一类分数阶超混沌系统及其在扩频通信中的应用

工程科学学报，第37卷，第5期：668675,2015年5月 Chinese Journal of Engineering,Vol.37,No.5:668-675,May 2015 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2015.05.020:http://journals.ustb.edu.cn 一类分数阶超混沌系统及其在扩频通信中的应用 张晓丹，王启立 北京科技大学数理学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:bkbd@163.com 摘要提出了一类新的四维分数阶超混沌系统，对其动力学特性进行了理论分析和数值模拟.通过Lyapunov指数谱和分 岔图分析了系统对阶次变化的敏感性.当微分阶次连续变化时，系统既存在混沌特性又存在周期特性.然后根据分数阶超混 沌系统同步及扩频通信理论，提出了一个扩频通信方案。该方案使用混沌信号序列作为直接扩频通信系统的扩频地址码，用 于替换传统的码分多址(CDMA)通信系统中的伪随机序列(PN序列).最后，基于该分数阶超混沌系统设计一个扩频通信电 路，在Multisim平台上验证了该方案的有效性和可行性 关键词超混沌系统：同步：扩频通信：扩频码序列 分类号0415.5 A class of fractional-order hyperchaotic system and its application in spread spectrum communication ZHANG Xiao-dan,WANG Oi-li School of Mathematics and Physics,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:bkdzxd@163.com ABSTRACT A class of fractional-order hyperchaotic system is introduced and its basic dynamical properties are investigated by means of theoretical analysis and numerical simulation.Systemic sensitivity to the orders of all involved derivatives is analyzed by stud- ying the Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagram.The class of fractional-order system presents hyperchaos,chaos,and periodic behaviors when the fractional orders vary continuously.Based on synchronization of the fractional-order hyperchaotic system and the theory of spread spectrum communication,we propose a new scheme for general spread spectrum communication.In contrast to PN code in the traditional CDMA communication,the scheme uses the chaotic signal sequence as a spread spectrum address code of direct sequence spread spectrum communication.Then,a circuit of spread spectrum communication based on the fractional-order hy- perchaotic system is designed.The validity and feasibility of this scheme are certificated in Multsim platform. KEY WORDS hyperchaotic systems;synchronization:spread spectrum communication;spread spectrum code sequence 在传统的扩频通信中，通常采用PV序列（伪随机 冲的自相关性和低互相关性，因此被认为是一种可以 序列)作为扩频序列.可这种序列具有一定的周期性， 携带信息的扩频信号.扩频技术利用较宽的带宽并以 而且数量很有限，抗截获性能较差-习.混沌信号是 较低的数据率来传送信息，具有低截获率、抗干扰、多 用确定的系统产生的非周期、类随机且有界的信号四. 址能力、减轻多径效应等优点，这些优点对于无线通信 混沌系统作为一种非线性动力系统，它对初始状态具 来说十分重要5- 有高度的敏感性，使用不同的初始值，可以产生大量的 在过去的20多年，人们在研究混沌系统、混沌信 混沌信号.又由于混沌信号具有较宽的频谱、类似脉 号及混沌通信方面做出了很大的努力.但是在混沌通 收稿日期：2014-10-08 基金项目：国家自然科学基金资助项目(70271068)

