山东理工大学：《机械优化设计》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 优化设计的数学基础

泰勒展开写成向量矩阵形式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) * * * * * * 1 2 T T f x f x f x x x x x G x x x  +  − + − −         ( ) * ∵  = f x 0 ( ) ( ) ( )( ) * * * * 1 2 T f x f x x x G x x x −  − −     ∵ ( ) ( ) * f x f x −  0

泰勒展开写成向量矩阵形式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) * * * * * * 1 2 T T f x f x f x x x x x G x x x  +  − + − −         ( ) * ∵  = f x 0 ( ) ( ) ( )( ) * * * * 1 2 T f x f x x x G x x x −  − −     ∵ ( ) ( ) * f x f x −  0

（1） ▽F(X* )=0； 必要条件 （2）Hesse矩阵G(X* )为正定。 充分条件 多元函数f(x)在 处取得极值，则极值的条件为 * x * x 为无约束极小点的充分条件 其Hesse矩阵G(X* )为正定的。 则极小点必须满足 ( )( ) * * * 0 T   x x G x x x − −    为无约束优化问题的极值条件

（1） ▽F(X* )=0； 必要条件 （2）Hesse矩阵G(X* )为正定。 充分条件 多元函数f(x)在 处取得极值，则极值的条件为 * x * x 为无约束极小点的充分条件 其Hesse矩阵G(X* )为正定的。 则极小点必须满足 ( )( ) * * * 0 T   x x G x x x − −    为无约束优化问题的极值条件

同学考虑二元函数在 处取得极值的充分必 要条件。 * x ( ) 1 2 0 f x f x f x        = =          10 0 20 x x x   =     ( ) 0 2 2 2 1 1 2 0 2 2 2 2 1 2 x f f x x x G x f f x x x            =              各阶主子式大于零 例：求函数的 ( ) 极值 2 2 1 2 1 2 1 2 f x x x x x x , 4 2 5 = + − − +

同学考虑二元函数在 处取得极值的充分必 要条件。 * x ( ) 1 2 0 f x f x f x        = =          10 0 20 x x x   =     ( ) 0 2 2 2 1 1 2 0 2 2 2 2 1 2 x f f x x x G x f f x x x            =              各阶主子式大于零 例：求函数的 ( ) 极值 2 2 1 2 1 2 1 2 f x x x x x x , 4 2 5 = + − − +