1.1节：线性空间 定义1.1.5 设V是一个线性空间，W是V的一个非空子集合.如果W关于V上的加法和 数乘也构成一个线性空间，则称W为V的一个线性子空间，有时简称子空 间(Subspaces). 例1.1.3：设V是一个线性空间，则由零向量组成的子集0}是V的一 个子空间，称为零子空间.另外，V本身也是V的子空间这两个特殊 的子空间称为V的平凡子空间，其他子空间都是非平凡子空间. 4口卡+8+三·4至+2分QC 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日81177
1.1!: Ç5òm ½¬1.1.5 V¥òáÇ5òm,W¥Vòáöòf8‹. XJW 'uV˛\{⁄ Ͷè§òáÇ5òm, K°WèV òáÇ5fòm, kû{°fò m(Subspaces). ~1.1.3: V¥òáÇ5òm, Kd"ï˛|§f8{0} ¥Vò áfòm, °è"fòm., , V è¥Vfòm.˘¸áAœ fòm°èV²Öfòm, Ÿ¶fòm—¥ö²Öfòm. › nÿëß| (ÍÆâÆÆ) › nÿ 2020c97F 8 / 177
定理1.1.1 设V是数域F上的一个线性空间，W是V的一个非空子集合.则W是V的一 个子空间的充要条件是W关于加法和数乘封闭，即 (1)对任意a,B∈W有a+B∈W, (2)对任意k∈F和任意a,∈W,有ka∈W. 4口卡+8+三·4至+2分QC 矩阵理论禄程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日91177
½n1.1.1 V¥ÍçF˛òáÇ5òm,W ¥Vòáöòf8‹.KW ¥V ò áfòmøá^á¥W 'u\{⁄Ͷµ4,= (1) È?øα, β ∈ Wkα + β ∈ W; (2) È?ø k ∈ F⁄?øα, ∈ W,kkα ∈ W. › nÿëß| (ÍÆâÆÆ) › nÿ 2020c97F 9 / 177
1.1节：线性空间 例1.1.4几种常见的线性子空间： O生成子空间L(x1,x2,·,xn)或者span{x1,2,·,xn:设V是数域P 上的线性空间，∈V(i=1,2,…,n,则 L(1,2,…,xn)={x=k11+k2x2+…+knnki∈P} 矩阵理论禄程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日101177
1.1!: Ç5òm ~1.1.4A´~ÑÇ5fòm: 1 )§fòmL(x1, x2, · · · , xn) ½ˆspan{x1, x2, · · · , xn}: V ¥ÍçP ˛Ç5òmßxi ∈ V(i = 1, 2, · · · , n)ßK L(x1, x2, · · · , xn) = {x = k1x1 + k2x2 + · · · + knxn|ki ∈ P}. 2 › AäçR(A): A ∈ C m×n ï˛|èβ1, β2, · · · , βnßK R(A) = L(β1, β2, · · · , βn) = {y|y = Ax, x ∈ C n }. 3 › A"òmN(A): A ∈ C m×nßKN(A) = {x|Ax = 0, x ∈ C n }. 4 Ç5CÜAäçR(A): A¥Ç5òmVÇ5CÜßK R(A) = {y|y = Aα, α ∈ V}. 5 Ç5CÜAÿN(A): A¥Ç5òmVÇ5CÜßK N(A) = {x|Ax = 0, x ∈ V}. › nÿëß| (ÍÆâÆÆ) › nÿ 2020c97F 10 / 177
1.1节：线性空间 例1.1.4几种常见的线性子空间： O生成子空间L(x1,x2,·,xn)或者span{x1,2,…,xn:设V是数域P 上的线性空间，x∈Vi=1,2,·,n,则 L(x1,x2,…,xn)={x=k1x1+k2x2+…+knxnk∈P} 。矩阵A的值域R(A):设A∈Cmxm的列向量组为B1,B2,·,Bn,则 R(A)=L(B1,B2,·,Bn)={b=Ax,x∈C" 矩阵理论禄程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日101177
1.1!: Ç5òm ~1.1.4A´~ÑÇ5fòm: 1 )§fòmL(x1, x2, · · · , xn) ½ˆspan{x1, x2, · · · , xn}: V ¥ÍçP ˛Ç5òmßxi ∈ V(i = 1, 2, · · · , n)ßK L(x1, x2, · · · , xn) = {x = k1x1 + k2x2 + · · · + knxn|ki ∈ P}. 2 › AäçR(A): A ∈ C m×n ï˛|èβ1, β2, · · · , βnßK R(A) = L(β1, β2, · · · , βn) = {y|y = Ax, x ∈ C n }. 3 › A"òmN(A): A ∈ C m×nßKN(A) = {x|Ax = 0, x ∈ C n }. 4 Ç5CÜAäçR(A): A¥Ç5òmVÇ5CÜßK R(A) = {y|y = Aα, α ∈ V}. 5 Ç5CÜAÿN(A): A¥Ç5òmVÇ5CÜßK N(A) = {x|Ax = 0, x ∈ V}. › nÿëß| (ÍÆâÆÆ) › nÿ 2020c97F 10 / 177
1.1节：线性空间 例1.1.4几种常见的线性子空间： O生成子空间L(x1,x2,·,xn)或者span{x1,2,…,xn:设V是数域P 上的线性空间，x∈Vi=1,2,·,n,则 L(x1,x2,…,xn)={x=k1+k2x2+…+knxn ki∈P} 。矩阵A的值域R(A:设A∈Cmxm的列向量组为51，B2,·,Bn,则 R(A)=L(B1,B2,·,Bn)={yy=Ax,x∈C"} Q矩阵A的零空间N(A:设A∈Cmxm,则N(A)={Ax=0,x∈C"} 矩阵理论禄程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日101177
1.1!: Ç5òm ~1.1.4A´~ÑÇ5fòm: 1 )§fòmL(x1, x2, · · · , xn) ½ˆspan{x1, x2, · · · , xn}: V ¥ÍçP ˛Ç5òmßxi ∈ V(i = 1, 2, · · · , n)ßK L(x1, x2, · · · , xn) = {x = k1x1 + k2x2 + · · · + knxn|ki ∈ P}. 2 › AäçR(A): A ∈ C m×n ï˛|èβ1, β2, · · · , βnßK R(A) = L(β1, β2, · · · , βn) = {y|y = Ax, x ∈ C n }. 3 › A"òmN(A): A ∈ C m×nßKN(A) = {x|Ax = 0, x ∈ C n }. 4 Ç5CÜAäçR(A): A¥Ç5òmVÇ5CÜßK R(A) = {y|y = Aα, α ∈ V}. 5 Ç5CÜAÿN(A): A¥Ç5òmVÇ5CÜßK N(A) = {x|Ax = 0, x ∈ V}. › nÿëß| (ÍÆâÆÆ) › nÿ 2020c97F 10 / 177