工程科学学报，第 37 卷，第 5 期: 668--675，2015 年 5 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 37，No． 5: 668--675，May 2015 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2015． 05． 020; http: / /journals． ustb． edu． cn 一类分数阶超混沌系统及其在扩频通信中的应用 张晓丹，王启立 北京科技大学数理学院，北京 100083  通信作者，E-mail: bkdzxd@ 163． com 摘 要 提出了一类新的四维分数阶超混沌系统，对其动力学特性进行了理论分析和数值模拟． 通过 Lyapunov 指数谱和分 岔图分析了系统对阶次变化的敏感性． 当微分阶次连续变化时，系统既存在混沌特性又存在周期特性． 然后根据分数阶超混 沌系统同步及扩频通信理论，提出了一个扩频通信方案． 该方案使用混沌信号序列作为直接扩频通信系统的扩频地址码，用 于替换传统的码分多址( CDMA) 通信系统中的伪随机序列( PN 序列) ． 最后，基于该分数阶超混沌系统设计一个扩频通信电 路，在 Multisim 平台上验证了该方案的有效性和可行性． 关键词 超混沌系统; 同步; 扩频通信; 扩频码序列 分类号 O415. 5 A class of fractional-order hyperchaotic system and its application in spread spectrum communication ZHANG Xiao-dan ，WANG Qi-li School of Mathematics and Physics，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China  Corresponding author，E-mail: bkdzxd@ 163． com ABSTＲACT A class of fractional-order hyperchaotic system is introduced and its basic dynamical properties are investigated by means of theoretical analysis and numerical simulation． Systemic sensitivity to the orders of all involved derivatives is analyzed by stud￾ying the Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagram． The class of fractional-order system presents hyperchaos，chaos，and periodic behaviors when the fractional orders vary continuously． Based on synchronization of the fractional-order hyperchaotic system and the theory of spread spectrum communication，we propose a new scheme for general spread spectrum communication． In contrast to PN code in the traditional CDMA communication，the scheme uses the chaotic signal sequence as a spread spectrum address code of direct sequence spread spectrum communication． Then，a circuit of spread spectrum communication based on the fractional-order hy￾perchaotic system is designed． The validity and feasibility of this scheme are certificated in Multsim platform． KEY WOＲDS hyperchaotic systems; synchronization; spread spectrum communication; spread spectrum code sequence 收稿日期: 2014--10--08 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 70271068) 在传统的扩频通信中，通常采用 PN 序列( 伪随机 序列) 作为扩频序列． 