福建交通职业技术学院教案纸 第页 课程：航海数学—10-山学年第二学期第周月一日 教学内容 备注 右极限不相等，所以当x→0时f(x)的极限不存在 判断分段函数fx)在其定义域交界点x。处的极限是否存在时，需要考察其左右极限的情况 x+1 -0<x<0 例4函数f(x)={x20≤x≤1，判别函数当x→0，x1,x→1.7时 1 x>1 极限的存在性，若存在则求之 解(1)由于mf)=m(x+)=1,mf(x)=mx之=0，所以盟f(x)不存在 (2)由于mfx)=mx2=l,mfx)=n1=1,所以mfx)=1: (3)m,f)=,1=1 课堂小结 1.应该熟记六种基本初等函数的性态，同时学习了复合函数与初等函数的概念，在微积分 运算中，常把一个初等函数分解为基本初等函数来研究： 2.了解极限的定义，会求函数在一点处的极限、左右极限及极限存在的充要条件 作业：P21(2)(3):P52:3. 1.3极限运算法则 一、复习提问 1.复合函数复合过程： 2.两种情形的函数极限的概念： 3。函数极限的两条性质： 4.左右极限的概念，左右极限存在与极限存在的关系。 二、讲授新课 前面我们学习了极限的定义，极限的定义能够证明或验证极限，但不是求极限的方法 为了求出比较复杂的函数的极限，需要用到极限的运算法则. 1.极限的运算法则 若mfx)=A与mg)=B,则有 (1)lim(f(x)±g(x》=lim f(x)±limg(x)=A±B 6
福建交通职业技术学院教案纸 第 页 课程： 航海数学 10-11 学年 第_ 一 _学期 第 周 月 日 教 学 内 容 备 注 6 右极限不相等，所以当 x →0 时 f (x) 的极限不存在. 判断分段函数 f (x) 在其定义域交界点 0 x 处的极限是否存在时，需要考察其左右极限的情况. 例 4 函数 1 0 1 0 1 1 ( ) 2 − + = x x x x x f x ，判别函数当 x →0， x →1， x →1.7 时 极限的存在性，若存在则求之. 解 （1）由于 lim ( ) lim ( 1) 1 0 0 = + = → − → − f x x x x ， lim ( ) lim 0 2 0 0 = = → + → + f x x x x ，所以 lim ( ) 0 f x x→ 不存在； （2）由于 lim ( ) lim 1 2 1 1 = = → − → − f x x x x ， lim ( ) lim 1 1 1 1 = = → + → + x x f x ，所以 lim ( ) 1 1 = → f x x ； （3） = → lim ( ) 1.7 f x x lim 1 1 1.7 = x→ . 课堂小结 1.应该熟记六种基本初等函数的性态，同时学习了复合函数与初等函数的概念，在微积分 运算中，常把一个初等函数分解为基本初等函数来研究； 2.了解极限的定义，会求函数在一点处的极限、左右极限及极限存在的充要条件. 作业：P2 1（2）（3）；P5 2；3. 1.3 极限运算法则 一、复习提问 1. 复合函数复合过程； 2. 两种情形的函数极限的概念 ； 3. 函数极限的两条性质； 4. 左右极限的概念，左右极限存在与极限存在的关系. 二、讲授新课 前面我们学习了极限的定义，极限的定义能够证明或验证极限，但不是求极限的方法. 为了求出比较复杂的函数的极限，需要用到极限的运算法则. 1. 极限的运算法则 若 0 lim ( ) x x f x A → = 与 0 lim ( ) x x g x B → = ，则有 （1） 0 lim( ( ) ( )) x x f x g x → 0 lim ( ) x x f x → = 0 lim ( ) x x g x → = A B
福建交通职业技术学院教案纸 第页 课程： 航海数学 10-1山学年第二学期第—周月一日 教学内容 备注 注：此公式仅适用于有限项，否则不成立 日后叶京+京++分 (2)lim f()g()=lim f()lim g(x)4.B. 特殊地有limcf(x)=c limf(x)=cA(c为常数)， 得 (B≠0) 以上运算法则对x→o也成立.注意法则成立的前提是1imf(),limg(x)存在，若 前提条件不清足，则法则失效。如m(r中-)≠m中-imV厅 2.举例 州1阳：的州2期二子 我们把分子和分母都趋于0的极限形式地称为（日型。 求（只型极限的一般方法是分子分母同时约去使分母为0的式子。 丘-2：例4求m天 例3求mx-4 ,x+-1,例5求3x-5 2x2+1 a,当n=m, m+a++0 0,当n>m, 0bnx"+bx-+.+bn o,当n<m, 我们把分子和分母都趋于的极限形式地称为（巴）型， 求（一）型极限的一般方法是将分式约简或分子分母同除以x的最高次幂或除以某个以 0为极限的函数式等. (x-2)13 例6求即-旷2x+
