非线性广义分裂法

D0I:10.13374/i.is8n1001-053x.1984.02.005 ·北京钢铁学院学报 1984年第2期 非线性广义分裂法 自动化系基础教研室黄汝激 摘 要 本文把分析大规模线性脚络用的广义分裂法推广成分析大规筷线性网络用的非线性广义分裂法。 另一方面，非线性广义分裂法是非线性分裂法的一个推广。后者使用混合基，而且仅适用于其了 子网络N与z子网络N:之间无耦合的非线性网络。前者使用广义混合基，而且适用于其y子网络N,与 Z子网络N,之间有擱合的非线性网络。 一、引 言 Kron.3]于五十年代初所提出的，后来由HaPp4?等人所发展的分裂法只适用于线性 网络。l975年chua和chen2]、[5.提出了广义混合法，证明了分裂法是广义混合法的特 殊情况，并把分裂法推广到非线性电阻网络，称为非线性分裂法。它采用的是基本() 混合基，而且只适用于这样的非线性网络，它的y子网络N1与z子网络N2之间没有耦合。 本文提出的非线性广义分裂法是非线性分裂法的推广和统一，即从混合基推广到广义混 合基，从N:与N2之间无耦合推广到有耦合的情况，并把非线性分裂法与非线性节点-回 路断裂法统一起来了。理论上，它可以采用任意的广义混合基，而且容许所分析的大规模 非线性网络的y子网络N1与z子网络N2之间存在耦合。实际上，常用的广义混合基将是它 的两个特殊情况：混合基和节点-回路基。对应地，常用的非线性广义分裂法将是它的 两个特殊情况：非线性分裂法和非线性节点-回路分裂法。非线性分裂法比起其他非分裂 的分析方法（如节点法、列表法等）6]的优点是：可以增大一台计算机所能计算的网络 规模；若用多台计算机进行并行处理，则可提高解题速度。特别是，如果一个大网络含有 许多相同的子网络时，分裂法的优点更加突出。 本文基本上采用文献〔1)中的符号。 二、非线性电阻网络的广义混合基方程及其解法 考虑一个非线性时不变电阻网络N,它的支路之间可以有耦合（这里采用标准复合支 路[1)。N的伴随线图记为G=(X,U),X为G的点集，U为G的弧（支路）集。假设弧 集U可以分成两个互不相交的子弧集U:和U2,而且U1的元件电压列向量V。:是控制变 量，元件电流列向量i。,是受控变量。U2的元件电流列向量。是控制变量，元件电压列 向量V,是受控变量。非单调电阻支路应按上述要求进行划分。单调电阻元件既可看作是 62

· 北 京 桐 铁 半 院 学 报 年 第 期 才卜线性广义分裂法 自动化系基础教研室 黄汝激 摘 要 本文把分析大规模线性网 络用的 广义分裂法推广成 分析大规模线性网 络用的 非线性广义分裂法 。 另一方面 ， 非线性广 义 分裂法是非线性分裂法 的一 个推广 。 后者使用 混合基 ， 而且仅 适 用 于 其 子 网 络 与 子 网络 之间无辆合的 非线性网 络 。 前者使用广义 混合基 ， 而且适用于 其 子网 络 与 子 网 络 之间有翩合的非线性 网 络 。 一、 己 生‘ 二于 五十年代初所提 出的 ， 后来 由 ‘ 魂 〕等人所发展 的分裂法只 适 用于线 性 网络 。 年 和 〕 、 〔 一 提 出了广义混 合法 ， 证 明了分裂法是广义混 合 法 的 特 殊情况 ， 并把分裂 法推广到非线性 电阻 网络 ， 称为非线性分裂法 。 它采用的是 基 本 混合基 ， 而且只 适用于这 样的非线性网络 ， 它 的 子 网络 与 子 网络 之 间没有 料 合 。 本文提出的非线性广 义分裂法是 非线性分裂法的推广 和统一 ， 即从 混 合基推广到 广 义 棍 合基 ， 从 与 之 间无 祸合推广到有祸合的情况 ， 并把非线性 分裂法 与非线 性 节 点一 回 路断裂法统一 起来了 。 理论上 ， 它 可 以采用任意的广 义混 合基 ， 而 且容许所分 析的大规模 非线性 网络的 子 网络 与 子 网络 之 间存在祸合 。 实际上 ， 常用 的广义棍 合基 将是 它 的两 个特殊情况 混 合基 和节点一 回路 基 。 对应地 ， 常用 的非 线性广义分裂法 将 是 它 的 两个特殊情况 非线性 分裂法和非线性节点一 回路分裂法 。 非线性分裂法 比 起其他非分裂 的分析方法 如节 点法 、 列 表法等 “ 〕 的优 点是 可 以增大一 台计算机所能计算的 网 络 规模， 若用多台计算机进 行并行处理 ， 则可 提高解题速度 。 特别是 ， 如果一 个大 网络含 有 许多相同的子 网络时 ， 分裂法的优 点更加 突出 。 本文基本上采 用文献 〔 〕 中的符号 。 二 、 非线性 电阻网络的广义混合基方 程及 其解法 考虑一个非线性时不变 电阻 网络 ， 它的支路之 间可 以 有祸合 这里采用标准复合 支 路〔 ‘ 勺 。 的伴随线 图记 为 ， ， 为 的点集 ， 为 的弧 支 路 集 。 假 设 弧 集 可 以分成两 个互不 相交的子弧集 ，和 ， 而 且 ，的元件 电压列 向 量 是 控 制 变 量 ， 元件 电流列 向量 。 是 受控变量 。 的元件 电流列 向量 。 是 控制变量 ， 元 件 电 压 列 向量 是 受 控变量 。 非单调 电阻 支路应按 上述要求进行划分 。 单调 电阻元件既 可看 作 是 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1984．02．005