可这种序列具有一定的周期性， 而且数量很有限，抗截获性能较差［1 － 3］． 混沌信号是 用确定的系统产生的非周期、类随机且有界的信号［4］． 混沌系统作为一种非线性动力系统，它对初始状态具 有高度的敏感性，使用不同的初始值，可以产生大量的 混沌信号． 又由于混沌信号具有较宽的频谱、类似脉 冲的自相关性和低互相关性，因此被认为是一种可以 携带信息的扩频信号． 扩频技术利用较宽的带宽并以 较低的数据率来传送信息，具有低截获率、抗干扰、多 址能力、减轻多径效应等优点，这些优点对于无线通信 来说十分重要［5 － 8］． 在过去的 20 多年，人们在研究混沌系统、混沌信 号及混沌通信方面做出了很大的努力． 但是在混沌通

张晓丹等：一类分数阶超混沌系统及其在扩频通信中的应用 669 信方面，研究大多都集中在不高于三维的整数阶混沌 (1)的状态变量，参数a,b,c,d,h,m,>0,k≥0，m2和 系统.相比常规混沌系统，分数阶超混沌系统能展现 m,为实数，系统阶次0<q≤1.全文中系统(1)的部分 出更为复杂的动力学行为，使得系统的随机性和不可 参数始终固定为(a,b,c,d,k,h)=(3,3.9,9,1,1, 预测性变地更强.本文提出了一类新的分数阶四维自 2.7). 治超混沌系统，给通信系统提供大量更好的抗噪声抗 首先固定系统阶次q=0.9,当参数(m,m2,m）= 干扰混沌信号，为通信中信息的混沌掩盖、混沌调制和 (2,0,0)时，计算系统(1)的李雅普诺夫(Lyapunov)指 扩展频谱提供更多可供参考的系统. 数(LE)得 LE,=0.8790,LE,=0.3362, 1一类分数阶超混沌系统 LE3=-0.2015,LE4=-6.6697: 本文在文献⑨]中的三维系统的基础上添加线性 当取参数(m1,m2,m)=(1,0.1,0.3)时，其Lyapunov 反馈控制器u,采用Caputo分数阶微积分定义o-田， 指数为 提出了一类新的分数阶超混沌系统，其动力学方程为 LE,=0.9400,LE,=0.2275, D'x=-ax dy hyz, LE3=-0.0269,LE4=-7.0216. D'y =by +kz-xz+u, (1) 可见在这两组不同的参数下，系统(1)都具有两个 D'z=-cz +2xy+u, 正的Lyapunov指数，说明该系统是超混沌的.系统 Du=-(m1y+m22+m3）. (1)在这两组参数下对应的相图分别如图1和图2 其中，D?表示对时间1的q阶微分，xy、z和u为系统 所示. (a) 20m 20 -20-20 10 图1取q=0.9及(m1,m2,m）=(2,0,0)时系统(1)的相图.(a)三维相图：(b)x一平面相图 Fig.1 Phase portraits of System (1)at q=0.9 and (m,mm)=(20,0):(a)3D view in the xyz space:(b)projection on the x-plane (a (b) 10 10 1 -200 图2取q=0.9及(m1,m2,mg)=(1,0.1,0.3)时系统(1)的相图.(a)三维相图：(b)x一平面相图 Fig.2 Phase portraits of System (1)at q=0.9 and (m,m,m=(1,0.1,0.3):(a)3D view in the xyz space:(b)projection on the x-plane

张晓丹等: 一类分数阶超混沌系统及其在扩频通信中的应用 信方面，研究大多都集中在不高于三维的整数阶混沌 系统． 相比常规混沌系统，分数阶超混沌系统能展现 出更为复杂的动力学行为，使得系统的随机性和不可 预测性变地更强． 本文提出了一类新的分数阶四维自 治超混沌系统，给通信系统提供大量更好的抗噪声抗 干扰混沌信号，为通信中信息的混沌掩盖、混沌调制和 扩展频谱提供更多可供参考的系统． 1 一类分数阶超混沌系统 本文在文献［9］中的三维系统的基础上添加线性 反馈控制器 u，采用 Caputo 分数阶微积分定义［10 － 13］， 提出了一类新的分数阶超混沌系统，其动力学方程为 Dq t x = － ax + dy + hyz， Dq t y = by + kz － xz + u， Dq t z = － cz + 2xy + u， Dq t u = － ( m1 y + m2 z + m3 )        ． ( 1) 其中，Dq t 表示对时间 t 的 q 阶微分，x、y、z 和 u 为系统 ( 1) 的状态变量，参数 a，b，c，d，h，m1 ＞ 0，k≥0，m2 和 m3 为实数，系统阶次 0 ＜ q≤1． 全文中系统( 1) 的部分 参数始终固 定 为( a，b，c，d，k，h) = ( 3，3. 9，9，1，1， 2. 7) ． 首先固定系统阶次 q = 0. 9，当参数( m1，m2，m3 ) = ( 2，0，0) 时，计算系统( 1) 的李雅普诺夫( Lyapunov) 指 数( LE) 得 LE1 = 0. 