福建交通职业技术学院教案纸 第 页 课程： 航海数学 10-11 学年 第_ 一 _学期 第 周 月 日 教 学 内 容 备 注 7 注：此公式仅适用于有限项，否则不成立. 如 2 2 2 2 2 2 lim 2 lim 1 ) lim 1 2 lim ( n n n n n n n→ n n n→ n→ n→ + ++ + ++ . （2） 0 lim ( ) ( ) x x f x g x → 0 lim ( ) x x f x → = 0 lim ( ) x x g x → = A B . 特殊地有 0 lim ( ) x x cf x → = c 0 lim ( ) x x f x → = cA （c 为常数）. （3） 0 ( ) lim ( ) x x f x → g x = 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x g x → → B A = （ B 0 ）. 以上运算法则对 x → 也成立. 注意法则成立的前提是 0 lim ( ) x x f x → ， 0 lim ( ) x x g x → 存在，若 前提条件不满足，则法则失效. 如 lim ( 1 ) lim 1 lim x x x x x x x →+ →+ →+ + − + − . 2．举例 例 1 求 2 2 1 3 1 lim x 4 2 x x →− x x − + + − ；例 2 求 2 3 2 lim 2 2 2 − − − + → x x x x x . 我们把分子和分母都趋于 0 的极限形式地称为 ) 0 0 ( 型. 求 ) 0 0 ( 型极限的一般方法是分子分母同时约去使分母为 0 的式子. 例 3 求 4 2 lim 4 − − → x x x ；例 4 求 x x x 1 1 lim 0 + − → ，例 5 求 3 5 2 1 lim 3 2 − + → x x x . = + + + + + + − − → n n n m m m x b x b x b a x a x a 1 0 1 1 0 1 lim = , , 0, , , , 0 0 n m n m n m b a 当 当 当 我们把分子和分母都趋于 的极限形式地称为 ( ) 型. 求 ( ) 型极限的一般方法是将分式约简或分子分母同除以 x 的最高次幂或除以某个以 为极限的函数式等. 例 6 求 ( ) 8 7 15 1 (2 1) ( 2) lim − + − →+ x x x x
福建交通职业技术学院教案纸第页 课程：航海数学一10-1学年第二学期第一周一月一日 教学内容 备注 1-3 1 解原式=m -e* 此例基于结论：若4<1，则mq=0. 4 3.极限的运算方法小结 除了（骨和（爱型以外还有(0一四）型等形式的极限，一般可以通过通分等方法转化为 (或（型的慢限来求。常用的方法有：因分法：提取公因式法。分子或分母有理 法起（分、受、0-）一6名台各来确定概限位 作业：P81(4)(7:2(2):(4)(10)(11). 1.4两个重要极限 一、复习提问 1.极限四则运算法则： 2.极限运算的方法. 二、讲授新课 本节时论两个重要极：1+- 1小第一个重要损限白-1 下表列出了当x取接近0的数时函数血x的一些函数值。 1 0.5 0.1 0.01 sinx 0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 从表可以看出，当x→0时，函数n→1.即=1，也可以写成m= X 8
福建交通职业技术学院教案纸 第 页 课程： 航海数学 10-11 学年 第_ 一 _学期 第 周 月 日 教 学 内 容 备 注 8 解 原式 8 7 15 ) 1 ) (2 1 (1 ) 2 (1 lim x x x x − + − = →+ 7 2 1 = . 此例基于结论：若 q 1 ，则 lim = 0 →+ x x q . 例 7 求 2 2 2 1 2 lim ( n n n n n + + + → ）；例 8 求 ) 2 1 4 4 lim ( 2 2 − − x→ x − x ；例 9 求 lim x ( x 2 x) x + − →+ . 3. 极限的运算方法小结 除了 ) 0 0 ( 和 ( ) 型以外还有 ( − ) 型等形式的极限，一般可以通过通分等方法转化为 ) 0 0 ( 或 ( ) 型的极限来求. 常用的方法有：因式分解法；提取公因式法；分子或分母有理化 法.把 ) 0 0 ( 、 ( ) 、 ( − ) 2 1 , , , 0 , 0 c c c c c c 来确定极限值. 作业：P8 1（4）（7）；2（2）；（4）（10）（11）. 1.4 两个重要极限 一、复习提问 1. 极限四则运算法则； 2. 极限运算的方法. 二、讲授新课 本节讨论两个重要极限： 1 sin lim 0 = → x x x 和 e x x x = + → 1 lim 1 . 1、第一个重要极限 1 sin lim 0 = → x x x ． 下表列出了当 x 取接近 0 的数时函数 sin x x 的一些函数值. x 1 0.5 0.1 0.01 sin x x 0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 从表可以看出，当 x →0 时，函数 sin 1 x x → .即 1 sin lim 0 = → x x x ，也可以写成 0 sin lim 1 y y → y =
