第七单元 第四章扭转 §4-1引言 受扭杆通常称为轴。 工程实例:方向盘轴、传动轴 (力学特征) 外力特征:力偶矩矢/杆轴 变形特征:各轴线仍直,各横截面绕轴作相对转动。 力偶矩矢表示的右手螺旋法则。 M 3M1
1 第七单元 第四章 扭转 §4-1 引言 受扭杆通常称为轴。 工程实例：方向盘轴、传动轴。 (力学特征) 外力特征：力偶矩矢//杆轴。 变形特征：各轴线仍直，各横截面绕轴作相对转动。 力偶矩矢表示的右手螺旋法则
2-M T 1.内力:扭矩T (矢量表示法与拉压杆轴力形式相同) 工程换算(p91):Np=M N为功率,单位:k,千瓦。:角速度(弧度/秒),n=转速(r/min,转/分)。 9549N M 2.内力计算:截面法 符号:力偶矩矢离开截面为正 设正法(未知扭矩假定为正向 (对比轴力的计算与符号规定) 3.扭矩图(内力的形象表示) §4-2圆轴扭转应力矩 我们已经研究了扭转轴的受力特性和变形特性,扭矩可根据静力平衡方程 求出,但由于其截面各点扭转剪应力不相同,不能利用静力学方程(横截面各 点应力的合力等于内力)确定圆轴横截面扭转应力,要综合几何、物理和静力
2 1.内力：扭矩 T (矢量表示法与拉压杆轴力形式相同) 工程换算(p91)： Np = M N p 为功率，单位： kW ，千瓦。 ：角速度(弧度/秒)，n=转速(r/min,转/分)。 M ( ) N n N m p = 9549 2.内力计算：截面法 符号：力偶矩矢离开截面为正 设正法(未知扭矩假定为正向) (对比轴力的计算与符号规定) 3.扭矩图(内力的形象表示) §4-2 圆轴扭转应力矩 我们已经研究了扭转轴的受力特性和变形特性，扭矩可根据静力平衡方程 求出，但由于其截面各点扭转剪应力不相同，不能利用静力学方程（横截面各 点应力的合力等于内力）确定圆轴横截面扭转应力，要综合几何、物理和静力
学三方面求解。) 扭转应力的一般公式, a 几何方面: 1.外部现象 (1)各圆周线形状不变,仅饶轴线作相对转动; (2)小变形时,各圆周线的大小与间距均不改变; (3)小变形时,纵线转动一角度。 可以设想圆轴由许多薄壁圆管组成,相邻管变形协调。 2.内部变形假定 根据所观测外部现象,对内部变形作如下假设: (1)平面假设:横截面绕轴线作刚性转动。(横截面仍保持为平面,其形状 和大小均不改变,半径仍为直线)
3 学三方面求解。） 一、 扭转应力的一般公式， 几何方面： 1．外部现象 （1）各圆周线形状不变，仅饶轴线作相对转动； （2）小变形时，各圆周线的大小与间距均不改变； （3）小变形时，纵线转动一角度。 可以设想圆轴由许多薄壁圆管组成，相邻管变形协调。 2．内部变形假定 根据所观测外部现象，对内部变形作如下假设： （1）平面假设：横截面绕轴线作刚性转动。(横截面仍保持为平面，其形状 和大小均不改变，半径仍为直线)
(2)各截面之间间距保持不变。 变形后,横截面保持平面,其形状、大小和间距不变,且半径为直线。显然, 根据本假定可知:圆轴纵向没有变形,因此,横截面没有正应力。横截面变形 为横截面间相对转动一角度,其变形为垂直半径剪切转动,即横截面内存在垂 直半径的剪切应变 3.数学描述:先取一圆片,再过轴线截二刀,得一楔形体。如图,此楔形 体变形可用二角度γ和d表示。纵向线偏转角y,两截面相对转角dq,根据 弧长=半径×圆心角 只% dd'= dx=ade (a) 物理方面: 由剪切胡克定律 I=Gr 将变形协调方程代入上式,(a)→(b) do =Gp dx p为横截面上任一点到轴线的距离,r为该点的剪应力。上式表明:扭转剪应 力随ρ线性变化(如图示)p=0的点,即原点处剪应力为0,轴边缘剪应力最大 半径为圆圈上剪应力相同:剪应力垂直半径。(G,《常数,了,沿半径线 性变化,τ。⊥半径)
4 （2）各截面之间间距保持不变。 变形后，横截面保持平面，其形状、大小和间距不变，且半径为直线。显然， 根据本假定可知：圆轴纵向没有变形，因此，横截面没有正应力。横截面变形 为横截面间相对转动一角度，其变形为垂直半径剪切转动，即横截面内存在垂 直半径的剪切应变。 3．数学描述：先取一圆片，再过轴线截二刀，得一楔形体。如图,此楔形 体变形可用二角度 p 和 d 表示。纵向线偏转角 ，两截面相对转角 d ，根据 弧长=半径×圆心角 dd = rdx = d r d dx = （a） 二、物理方面： 由剪切胡克定律 = G (b) 将变形协调方程代入上式， (a) → (b) = G d dx (c) 为横截面上任一点到轴线的距离， 为该点的剪应力。上式表明：扭转剪应 力随 线性变化（如图示） = 0 的点，即原点处剪应力为 0，轴边缘剪应力最大， 半径为 圆圈上剪应力相同；剪应力垂直半径。 ( G， d dx 常数， 沿半径线 性变化， ⊥ 半径)
D 三、静力学方面 由于横截面各点剪应力的合力构成其内力。即剪应力的合力偶等于扭矩。 「 pt dA4=T 将物理方程代入上式,即将式(c)代入 G∫p2dA=T T dx Gl ∫P2d4极惯性矩 这是圆轴扭转变形的基本公式,代入式(c)
5 三、静力学方面 由于横截面各点剪应力的合力构成其内力。即剪应力的合力偶等于扭矩。 dA T A = 将物理方程代入上式，即将式(c)代入 G d dx dA T A 2 = GI p T dx d = I p = dA 2 极惯性矩 (4-1) 这是圆轴扭转变形的基本公式，代入式(c)