1.1节：线性空间 例1.1.2几种常见的线性空间： 实行向量空间：R”={x=(,x2,…,xn)∈R} 。复矩阵空间：Cmx”={A=(aj)mxnaj∈C. 。复多项式空间：Pnd={f()=ao+a1t+…+ant"la∈C}. O齐次线性方程组的解空间：{xAx=0,x∈R",其中A∈Rmxm 0 Ca,b:区间[a,b上所有连续函数组成的集合. Ca:区间a,)上所有p次连续可微函数组成的集合. 4口卡+8，+三·4至+2分QC 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日51177
1.1!: Ç5òm ~1.1.2A´~ÑÇ5òm: 1 ¢1ï˛òm: Rn = {x = (x1, x2, · · · , xn)|xi ∈ R}. 2 E› òm: Cm×n = {A = (aij)m×n |aij ∈ C}. 3 Eıë™òm: Pn[t] = {f(t) = a0 + a1t + · · · + ant n |ai ∈ C}. 4 ‡gÇ5êß|)òm: {x|Ax = 0, x ∈ R n }ߟ•A ∈ R m×n . 5 C[a,b] : ´m[a, b]˛§kÎYºÍ|§8‹. 6 C p [a,b] : ´m[a, b]˛§kpgÎYåáºÍ|§8‹. › nÿëß| (ÍÆâÆÆ) › nÿ 2020c97F 5 / 177
1.1节：线性空间 定义1.1.3 设V是数域F上的一个线性空间，x1,2,·,x是V中的一组向量如果存 在k个不全为零的数a1,a2,·,a以∈F,使得 a1x1+a22+·+akxk=0, 则称x1,x2,·,x线性相关，否则就是线性无关。 4口卡+8+三·4至+2分QC 矩阵理论禄程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日61177
1.1!: Ç5òm ½¬1.1.3 V¥ÍçF˛òáÇ5òm, x1, x2, · · · , xk¥V•ò|ï˛.XJ 3k áÿ è"Íα1, α2, · · · , αk ∈ F, ¶ α1x1 + α2x2 + · · · + αkxk = 0, K°x1, x2, · · · , xkÇ5É',ƒK“¥Ç5Ã'. ½¬1.1.4 V¥ÍçF˛Ç5òmßx1, x2, · · · , xn(n ≥ 1)¥·uV ?ønáï ˛ßXJߘv: (1) x1, x2, · · · , xnÇ5Ã'¶ (2) V•?¤ï˛x˛ådx1, x2, · · · , xn Ç5L´ßK°x1, x2, · · · , xn¥V ò|ƒßø°x1, x2, · · · , xnèVò|ƒï˛£4åÇ5Ã'|§. › nÿëß| (ÍÆâÆÆ) › nÿ 2020c97F 6 / 177
1.1节：线性空间 定义1.1.3 设V是数域F上的一个线性空间，x1,x2,·,x是V中的一组向量如果存 在k个不全为零的数a1,a2,·,ak∈F,使得 a1x1+a22+·+akxk=0, 则称x1,x2,·,线性相关，否则就是线性无关 定义1.1.4 设V是数域F上的线性空间，：1，x,·,xn(n≥1)是属于V的任意n个向 量，如果它满足： (1)x1,2,·,xm线性无关： (2)V中任何向量x均可由x1,x2,·,xn线性表示，则称x1,x2,·,xn是V的 一组基，并称x,2,·,xn为V的一组基向量（极大线性无关组） 矩库理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日61177
1.1!: Ç5òm ½¬1.1.3 V¥ÍçF˛òáÇ5òm, x1, x2, · · · , xk¥V•ò|ï˛.XJ 3k áÿ è"Íα1, α2, · · · , αk ∈ F, ¶ α1x1 + α2x2 + · · · + αkxk = 0, K°x1, x2, · · · , xkÇ5É',ƒK“¥Ç5Ã'. ½¬1.1.4 V¥ÍçF˛Ç5òmßx1, x2, · · · , xn(n ≥ 1)¥·uV ?ønáï ˛ßXJߘv: (1) x1, x2, · · · , xnÇ5Ã'¶ (2) V•?¤ï˛x˛ådx1, x2, · · · , xn Ç5L´ßK°x1, x2, · · · , xn¥V ò|ƒßø°x1, x2, · · · , xnèVò|ƒï˛£4åÇ5Ã'|§. › nÿëß| (ÍÆâÆÆ) › nÿ 2020c97F 6 / 177
1.1节：线性空间 线性空间V的基向量所含向量的个数，称为线性空间V的维数，记 为dimV=n,并称V为n维线性空间，并简记为Vm.最小的有限维线性空 间是零空间，其维数为0.如果V中可以找到任意多个线性无关向量，则称V 是无限维的. 4口+8，+三·1至2分QC 矩阵理论禄程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日71177
1.1!: Ç5òm Ç5òmVƒï˛§¹ï˛áÍnß°èÇ5òmVëÍ, P èdim V = nßø°VènëÇ5òmßø{PèV n . ÅkÅëÇ5ò m¥"òm, ŸëÍè0. XJV•å±È?øıáÇ5Ã'ï˛,K°V ¥ÃÅë. › nÿëß| (ÍÆâÆÆ) › nÿ 2020c97F 7 / 177
1.1节：线性空间 定义1.1.5 设V是一个线性空间，W是V的一个非空子集合.如果W关于V上的加法和 数乘也构成一个线性空间，则称W为V的一个线性子空间，有时简称子空 间(Subspaces). 4口卡+8+三·4至+2分QC 矩阵理论说程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日81177
1.1!: Ç5òm ½¬1.1.5 V¥òáÇ5òm,W¥Vòáöòf8‹. XJW 'uV˛\{⁄ Ͷè§òáÇ5òm, K°WèV òáÇ5fòm, kû{°fò m(Subspaces). ~1.1.3: V¥òáÇ5òm, Kd"ï˛|§f8{0} ¥Vò áfòm, °è"fòm., , V è¥Vfòm.˘¸áAœ fòm°èV²Öfòm, Ÿ¶fòm—¥ö²Öfòm. › nÿëß| (ÍÆâÆÆ) › nÿ 2020c97F 8 / 177