福建交通职业技术学院教案纸 第页 课程： 航海数学 10-1山学年第二学期第—周月一日 教学内容 备注 )3 ”欧号 州二品2四2 例3求mx-云 解原式=2还 2 例4求-s项： 解原式=。 》 1g“号 例5求m1cosx x 2 2==1 L 2 J 2、第二个重要极限m1+=e或m(1+x)=e. 表列出了当x取接近0的数时函数(1+y的一些函数值 表14.2 10 100 1000 10000 +y 2.250 2.594 2.705 2.717 2.718
福建交通职业技术学院教案纸 第 页 课程： 航海数学 10-11 学年 第_ 一 _学期 第 周 月 日 教 学 内 容 备 注 9 例 1 求 x x x sin 3 lim →0 ． 解 原式 0 3sin 3 lim x 3 x → x = 0 sin 3lim y y → y = =3. （令 3x y = ） 例 2 求 x x x sin tan 2 lim →0 ． 解 原 0 2sin 2 lim( ) x 2 cos 2 sin x x → x x x = = 0 0 0 sin 2 1 2lim lim lim 2 x x x 2 sin cos 2 x x → → → xxx = ． 例 3 求 → x − x x 2 cos lim ． 解 原式 sin( ) 1 2 2 lim 2 2 2 x x x → − = = − − ． 例 4 求 3 0 tan sin lim x x x x − → . 解 原式 3 0 1) cos 1 sin ( lim x x x x − = → ) cos sin 1 cos 1 lim ( 2 0 x x x x x x − = → 2 1 = . 例 5 求 2 1 cos lim 2 0 x x x − → . 解 原式 2 0 1 cos lim 2 x x → x − = 2 2 0 2sin 2 lim 2 x x → x = = 2 0 sin 2 lim 2 x x → x = 2 1 1 = . 2、第二个重要极限 e x x x + = → ) 1 lim (1 或 1 0 lim(1 ) x x x e → + = ． 表列出了当 x 取接近 0 的数时函数 1 (1 )x x + 的一些函数值. 表 1.4.2 x 2 10 100 1000 10000 1 (1 )x x + 2.250 2.594 2.705 2.717 2.718
福建交通职业技术学院教案纸第页 课程：航海数学一10-1学年第二学期第一周一月一日 教学内容 备注 从表1.4.2可以看出，当x→o时，函数(1+)→e:即 m0+=e或1m1+=e,其中e=271828182845· 和第一个重要极限相类似，公式m+x少=e可以写成，m+f心x而=e: 会式典+宁=e可以写+高=e 例6求m0+3、 解原式=m1+=e2 例7求 解武-趣0+之宁的.e月 -3 例8求1-3刘月 解原式=iml+←3x点=e 例9求-受。 解就-+-+0+吉=e1e. 3.课堂小结 本节讲述了两个极限的收敛准则，两个重要极限及利用两个重要极限求限的方法 上在第-个宝要题限的特点：是数：@影式8发或甲品中的 0 三个(x)应该是一样的.（要注意sin符号后面的内容） 0
福建交通职业技术学院教案纸 第 页 课程： 航海数学 10-11 学年 第_ 一 _学期 第 周 月 日 教 学 内 容 备 注 10 从表 1.4.2 可以看出，当 x → 时，函数 1 (1 )x e x + → ；即 e x x x + = → ) 1 lim (1 或 1 0 lim(1 ) x x x e → + = ，其中 e = 2.71828182845 . 和第一个重要极限相类似，公式 1 0 lim(1 ) x x x e → + = 可以写成 1 ( ) ( ) 0 lim [1 ( )]f x f x f x e → + = ； 公式 e x x x + = → ) 1 lim (1 可以写成 ( ) ( ) 1 lim [1 ] ( ) f x f x e → f x + = . 例 6 求 x x x ) 3 lim (1+ → ． 解 原式 3 3 3 ) 3 1 lim (1 e x x x = + = → ． 例 7 求 x x x ) 2 3 lim (1− → ． 解 原式 2 3 ) 2 3 ( 3 2 ) 3 2 1 lim (1 − − − → = − = + e x x x . 例 8 求 x x x 2 0 lim (1− 3 ) → ． 解 原式 1 ( 6) 3 0 lim[1 ( 3 )] x x x − − → = + − −6 = e . 例 9 求 2 2 lim( ) 3 x x x x + → − − ． 解 原式 1 3 5 lim(1 ) 3 x x x − + → = + − 1 1 3 5 lim(1 ) (1 ) 1 3 3 x x e e x x − → = + + = = − − . 3.课堂小结 本节讲述了两个极限的收敛准则，两个重要极限及利用两个重要极限求限的方法. 1. 在第一个重要极限的特点：（1） 是 型 0 0 ；（2）形式必须一致，即 ( ) 0 sin ( ) lim ( ) x x x → 中的 三个 （x) 应该是一样的.（要注意 sin 符号后面的内容）