8790，LE2 = 0. 3362， LE3 = － 0. 2015，LE4 = － 6. 6697; 当取参数( m1，m2，m3 ) = ( 1，0. 1，0. 3) 时，其 Lyapunov 指数为 LE1 = 0. 9400，LE2 = 0. 2275， LE3 = － 0. 0269，LE4 = － 7. 0216． 可见在这两组不同的参数下，系 统( 1 ) 都 具 有 两 个 正的 Lyapunov 指数，说明该系统是超混沌的． 系统 ( 1) 在这两组参数下对应的相图分别如图 1 和图 2 所示． 图 1 取 q = 0. 9 及( m1，m2，m3 ) = ( 2，0，0) 时系统( 1) 的相图． ( a) 三维相图; ( b) x--z 平面相图 Fig． 1 Phase portraits of System ( 1) at q = 0. 9 and ( m1，m2，m3 ) = ( 2，0，0) : ( a) 3D view in the xyz space; ( b) projection on the x--z plane 图 2 取 q = 0. 9 及( m1，m2，m3 ) = ( 1，0. 1，0. 3) 时系统( 1) 的相图 . ( a) 三维相图; ( b) x--z 平面相图 Fig． 2 Phase portraits of System ( 1) at q = 0. 9 and ( m1，m2，m3 ) = ( 1，0. 1，0. 3) : ( a) 3D view in the xyz space; ( b) projection on the x--z plane · 966 ·

·670 工程科学学报，第37卷，第5期 下面考察系统(1)的时域图.混沌振荡的时域波 u:=cz:-2xyi=1,2,3. 形图具有非周期性，解的流对初值极为敏感.图3为 当m2=0,m≠0时，方程(2)中p=0,此时方程只 系统(1)在取g=0.9及m1=2,m2=m3=0时的时域 有两个根，而且不含零根即系统(1)没有零平衡点：当 响应图.由图3可见，从两个极其邻近的初值(1,1,1， m2≠0，m3=0且2m2-m1≠0时，方程(2)中s=0,此 1)和(1,1,1,1.001)出发，两条轨道在短时间内非常 时方程有三个根且含零根即系统(1)有零平衡点：而 靠近，但经过长时间的演化，约在1=12时轨道间的巨 当m2=0,m3=0或m3=0,2m2-m1=0时，系统(1)只 大差异便开始显现出来，这进一步体现了混沌系统对 有零平衡点. 初始值的高度敏感性 例如，当取(m1,m2,m3）=(1,0.1,0.3)时，系统有 三个平衡点： S1=(-0.1406,-0.3129,0.1290,1.0732): S2.3=(11.89±0.64i,-0.16±1.14i, 1111 20 -1.37干11.42i,-7.05千129.79i). 此处我们只考虑实平衡点S,计算其雅克比矩 1(1111) 阵，求得对应的特征值为 S1:入1=-9.0733，A2=-2.8664,A3=0.3127, (1111.001) 入4=3.5270. 10 20 25 则平衡点S,是指标为2的鞍点.由分数阶系统稳定性 图3取q=0.9及(m1,m2,m4)=(2,0,0)时系统(1)的时域图 理论口，系统(1)渐进稳定的充要条件是对其雅克 (a)状态变量x()时域图：(b)状态变量y(t)时域图 比矩阵的任意的特征值入都有Iarg(入)I>q2× Fig.3 Time responses of System (1)via extremely similar initial (rg(A)是入的辐角).在这组参数下S,的特征值入， conditions at q=0.9 and (m,m2,m)=(2,0,0):(a)time re- 和入4所对应的幅角都是0，不满足上述条件，因此是 sponse of x():(b)time response of y(t) 不稳定 2基本动力学特性 3 数值研究系统对阶次的敏感性 本节通过数值模拟和理论分析，研究系统(1)基 取(m1,m2,m3)=(12,0,0),当系统阶次q在区间 本的动力学行为 0.55,l]上变化时，相对应的Lyapunov指数谱和分岔 令系统(1)各式中的右侧等于零，即 图分别如图4(a)和(b)所示.当g∈D.55,0.589]时， -ax +dy +hyz=0, 系统(1)是收敛的：当9∈(0.589,0.62]U(0.987, by +kz-xz+u=0, 0.992]时，系统(1)处于周期状态；当q∈(0.945， cz +2xy +u=0, 0.97]时，系统(1)处于拟周期状态；当q∈(0.62， m1y+m22+m3=0. 0.945]U(0.97,0.979]时，系统(1)处于混沌状态：当 则有 9∈(0.979,0.987]U(0.992,1]时，系统(1)处于超混 pz3+l2+z+s=0. (2) 沌状态（见表1）. 