第15单元 第六章弯曲变形 §6-1引言 应用:梁的刚度问题,静不定梁,压杆稳定 挠曲轴:变弯后的梁轴(当外力位于梁对称面内时,挠曲线为平面曲线)。 线 挠度y(x):横截面形心的位移 转角O(x):横截面绕中性轴的转角 挠曲轴方程:y=y(x)(挠曲轴的解析表达式) 如8 y(x ax 0≈gO=y(x) (通常O<1°=0.01745弧度) §6-2梁变形基本方程 目的:求y(x),以(x)=y(对) 途径:建立微分方程求解 挠曲轴微分方程
1 第 15 单元 第六章 弯曲变形 §6-1 引言 应用：梁的刚度问题，静不定梁，压杆稳定 挠曲轴：变弯后的梁轴(当外力位于梁对称面内时，挠曲线为平面曲线)。 挠度 y(x) ： 横截面形心的位移 转角 (x) ：横截面绕中性轴的转角 挠曲轴方程： y = y(x) (挠曲轴的解析表达式) tg ( ) dy dx = = y x tg = y(x) (通常 1 =0.01745 弧度) §6-2 梁变形基本方程 目的：求 y(x)，(x)= y(x) 途径：建立微分方程求解 一、挠曲轴微分方程
1.中性层曲率表示的弯曲变形公式 1M(x) (其中M可以通过弯矩方程表示为x的函数,p为曲率半径,它可由y和y”表 2.由数学 ±y" p(1+y 3.挠曲轴微分方程 ±y (1 1+y E 4.方程简化,挠曲轴近似微分方程 小变形,y()<0.0175(弧度) <<1 1+y2≈1 ((1)式分母等于1) 正负号确定——确定坐标系:y向上 入 k y">0(从数学) <0 M>0(本书规定) M<0 →选正号
2 1.中性层曲率表示的弯曲变形公式 1 ( ) = M x EI (其中 M 可以通过弯矩方程表示为 x 的函数， 为曲率半径，它可由 y 和 y 表 示) 2.由数学 ( ) 1 1 2 3 2 = + y y 3.挠曲轴微分方程 ( ) ( ) + = y y M x EI 1 2 3 2 (1) 4.方程简化，挠曲轴近似微分方程 小变形， y( ) 0.0175(弧度) y 2 1 1 1 2 + y ((1)式分母等于 1) 正负号确定——确定坐标系： y 向上 y 0 (从数学) y 0 M 0 (本书规定) M 0 选正号
M 、积分法计算梁的变形 6 +c El Mx d x+cx+D El C、D为积分常数,它由位移边界与连续条件确定 位移边界与连续条件 A E 高 边界条件:固定端yA4=0,64=0 固定铰,活动铰y=0,y=0 自由端:无位移边界条件 连续条件 y=0y=00=0 例1:
3 ( ) y = M x EI 二、积分法计算梁的变形 ( ) = y = + M x EI dx C ( ) y M x EI = dx + Cx + D C、D 为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。 三、位移边界与连续条件 边界条件：固定端 yA = 0, A = 0 固定铰，活动铰 yE = 0, yF = 0 自由端：无位移边界条件 连续条件 y y C C C C 左 右 左 右 = 0 = 0 = y y y y B B G G G G 左 右 左 右 左 右 = = = 例 1：
M M( (0=)y(x) x+c El )=1 x+cx+D 2ET 由y(0)=0D=0y(0)=0C El (x) MO El 例2:求挠曲轴微分方程 么 M ⊥ 士M 十 ±M AB段: BC段 EI(I +Cix+D +C x+D 6E E/(6l2
4 M(x) = M0， y(x) = M EI 0 ( =)y(x) = + M EI x C 0 y(x) M EI = x + Cx + D 0 2 2 由 y(0) = 0 D = 0 y(0) = 0 C = 0 ( ) ( ) = = y x M EI x x M EI x 0 2 0 2 例 2：求挠曲轴微分方程 AB 段： BC 段 y = M EI x l 1 0 = − y M EI x l 2 0 1 y M EI x l = + C x + D 0 3 1 1 6 y M EI x l x = − C x D + + 0 3 2 2 2 6 2
边界和连续条件 y1(0)=0 y2(=0 y25(连续条件) 2)=y(2/(光滑条件) 四个方程定4个常数 H()=x 24IEⅠ 2()=M(x= 24Ell
5 边界和连续条件 y ( ) 1 0 = 0 y (l) 2 = 0 y l y l 1 2 2 2 = (连续条件) = y l y l 1 2 2 2 (光滑条件) 四个方程定 4 个常数 y (x) ( ) M x lEI x l 1 0 2 2 24 = 4 − ( ) ( ) y x M x l EIl 2 0 24 = −