记△sk=k-12k的长度,6=max{△sk} ≤k≤n 如果δ趋于零时,如果无论对C的分法及k的取法如 何,Sn有唯一的极限,那么称这极限值为函数f(z)沿曲 线C的积分,记作 f()d2=im∑f()△a
P △sk = z\k−1zk Ý, δ = max 16k6n {△sk}. XJ δ ªu", XJ Øé C ©{9 ζk {X Û,Sn k4, o¡ù4Ǒ¼ê f(z) ÷ C È©, P Z C f(z)dz = lim n→∞ X n k=1 f(ζk)△zk. 5/127
2.积分存在的条件及其计算方法 果f(2)=(x,0)+(x,0)在光滑曲 线C上连续,则f(=)d2存在,并且有 udr-vdy+i/ udc+udy
2. È©3^9ÙO{ Ì(Ø: XJ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) 31w C þëY, K Z C f(z)dz 3, ¿ k Z C f(z)dz = Z C udx − vdy | {z } +i Z C vdx + udy | {z } . 6/127
2.积分长在的条件及其计算方法 主要结论:如果∫(x)=u(x,y)+iv(x,y)在光滑曲 线C上连续,则/(e长在并且有 f(a)dx= udz -udy +i/ vd.+udy
2. È©3^9ÙO{ Ì(Ø: XJ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) 31w C þëY, K Z C f(z)dz 3, ¿ k Z C f(z)dz = Z C udx − vdy | {z } +i Z C vdx + udy | {z } . 6/127
推导:设光滑曲线C的参数方程 z=z(t)=x(t)+iy(t),a≤t≤ 正方向为参数增加的方向,参数a及B对应于起点A及 终点B,并且z2(t)≠0,a<t<B
í: 1w C ëê§ z = z(t) = x(t) + iy(t), α 6 t 6 β ǑëêO\, ëê α 9 β éAuå: A 9 ª: B, ¿ z ′ (t) 6= 0, α < t < β. XJ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) 3 D S??ëY, ζk = ξk + iηk, du △zk = zk − zk−1 = xk + iyk − (xk−1 + iyk−1) = xk − xk−1 + i(yk − yk−1) = △xk + i△yk, 7/127
推导:设光滑曲线C的参数方程 z=z(t)=x(t)+iy(t),a≤t≤ 正方向为参数增加的方向,参数a及对应于起点A及 终点B,并且z2(t)≠0,a<t<B 如果f(x)=u(x,y)+i(x,y)在D内处处连续, 设(k=5k+imk,由于 Azk= 2k-2k-1=k+iyk-(ak-1+iyk-1 =xk-xk-1+i(k-yk-1)=△xk+i△k
í: 1w C ëê§ z = z(t) = x(t) + iy(t), α 6 t 6 β ǑëêO\, ëê α 9 β éAuå: A 9 ª: B, ¿ z ′ (t) 6= 0, α < t < β. XJ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) 3 D S??ëY, ζk = ξk + iηk, du △zk = zk − zk−1 = xk + iyk − (xk−1 + iyk−1) = xk − xk−1 + i(yk − yk−1) = △xk + i△yk, 7/127