这里 由第2节的讨论知，此时系统(1)只有零平衡点， p=hm2(2m2-m,）, 且其对应的特征根分别为 s =2dmj abm ms' A1=-3,A2=-9.0922, l=2hm2m3+(dm2+hm3）(2m2-m,）, 入3=1.9961+3.0354i,入4=1.9961-3.0354i. r=2m3(dm2+hm,）+dm3(2m2-m,）+ 根据分数阶系统稳定性理论1-四，要使系统(1)产生 a (bm m2 -kmi -cmi). 混沌，必须满足阶次q>21arg(A)I/m,代入上述特征 表示方程(2)的系数.设方程(2)有三个根，分别记为 值入，i=1,2,3,4求得q>0.6297.这与数值模拟所得 a之2和（可由盛金公式求得），则得系统(1)的三个 g>0.62基本上是一致的. 平衡点S,=(xy,u,),i=1,2,3.其中， =（-+m+cm,)2-bm 4分数阶超混沌系统同步 (m1-2m2)z:-2m3 由美国学者Pecora和Carroll提出的驱动响应混 沌同步方法在整数阶系统的同步控制方面已经取得了 m 丰硕的研究成果，为分数阶系统的同步控制研究

工程科学学报，第 37 卷，第 5 期 下面考察系统( 1) 的时域图． 混沌振荡的时域波 形图具有非周期性，解的流对初值极为敏感． 图 3 为 系统( 1) 在取 q = 0. 9 及 m1 = 2，m2 = m3 = 0 时的时域 响应图． 由图 3 可见，从两个极其邻近的初值( 1，1，1， 1) 和( 1，1，1，1. 001) 出发，两条轨道在短时间内非常 靠近，但经过长时间的演化，约在 t = 12 时轨道间的巨 大差异便开始显现出来，这进一步体现了混沌系统对 初始值的高度敏感性． 图3 取 q = 0. 9 及( m1，m2，m3 ) = ( 2，0，0) 时系统( 1) 的时域图． ( a) 状态变量 x( t) 时域图; ( b) 状态变量 y( t) 时域图 Fig． 3 Time responses of System ( 1 ) via extremely similar initial conditions at q = 0. 9 and ( m1，m2，m3 ) = ( 2，0，0) : ( a) time re￾sponse of x( t) ; ( b) time response of y( t) 2 基本动力学特性 本节通过数值模拟和理论分析，研究系统( 1) 基 本的动力学行为． 令系统( 1) 各式中的右侧等于零，即 － ax + dy + hyz = 0， by + kz － xz + u = 0， － cz + 2xy + u = 0， m1 y + m2 z + m3 = 0 { ． 则有 pz3 + lz2 + rz + s = 0． ( 2) 这里 p = hm2 ( 2m2 － m1 ) ， s = 2dm2 3 + abm1m3， l = 2hm2m3 + ( dm2 + hm3 ) ( 2m2 － m1 ) ， r = 2m3 ( dm2 + hm3 ) + dm3 ( 2m2 － m1 ) + a( bm1m2 － km2 1 － cm2 1 ) ． 表示方程( 2) 的系数． 设方程( 2) 有三个根，分别记为 z1、z2 和 z3 ( 可由盛金公式求得) ，则得系统( 1) 的三个 平衡点 Si = ( xi，yi，zi，ui ) ，i = 1，2，3． 其中， xi = ( － bm2 + km1 + cm1 ) zi － bm3 ( m1 － 2m2 ) zi － 2m3 ， yi = － m2 m1 zi － m3 m1 ， ui = czi － 2xiyi，i = 1，2，3． 当 m2 = 0，m3≠0 时，方程( 2) 中 p = 0，此时方程只 有两个根，而且不含零根即系统( 1) 没有零平衡点; 当 m2≠0，m3 = 0 且 2m2 － m1≠0 时，方程( 2) 中 s = 0，此 时方程有三个根且含零根即系统( 1) 有零平衡点; 而 当 m2 = 0，m3 = 0 或 m3 = 0，2m2 － m1 = 0 时，系统( 1) 只 有零平衡点． 例如，当取( m1，m2，m3 ) = ( 1，0. 1，0. 3) 时，系统有 三个平衡点: S1 = ( － 0. 1406，－ 0. 3129，0. 1290，1. 0732) ; S2，3 = ( 11. 89 ± 0. 64i，－ 0. 16 ± 1. 14i， － 1. 3711. 42i，－ 7. 05129. 79i) ． 此处我们只考虑实平衡点 S1，计算其雅克比矩 阵，求得对应的特征值为 S1 : λ1 = － 9. 0733，λ2 = － 2. 8664，λ3 = 0. 3127， λ4 = 3. 5270． 则平衡点 S1 是指标为2 的鞍点． 由分数阶系统稳定性 理论［11 － 12］，系统( 1) 渐进稳定的充要条件是对其雅克 比矩阵的任 意 的 特 征 值 λ 都 有 | arg ( λ) | ＞ πq /2 × ( arg( λ) 是 λ 的辐角) ． 在这组参数下 S1 的特征值 λ3 和 λ4 所对应的幅角都是 0，不满足上述条件，因此是 不稳定． 3 数值研究系统对阶次的敏感性 取( m1，m2，m3 ) = ( 12，0，0) ，当系统阶次 q 在区间 ［0. 