所以 ∑∫()△ak=∑(,m)+i(5,)(△k+△)
¤± Xn k=1 f(ζk)△zk = Xn k=1 [u(ξk, ηk) + iv(ξk, ηk)] (△xk + i△yk) = Xn k=1 [u(ξk, ηk)△xk − v(ξk, ηk)△yk] +i Xn k=1 [v(ξk, ηk)△xk + u(ξk, ηk)△yk]. du u, v Ñ´ëY¼ê, âÈ©3½n, þªm àüÚª4Ñ´3. Ïd Z C f(z)dz = Z C udx − vdy + i Z C vdx + udy. 8/127
所以 ∑∫()△ak=∑(,m)+i(5,)(△k+△) ∑(k,m)Ax-0(5k,m)△ +(5,m)△rk+(,m)△ 由于.都是连续函数,根据线积分的存在定理,上式右 存在的
¤± Xn k=1 f(ζk)△zk = Xn k=1 [u(ξk, ηk) + iv(ξk, ηk)] (△xk + i△yk) = Xn k=1 [u(ξk, ηk)△xk − v(ξk, ηk)△yk] +i Xn k=1 [v(ξk, ηk)△xk + u(ξk, ηk)△yk]. du u, v Ñ´ëY¼ê, âÈ©3½n, þªm àüÚª4Ñ´3. Ïd Z C f(z)dz = Z C udx − vdy + i Z C vdx + udy. 8/127
所以 ∑∫()△ak=∑(,m)+i(5,)(△k+△) ∑(k,m)Ax-0(5k,m)△ +(5,m)△rk+(,m)△ 由于u,υ都是连续函数,根据线积分的存在定理,上式右 端的两个和式的极限都是存在的.因
¤± Xn k=1 f(ζk)△zk = Xn k=1 [u(ξk, ηk) + iv(ξk, ηk)] (△xk + i△yk) = Xn k=1 [u(ξk, ηk)△xk − v(ξk, ηk)△yk] +i Xn k=1 [v(ξk, ηk)△xk + u(ξk, ηk)△yk]. du u, v Ñ´ëY¼ê, âÈ©3½n, þªm àüÚª4Ñ´3. Ïd Z C f(z)dz = Z C udx − vdy + i Z C vdx + udy. 8/127
所以 ∑∫()△ak=∑(,m)+i(5,)(△k+△) ∑(k,m)Ax-0(5k,m)△ +(5,m)△rk+(,m)△ 由于u,υ都是连续函数,根据线积分的存在定理,上式右 端的两个和式的极限都是存在的.因此 f(z)dz=/udx -udy+i/ udx +ud
¤± Xn k=1 f(ζk)△zk = Xn k=1 [u(ξk, ηk) + iv(ξk, ηk)] (△xk + i△yk) = Xn k=1 [u(ξk, ηk)△xk − v(ξk, ηk)△yk] +i Xn k=1 [v(ξk, ηk)△xk + u(ξk, ηk)△yk]. du u, v Ñ´ëY¼ê, âÈ©3½n, þªm àüÚª4Ñ´3. Ïd Z C f(z)dz = Z C udx − vdy + i Z C vdx + udy. 8/127
上式的另一表示形式 因为曲线C的参数方程 1)=x(1)+(1(a≤t≤
• þª,L«/ª ÏǑ C ëê§ z(t) = x(t) + iy(t) (α 6 t 6 β), âÈ©O{, ¤± Z C f(z)dz = Z C u(x, y)dx − v(x, y)dy + i Z C v(x, y)dx + u(x, y)dy = Z β α {u[x(t), y(t)]x ′ (t) − v[x(t), y(t)]y ′ (t)}dt +i Z β α {v[x(t), y(t)]x ′ (t) + u[x(t), y(t)]y ′ (t)}dt þªm౤ Z β α {u[x(t), y(t)] + iv[x(t), y(t)]} · {x ′ (t) + iy′ (t)}dt = Z β α f[z(t)]z ′ (t)dt. ¤± Z Z β 9/127