即 ( ) 0 0 T x f f x d d = ( ) ( ) 0 cos , T = f x f d
即 ( ) 0 0 T x f f x d d = ( ) ( ) 0 cos , T = f x f d
三、多元函数的梯度 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 2 , ,. T n f x f x f x f x x x x = 沿d方向的方向向量 即 ( ) 0 0 T x f f x d d = ( ) ( ) 0 cos , T = f x f d 1 2 cos cos . cos n d =
三、多元函数的梯度 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 2 , ,. T n f x f x f x f x x x x = 沿d方向的方向向量 即 ( ) 0 0 T x f f x d d = ( ) ( ) 0 cos , T = f x f d 1 2 cos cos . cos n d =
图2-5 梯度方向与等值面的关系
图2-5 梯度方向与等值面的关系
若目标函数f(x)处处存在一阶导数，则极值点 的必要条件一阶偏导数等于零，即 ( ) * = f x 0 满足此条件仅表明该点为驻点，不能肯定为极值 点，即使为极值点，也不能判断为极大点还是极 小点，还得给出极值点的充分条件 设目标函数在 点至少有二阶连续的偏导数，则 * x 在这一点的泰勒二次近似展开式为： 第二节 多元函数的泰勒展开
若目标函数f(x)处处存在一阶导数，则极值点 的必要条件一阶偏导数等于零，即 ( ) * = f x 0 满足此条件仅表明该点为驻点，不能肯定为极值 点，即使为极值点，也不能判断为极大点还是极 小点，还得给出极值点的充分条件 设目标函数在 点至少有二阶连续的偏导数，则 * x 在这一点的泰勒二次近似展开式为： 第二节 多元函数的泰勒展开
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) * 2 * * * * * 1 , 1 1 2 n n i i i j j i i j i i j f x f x f x f x x x x x x x = = x x x + − + − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 . . . . . . . k k k n k k k k n k k k n n n f x f x f x x x x x x f x f x f x G x x x x x x f x f x f x x x x x x = 为N维函数f(x)在点 ( ) k x 处的Hesse矩阵
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) * 2 * * * * * 1 , 1 1 2 n n i i i j j i i j i i j f x f x f x f x x x x x x x = = x x x + − + − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 . . . . . . . k k k n k k k k n k k k n n n f x f x f x x x x x x f x f x f x G x x x x x x f x f x f x x x x x x = 为N维函数f(x)在点 ( ) k x 处的Hesse矩阵