55，1］上变化时，相对应的 Lyapunov 指数谱和分岔 图分别如图 4( a) 和( b) 所示． 当 q∈［0. 55，0. 589］时， 系统( 1) 是 收 敛 的; 当 q∈( 0. 589，0. 62］∪( 0. 987， 0. 992］时，系 统 ( 1 ) 处 于 周 期 状 态; 当 q ∈ ( 0. 945， 0. 97］时，系 统 ( 1 ) 处 于 拟 周 期 状 态; 当 q ∈ ( 0. 62， 0. 945］∪( 0. 97，0. 979］时，系统( 1) 处于混沌状态; 当 q∈( 0. 979，0. 987］∪( 0. 992，1］时，系统( 1) 处于超混 沌状态( 见表 1) ． 由第 2 节的讨论知，此时系统( 1) 只有零平衡点， 且其对应的特征根分别为 λ1 = － 3，λ2 = － 9. 0922， λ3 = 1. 9961 + 3. 0354i，λ4 = 1. 9961 － 3. 0354i． 根据分数阶系统稳定性理论［11 － 12］，要使系统( 1) 产生 混沌，必须满足阶次 q ＞ 2 | arg( λ) | /π，代入上述特征 值 λi，i = 1，2，3，4 求得 q ＞ 0. 6297． 这与数值模拟所得 q ＞ 0. 62 基本上是一致的． 4 分数阶超混沌系统同步 由美国学者 Pecora 和 Carroll 提出的驱动响应混 沌同步方法在整数阶系统的同步控制方面已经取得了 丰硕的研究成果［13 － 18］，为分数阶系统的同步控制研究 · 076 ·

张晓丹等：一类分数阶超混沌系统及其在扩频通信中的应用 ·671 b 0. 0.8 0.9 E -10L 0.6 0.7 0.8 0.9 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 图4取(m1,m2,m)=(12,0,0)时系统(1)关于阶次g的Lya即umov指数谱和分岔图.(a)Lyapunov指数谱：(b)状态变量y的分岔图 Fig.4 Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagram of System (1)with respect to q at (mm,m)=(12.0,0):(a)Lyapunov exponent spectrum;(b)bifurcation diagram of y 表1系统(1)关于q的动力学行为分类 diag{入1，入2，…，入。}，则分数阶误差系统(5)变换为 Table 1 Various dynamical behaviors of system (1)with respect to g De(t)=Ae(t),其中e(t)=Te(t).当e(t)0时，亦 参数范围 LELE2LE动力学行为 有e(d)0.根据分数阶系统的稳定性理论，e(t)的解 0.55≤g≤0.589 收敛 析解可以表示为7烟 0.589<g≤0.62 周期 e()= (入，) (6) 0.62<g≤0.945 0 混沌 名下(gk+1)(0),i=1,2,…,n 0.945<g≤0.97 0 0 准周期 因此当系统(3)和(4)保持同步时，同步所需要的时间 0.97<q≤0.979 0 混沌 可以使用式(6)进行估计. 0.979<g≤0.987 0 超混沌 取系统(1)中参数(m1,m2,m)=(2,0,0)并更换 0.987<g≤0.992 0 周期 状态变量得到如下驱动方程 0.992<q≤1 0 超混沌 Dx=-ax+dx2 +hx23, Dx2=bx2+kx+ 奠定坚实的理论基础.这里利用驱动响应法来实现分 (7) Dx3=-cx3+2x1x2+x4, 数阶系统的同步控制，设分数阶混沌系统驱动方程具 Dx=-mX2. 有如下形式： D'X=AX+Bf(X)+C. (3) 对应于系统(4)，受控响应分数阶超混沌系统为 其中0<q≤1，X∈R”为列向量，A,B∈R"为系数矩 Diy=-ay +dy2+hxzx3k (yx), 阵，C∈Rx为常列向量，R"→R为非线性映射. Dy2=by2+y3-xx3+y4-k（2-x2), (8) 分数阶响应系统为 Dy3=-Cy3+2xx2+y4-k（y3-x3), D'Y=AY+Bf(X)+C-K(Y-X). (4) Dy4=-my2-k(y4-x） 上式中YeR"为列向量，K=diag(k,2,…,kn)为系 其中k、k、k,和k:为响应系统控参数.定义系统误 统同步控制参数矩阵.定义系统同步误差为e(t)=Y 差为e,(t)=y:(t)-x:(t),i=1,2,3,4,于是系统(8) ()-X(),则由式(3)和式(4)可得分数阶同步误差 减去系统(7)得到同步误差系统动力学方程为 系统为 Die (a+k)e+dez, De(t）=(A-K)e(t）. (5) 根据分数阶动力系统的稳定性判定理论2，若误 De2=(b-k3)e2+he3+e4, (9) 差系统(5)的系数矩阵A-K的所有特征值均满足 Dge3=-(c+)e3+e4, qT/2<larg()I<3qr/2,则系统(5)零解渐进稳定. Des =-me2 -kea. 从而系统(3)和(4)保持同步. 当k1=0,k2=8,k3=0,k4=0及q=0.9时，求得同 此外，设系数矩阵A-K有n个特征值入，(i=1, 步误差系统(9)的系数矩阵特征值的辐角都是π，满 2,…,n),且存在可逆矩阵T,使得A=T(A-K)T= 足qπ2<Iarg(A)I<3qπ/2，因此分数阶驱动系统

