此，函数 f (x) 的连续区间是 (−,0) (0,+) . （2）利用函数的连续性求极限 对于连续函数，求极限亦即求函数 f(x)在点 x= 0 x 的函数值问题. lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → . 即求连续函数的极限，可转化为计算 f(x)的函数值，这就大大降低了求函数的极限的难度. 如 x x x x 4arctan ln lim 2 (2 ) 1 − → + . （3）复合函数的极限运算法则 设复合函数 y f x = [ ( )] 满足 0 lim ( ) x x x a → = ，且函数 f u( ) 在 u a = 处连续，则 0 0 lim [ ( )] [lim ( )] ( ) x x x x f x f x f a → → = = . 即在 y=f(u)和 u x = ( ) 都连续的情况下，求复合函数 y f x = [ ( )] 的极限时，极限符号与 函数符号 f 可以交换次序. 例 5 求 0 ln(1 ) lim x x → x + . 解 0 ln(1 ) lim x x → x + = 1 0 lim ln(1 ) x x x → + = 1 0 ln[lim(1 ) ] x x x → + = ln 1 e = . 4. 闭区间上连续函数的主要性质 （1）最值性：若 f (x) 在闭区间 a,b 上连续，则必存在最大值 M 和最小值 m. （2）介值性：若 f (x) 在闭区间 a,b 上连续，则对于介于 M 与 m 之间的任意的值 C， 至少存在一个点 (a,b) ，使 f ( ) = C. 如图 1.6.4 所示. （3）零点性：如果在闭区间a,b上，有 f (a) f (b) 0 ，则 f (x) =0 在 (a,b) 内至少
福建交通职业技术学院教案纸 第页 课程 航海数学 10-1山学年第二学期第周月日 教学内容 备注 有一个实根.如图5所示. y=0 图4 图 例6证明方程x2-4x2+1=0在(0,1)内至少有一个实根。 证设f(x)=x3-4x2+1,显然f(x)在[0，上连续，且f0)=1,f①=-2，即 ∫O)f)<0.由零点性质，f(x)在(0，)内至少有一个实根. 三、课堂练习 证明方程x2-3x=1在区间(1,2)内有实根. 四、课堂小结 1.改变量（增量）有正负. 2.函数的点连续：mf)=f儿，： 3.初等函数的连续性：(1)求初等函数的连续区间就是求这个的定义域： (2)求初等函数的间断点，就是求使函数无意义的点： (3)求初等函数在定义域内点的极限值，就是求函数在该点的函数值. 4.闭区间连续函数的性质：(1)最值性：(2)介值性：(3)零点性（根的存在性） 作业P173:4(3)(5:5:6. 2.1导数的概念 教学内容： 导数反映了函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即函数的变化率，它使得人们能 够用数学工具描述事物变化的快慢及解决一系列与之相关的问题 一、复习引入： 1、函数的连续性： 10
福建交通职业技术学院教案纸 第 页 课程： 航海数学 10-11 学年 第_ 一 _学期 第 周 月 日 教 学 内 容 备 注 19 有一个实根. 如图 5 所示. 图 4 图 5 例 6 证明方程 3 2 x x − + = 4 1 0 在 (0,1) 内至少有一个实根. 证 设 f (x) = 4 1 3 2 x − x + ，显然 f (x) 在 0,1 上连续，且 f (0) = 1， f (1) = −2 ，即 f (0) f (1) 0 . 由零点性质， f (x) 在 (0,1) 内至少有一个实根. 三、课堂练习 证明方程 3 1 2 x − x = 在区间（1，2）内有实根. 四、课堂小结 1．改变量（增量）有正负. 2．函数的点连续： lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → . 3．初等函数的连续性：（1）求初等函数的连续区间就是求这个的定义域； （2）求初等函数的间断点，就是求使函数无意义的点； （3）求初等函数在定义域内点的极限值，就是求函数在该点的函数值. 4．闭区间连续函数的性质：（1）最值性；（2）介值性；（3）零点性（根的存在性）. 作业 P17 3；4（3）（5）；5；6. 2.1 导数的概念 教学内容： 导数反映了函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即函数的变化率，它使得人们能 够用数学工具描述事物变化的快慢及解决一系列与之相关的问题. 一、复习引入： 1、函数的连续性；
福建交通职业技术学院教案纸 第页 课程：航海数学—一10-11学年第二学期第一周一月一日 教学内容 备注 2、物理学上速度路程时间三者之间的关系：S=f),当。→。+△山时， AS=/儿。+)-6。).平均速度下=S-S。f北。+)-北) I-to △M ①匀速：平均速度等于瞬时速度： ②变速：时间间隔短表示在1，的瞬时速度，但还不够精确。为了表示瞬时速度，我们令 1→即→0.-名典飞+刘 △S 3、曲线上有个定点M(ko,%),动点M,(x。+△x,%+△y以，过这两个点的直线的斜率 为：（画图来进行说明） amo=g-f+A以-北) 4 定点，大)切践幸为ma=色能-n+飞 △r 二、新课讲投： 变速直线运动的瞬时速度是物理问题，曲线切线的斜率是几何问题，但是它们都可以归 结为如下彩式的辰风。巴是-巴在+飞，未带量比的餐限，我比它定 为函数的导数. 1、导数的概念 设通数心)在点，的装个多城内有定义，若极限巴是存在，则比侵限 解释一下邻域的 称为函数fx)在点x。处的导数（也称fx)在点。处可导，否则fx)在点x。处不可导） 概念 记作 f 即/-是-典飞+.- Ar X-Xo 20
福建交通职业技术学院教案纸 第 页 课程： 航海数学 10-11 学年 第_ 一 _学期 第 周 月 日 教 学 内 容 备 注 20 2、物理学上速度路程时间三者之间的关系： S = f (t)，当 t → t + t 0 0 时， ( ) ( ) 0 0 S = f t + t − f t ，平均速度 ( ) ( ) t f t t f t t t S S V + − = − − = 0 0 0 0 . ① 匀速：平均速度等于瞬时速度； ② 变速：时间间隔短表示在 0 t 的瞬时速度，但还不够精确. 为了表示瞬时速度，我们令 0 t → t ，即 t →0， ( ) ( ) ( ) t f t t f t t S V t t t + − = = → → 0 0 0 0 0 lim lim . 3、曲线上有个定点 ( ) 0 0 0 M x , y ，动点 M (x + x y + y) 1 0 0 , ，过这两个点的直线的斜率 为：(画图来进行说明) ( ) ( ) x f x x f x x y + − = = 0 0 tan ， 过定点 ( ) 0 0 0 M x , y 的切线斜率为： ( ) ( ) x f x x f x x y x x + − = = → → 0 0 0 0 tan lim lim . 二、新课讲授： 变速直线运动的瞬时速度是物理问题，曲线切线的斜率是几何问题，但是它们都可以归 结为如下形式的极限： ( ) ( ) x f x x f x x y x x + − = → → 0 0 0 0 lim lim ，求增量比的极限，我们把它定义 为函数的导数. 1、导数的概念 设函数 f (x) 在点 0 x 的某个邻域内有定义，若极限 x y x →0 lim 存在，则此极限 解释一下邻域的 称为函数 f (x) 在点 0 x 处的导数（也称 f (x) 在点 0 x 处可导，否则 f (x) 在点 0 x 处不可导）. 概念. 记作 ( ) 0 0 , , 0 x x x x dx dy f x y = = . 即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 lim lim lim x x f x f x x f x x f x x y f x x x x x − − = + − = = → → →