北京航空航天大学：《材料力学》第七章 应力、应变状态分析（蒋持平）

第18单元 第七章应力、应变状态分析 §7-1引言 简单受力情况:单向拉伸,纯剪(扭),根据实验建立强度条件。 复杂应力状态 工字钢横力弯曲 AA:一 B点:如何建立强度条件,根据[]还是[中 需要对一点的应力进行深入研究 构件内,过一点所作各微截面的应力状况,称为该点处的应力状态。应用 应力微体研究

1 第 18 单元 第七章 应力、应变状态分析 §7-1 引言 简单受力情况：单向拉伸，纯剪(扭)，根据实验建立强度条件。 复杂应力状态: 工字钢横力弯曲 B 点：如何建立强度条件，根据  还是  ? 需要对一点的应力进行深入研究。 构件内，过一点所作各微截面的应力状况，称为该点处的应力状态。应用 应力微体研究

§7-2平面应力状态的应力分析 、平面应力状态(一对平行侧面上无应力,其余面 上的应力平行于这对平面) 二、研究:任一斜截面的应力(与无应力平面垂直的 平面)可画平面图(单位厚度应力) 、符号规定: 方位角α,(从x轴)逆时针正 正应力σ:拉为正 剪应力τ:使顺时针转正 四、方法:微体(微块)(单位厚度)的平衡 G 乙4A TaSso 微三角块平衡 ordAIn 五、结果 y+6,O、-0 20s20-τxSin2a Smn2+ I cOS∠0 六、已知 求σ 解析法 G,=80MPa,σ 30MPa 82 τx=-60MPa,a=210(或-1509 x轴向左,则=30°,代入公式 80+(-30),80-(-30) cos60°-(-60)sin60°=10446MPa 2 80-(-30 sin60°+(-60)cos60°=835MPa

2 §7-2 平面应力状态的应力分析 一、平面应力状态(一对平行侧面上无应力，其余面 上的应力平行于这对平面) 二、研究：任一斜截面的应力(与无应力平面垂直的 平面)可画平面图(单位厚度应力) 三、符号规定： 方位角  ，(从 x 轴)逆时针正 正应力  ：拉为正 剪应力  ：使顺时针转正 四、方法：微体（微块）（单位厚度）的平衡 微三角块平衡 五、结果  −    −  +  +   = 2 2 2 2 cos x sin x y x y  +    −   = 2 2 2 sin cos x x y 六、已知 x , y ,  x ,  ， 求  ，   ——解析法 x = 80MPa，y = −30MPa  x = −60MPa， = 210(或 −150) x 轴向左，则  = 30 ，代入公式 ( ) ( ) 60 ( 60) 60 104 46MPa 2 80 30 2 80 30 cos  − − sin  = . − − + + −  = ( ) 60 ( 60) 60 8 35MPa 2 80 30 sin  + − cos  = . − −  =

§7-3应力圆—求σa,τ的图解法 原理 从上节: o+o..-o 2a in 2a 2Sin 2a+tx cos 2a 两边平方后相加(第一个方程移项) τ 2 2 从数学观点 (x-a)2+y2=R σa,τa的轨迹为圆,圆心 201,半径,∥x-0)2 τ 名称:应力圆 应力圆的绘制及应用 (知道了圆心和半径就可以绘制应力图,但这样有两个缺点:1)麻烦:要 L O T

3 §7-3 应力圆——求  ，   的图解法 一、原理 从上节：  −    −  +  +   = 2 2 2 2 cos x sin x y x y  +    −   = 2 2 2 sin cos x x y 两边平方后相加(第一个方程移项) ( ) 2 2 2 2 2 0 2 x x y x y +           −  +  − =          +   −  从数学观点 ( ) 2 2 2 x − a + y = R  ，   的轨迹为圆，圆心          +  0 2 , x y ，半径 2 2 2 x x y +           −  ， 名称：应力圆 二、应力圆的绘制及应用 （知道了圆心和半径就可以绘制应力图，但这样有两个缺点：1)麻烦：要

算半径;2)还没有清楚说明应力圆上的点与微体的面的关系) 1.取σ。,τ坐标(一般省去下标α,为σ,τ) 2.x面上的应力以D(x,x)点表示,y面上的应力以E(y,,)点表示。 (∵τx与τy,数值相等,故DF=EC,CD为直径,与坐标轴的交点即为圆心 3.连D、E,交σ坐标轴于C,以C为圆心,CE或CD为半径作圆,即得应力 圆 、应力圆的应用一一求α面上的应力 CD转2a至CH,点H坐标即为oa,τa(见P209证明) 四、圆与面的关系(应力圆与微体截面的关系) 1.圆上一点坐标=微体一个截面应力值 2.圆上两点所夹圆心角=两截面法线夹角的两倍 3对应夹角转向相同 问:x正向一侧对应,负向一侧对应何点? 答:仍是D点。从应力圆,转2×180°=360°仍回到D点 从微体平衡,两侧应力数值相等,按所给的符号规定,符号也相等。 五、思考题 已知σA,τA,B,τB,如何作应力圆

4 算半径；2)还没有清楚说明应力圆上的点与微体的面的关系) 1.取 ，   坐标(一般省去下标  ，为 ， ) 2. x 面上的应力以 ( ) D x x  ,  点表示， y 面上的应力以 ( ) E y y  ,  点表示。 ( x  与 y  数值相等，故 DF=EG,CD 为直径，与坐标轴  的交点即为圆心) 3.连 D、E，交  坐标轴于 C，以 C 为圆心， CE 或 CD 为半径作圆，即得应力 圆。 三、应力圆的应用——求  面上的应力 CD 转 2  至 CH，点 H 坐标即为  ，   (见 P209 证明) 四、圆与面的关系(应力圆与微体截面的关系) 1.圆上一点坐标=微体一个截面应力值 2.圆上两点所夹圆心角=两截面法线夹角的两倍 3.对应夹角转向相同 问： x 正向一侧对应 ，负向一侧对应何点? 答：仍是 D 点。从应力圆，转 2180 = 360 仍回到 D 点。 从微体平衡，两侧应力数值相等，按所给的符号规定，符号也相等。 五、思考题 已知  A， A  ，B， B  ，如何作应力圆

解:联AB,并作它的中垂线,交G轴于C,C为圆心 问:a角在圆上如何表示 答:已自动确定,σA,TA,σB,τB,α不独立。 §7-4平面应力状态的极值应力与主应力 C A点所对应截面的实际应力方向,借助应力圆画出 、平面应力状态的极值应力 o-O R τ + max ⊥o FD′ 2.m方位:1go=BFOx-mn DE tg 2a (有两个角,由应力圆或微体x面剪 CF

5 解：联 AB，并作它的中垂线，交  轴于 C，C 为圆心。 问：  角在圆上如何表示 答：已自动确定，  A， A  ，B， B  ， 不独立。 §7-4 平面应力状态的极值应力与主应力 A 点所对应截面的实际应力方向，借助应力圆画出。 一、平面应力状态的极值应力 2 2 2 x x y R +           −  = 1. max min min max   ⊥  +  =   R x y 2 2. max 方位： y x x x BF FD tg  −   = −  −   = −   = − min max 0 x y x CF DF tg  −    = = − 2 2 0 (有两个角，由应力圆或微体 x 面剪