张晓丹等: 一类分数阶超混沌系统及其在扩频通信中的应用 图 4 取( m1，m2，m3 ) = ( 12，0，0) 时系统( 1) 关于阶次 q 的 Lyapunov 指数谱和分岔图 . ( a) Lyapunov 指数谱; ( b) 状态变量 y 的分岔图 Fig． 4 Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagram of System ( 1) with respect to q at ( m1，m2，m3 ) = ( 12，0，0) : ( a) Lyapunov exponent spectrum; ( b) bifurcation diagram of y 表 1 系统( 1) 关于 q 的动力学行为分类 Table 1 Various dynamical behaviors of system ( 1) with respect to q 参数范围 LE1 LE2 LE3 动力学行为 0. 55≤q≤0. 589 － － － 收敛 0. 589 ＜ q≤0. 62 0 － － 周期 0. 62 ＜ q≤0. 945 + 0 － 混沌 0. 945 ＜ q≤0. 97 0 0 － 准周期 0. 97 ＜ q≤0. 979 + 0 － 混沌 0. 979 ＜ q≤0. 987 + + 0 超混沌 0. 987 ＜ q≤0. 992 0 － － 周期 0. 992 ＜ q≤1 + + 0 超混沌 奠定坚实的理论基础． 这里利用驱动响应法来实现分 数阶系统的同步控制，设分数阶混沌系统驱动方程具 有如下形式: Dq t X = AX + Bf( X) + C． ( 3) 其中 0 ＜ q≤1，X∈Ｒn 为列向量，A，B∈Ｒn × n 为系数矩 阵，C∈Ｒn × 1为常列向量，f: Ｒn →Ｒn 为非线性映射． 分数阶响应系统为 Dq t Y = AY + Bf( X) + C － K( Y － X) ． ( 4) 上式中 Y∈Ｒn 为列向量，K = diag( k1，k2，…，kn ) 为系 统同步控制参数矩阵． 定义系统同步误差为 e( t) = Y ( t) － X( t) ，则由式( 3) 和式( 4) 可得分数阶同步误差 系统为 Dq t e( t) = ( A － K) e( t) ． ( 5) 根据分数阶动力系统的稳定性判定理论［11 － 12，18］，若误 差系统( 5) 的系数矩阵 A － K 的所有特征值均满足 qπ/2 ＜ | arg( λ) | ＜ 3qπ/2，则系统( 5) 零解渐进稳定． 从而系统( 3) 和( 4) 保持同步． 此外，设系数矩阵 A － K 有 n 个特征值 λi ( i = 1， 2，…，n) ，且存在可逆矩阵 T，使得 Λ = T( A － K) T － 1 = diag{ λ1，λ2，…，λn } ，则分数阶误差系统( 5) 变 换 为 Dq t e( t) = Λe( t) ，其中 e( t) = Te( t) ． 当 e( t) →0 时，亦 有 e( t) →0． 根据分数阶系统的稳定性理论，e( t) 的解 析解可以表示为［17 － 18］ ei ( t) = ∑ ∞ k = 0 ( λi t q ) k Γ( qk + 1) ei ( 0) ，i = 1，2，…，n． ( 6) 因此当系统( 3) 和( 4) 保持同步时，同步所需要的时间 可以使用式( 6) 进行估计． 取系统( 1) 中参数( m1，m2，m3 ) = ( 2，0，0) 并更换 状态变量得到如下驱动方程 Dq t x1 = － ax1 + dx2 + hx2 x3， Dq t x2 = bx2 + kx3 － x1 x3 + x4， Dq t x3 = － cx3 + 2x1 x2 + x4， Dq t x4 = － m1 x2        . ( 7) 对应于系统( 4) ，受控响应分数阶超混沌系统为 Dq t y1 = － ay1 + dy2 + hx2 x3 － k1 ( y1 － x1 ) ， Dq t y2 = by2 + ky3 － x1 x3 + y4 － k2 ( y2 － x2 ) ， Dq t y3 = － cy3 + 2x1 x2 + y4 － k3 ( y3 － x3 ) ， Dq t y4 = － m1 y2 － k4 ( y4 － x4 )        . ( 8) 其中 k1、k2、k3 和 k4 为响应系统控制参数． 定义系统误 差为 ei ( t) = yi ( t) － xi ( t) ，i = 1，2，3，4，于是系统( 8) 减去系统( 7) 得到同步误差系统动力学方程为 Dq te1 = － ( a + k1 ) e1 + de2， Dq te2 = ( b － k2 ) e2 + ke3 + e4， Dq te3 = － ( c + k3 ) e3 + e4， Dq te4 = － m1 e2 － k4 e4        . ( 9) 当 k1 = 0，k2 = 8，k3 = 0，k4 = 0 及 q = 0. 9 时，求得同 步误差系统( 9) 的系数矩阵特征值的辐角都是 π，满 足 qπ/2 ＜ | arg ( λ) | ＜ 3qπ/2，因 此 分 数 阶 驱 动 系 统 · 176 ·

·672 工程科学学报，第37卷，第5期 (7)与响应系统(8)在系统动力学行为的进程中达到 图及其同步误差演化.由图可见驱动与响应系统很快 同步.图5分别展示驱动和响应系统的x2-y2同步相 就达到了完全同步 15 0.5 (a b 10 -10 -10 0 10 图5与和2的同步.(a)2-2同步相图：(b)同步误差e3演化 Fig.5 Synchronization between and y:(a)synchronous phase diagram of-y:(b)evolution of synchronous errore 5同步控制电路及扩频通信方案 于具有截获概率低、抗干扰性强、多址接入、保密性强 等优势而得到广泛的应用.直接扩频通信技术是用高 扩频通信有三种基本的扩频方式：直接序列扩频、 速率的扩频序列在发射端扩展信号的频谱，在接收端 跳频扩频和跳时扩频.现在的移动蜂窝扩频通信系统 用相同的扩频伪码进行解扩，把展开的扩频信号还原 采用的就是直接扩频方式.其中直接扩频通信技术由 成原始的信号.直接扩频技术的原理如图6所示 射频 射频 射频 射频 发生器 调制 解调 发生器 信息一「 信源编码 扩频调制 扩頓解调 信息解码→信息 扩频码 扩频码 发生器 发生器 发送端 接收端 图6直接扩频通信原理图 Fig.6 Direct sequence spread spectrum communication diagram 本文要使用混沌扩频序列作为直接扩频通信系统 沌信号序列转化成二值序列.图7是混沌信号转化电 的扩频地址码，用于替换传统的码分多址(CDMA)通 路，V和R分别表示电压和电阻，LM393N是线性比 信系统中的伪随机序列(PN序列)，从而构成混沌直 R 接扩频通信系统。混沌直接扩频序列通信系统的调制 方式和数据序列的检测方式与传统的直接序列扩频通 信系统基本一致，在发送端将混沌扩频码与待传输的 基带信号进行时域相乘，完成扩频运算后的信号再经 载波调制后发送至信道，接收端也用相关检测方式来 LM393N 解调出信息数据 本文提出的分数阶超混沌系统是一个连续系统， 3 我们通过一个阈值函数(x)=sigm(x-c)将模拟的混 图7混沌信号转化电路 Fig.7 Switch circuit of chaotic signals

工程科学学报，第 37 卷，第 5 期 ( 7) 与响应系统( 8) 在系统动力学行为的进程中达到 同步． 图 5 分别展示驱动和响应系统的 x2 － y2 同步相 图及其同步误差演化． 由图可见驱动与响应系统很快 就达到了完全同步． 图 5 x2 和 y2 的同步． ( a) x2 － y2 同步相图; ( b) 同步误差 e2 演化 Fig． 5 Synchronization between x2 and y2 : ( a) synchronous phase diagram of x2 － y2 ; ( b) evolution of synchronous error e2 5 同步控制电路及扩频通信方案 扩频通信有三种基本的扩频方式: 直接序列扩频、 跳频扩频和跳时扩频． 现在的移动蜂窝扩频通信系统 采用的就是直接扩频方式． 其中直接扩频通信技术由 于具有截获概率低、抗干扰性强、多址接入、保密性强 等优势而得到广泛的应用． 直接扩频通信技术是用高 速率的扩频序列在发射端扩展信号的频谱，在接收端 用相同的扩频伪码进行解扩，把展开的扩频信号还原 成原始的信号． 直接扩频技术的原理如图 6 所示． 图 6 直接扩频通信原理图 Fig． 6 Direct sequence spread spectrum communication diagram 本文要使用混沌扩频序列作为直接扩频通信系统 的扩频地址码，用于替换传统的码分多址( CDMA) 通 信系统中的伪随机序列( PN 序列) ，从而构成混沌直 接扩频通信系统． 混沌直接扩频序列通信系统的调制 方式和数据序列的检测方式与传统的直接序列扩频通 信系统基本一致，在发送端将混沌扩频码与待传输的 基带信号进行时域相乘，完成扩频运算后的信号再经 载波调制后发送至信道，接收端也用相关检测方式来 解调出信息数据． 本文提出的分数阶超混沌系统是一个连续系统， 我们通过一个阈值函数 ξ( x) = sign( x － c) 将模拟的混 沌信号序列转化成二值序列． 图 7 是混沌信号转化电 图 7 混沌信号转化电路 Fig． 7 Switch circuit of chaotic signals 路，V 和 Ｒ 分别表示电压和电阻，LM393N 是线性比 · 276 ·