压控的，也可看作是流控的，它们所在支路可适当地归入U1或U2。导纳为零的标准复合 支路应归入U1,阻抗为零的标准复合支路应归入U2。本文考虑的电压、电流都是瞬时值， 所以都用小写字母表示。从而〔1v2)可表示为〔v2)的非线性函数 H1(Cvii〕) (1) 式中上标τ表示“转置”。根据标准复合支路的电压、电流关系[1门，有 -)-N (2) V2 式中j表示独立电流源的电激流，e表示独立电压源的电动势；下标e表示元件，b表示支 路，1和2表示子孤集U:和U2。把(2)代入(1)可推得 (3) 根据文献〔1)，从G移去U2得到Y子图G:,从G缩减U1得到Z子围G2。它们分别对 应于Y子网络N1和z子网络N2。在G1和G2中各选定一棵树t!和t2,组成G的一棵树t=t1U t2。t的补树为I=11LU12。对应于t1的f割集组1与对应于l2的f回路组M2组成G的一个 f混合基E:=(1,M2}。选定一个满秩变换方阵 (4) T2 可把E变换成G的一个广义混合基E={21,M2}。设支路编号顺序为t,11,t2,I2。 用与文献〔1〕中相似的方法可导出广义混合基矩阵 F=Fa+Fb (5,1) Q1 0 TiQu Fa= 会 (5.2) 0 B2) 0 T2Br2 0 Q12 0 T1Qr12 Fb= (5.3) B21 0 T2B21 O 和广义混合善中蓄尔量夫定律的矩阵表达式： Vbl =F (6.1) ib2 F。 =-F (6.2) I Vb2 ib2 式中v。1为广义剖集组21的电压列向量，iu2为广义回路组M2的电流列向量。用F,左乘式 (3)的两边，考虑到式(6)，可推得 63

压控的 ， 也可看作是流控的 ， 它们所在支路可适当地归入 或 。 导 纳为零的标准 复合 支路应归入 ， 阻抗为零的标准复合支路应 归入 。 本文考虑的 电压 、 电流都是 瞬时值 ， 所 以都用小写 字母表示 。 从而 〔 二， 〕 ’ 可 表 示为 〔 叮 〕 ’ 的非线性函数 、 声 ‘声、 ‘ 工、 ，， 、 山 几‘二 公 ” ‘ 「… ’ ‘ … · 班 ‘ ‘ ’一 夕 火 砚 式中上标， 表示 “ 转置 ” 。 根据标准复合支路的电压 、 电流关系 〔 ’ 〕 ， 有 ， 创 二 洲 · 洲 夕 、 洲 派 式 中 表示独立 电流源 的电激流 ， 表 示独 立 电压源的电动势， 下 标 表示元 件 ， 表 示 支 路 ， 和 表示 子弧 集 ，和 。 把 代 入 可推得 翻 一 ” 〔洲 · 孜 ·「 。 根据文献 〔 〕 ， 从 移去 得 到丫子 图 ，， 从 缩减 得到 子 圈 。 它们分别 对 应于 子 网络 和 子 网络 。 在 和 中各选定一棵树 和 ， 组成 的一裸树 。 的补树为 日 。 对应 于 的 割集组 ， 与对应 于 的 回路组 ， 组 成 的一 个 混合签 ， ， ， 。 选定一个满秩变换方 阵 ‘ 忆 」 可把 ，变换成 的一 个广义混合签 ， 。 设支路编号顺序为 ，， ， ， 。 用与文献 〔 〕 中相 似的方法可导 出广义混合 墓矩阵 。 一 … ‘ ’ 一 。 、夕、卫， ， 。 一 二护 … 、 和广义混合签中签尔挂失定律 的矩阵 表达式 。 。 、 了 二 ‘ 浪 ’ · … …数 一 ‘ 二」 一 、 ‘ 式 中 。 、 为广义 割集组 的 电压列 向， ， 。 为广义 回路组 的电沈列向 。 用 。 左 乘 式 的两 边 ， 考虑到式 ， 可推得

》 +FaH 1=0 (7) 这个方程称为非线性电阻网络的广义混合基方程，简称非线性广义混合善方程。它是非线 性电阻网络N中广义混合基列向量〔v“!2)‘必须满足的一个非线性向量方程。它是 chua[5的广义非线性混合方程(39)的推广，即推广到Y子网络Ni与z子网络N2之间有 耦合的情况。 应用Newton-Raphson迭代算法〔6〕解方程(7)，可得迭代公式 -1 [n+1] Ca] of [n] I V 1 1μ2 1 (8) [n+1] [n] y[n] a]n=0,1,2,… i Vo l 42 i/i 、1u2 u2 定义网络N的元件微变混合参数矩阵为 OH1 OHI OH H() HEn] Ovel 0ia2 11 12 H y[n] ,[n]w (9) el oH2 @H2 el H nJ [n] HTo) 1 22 Li.2 色2 Ove1 di。2 色2 它是〔]：)的函数，从式(7)可求得f(〔v:2))的雅可比矩阵（称为N的 广义混合盖E的微变混合参数矩阵)为 of H y[n] iEn]: :2/ D (FaH".+Fb)F:= (10) 2() 2 式中 Y。°=QHQ: (11.1) Zi=B,H"B: (11.2) C=(B:H2i+B:1)Qi=B:HTQ1+C,C=B2Q (11.3) DI1=(QHi2+Q12)B:=01H B:-C (11.4) 把(7)代入(8)，用H"左乘(8)的两边，考虑到(1)，(2)和(6)，可推得 ytn] ，11=0,1,2,… (12) C[a : 2 64

， ， 、 。 、 ， 、 厂 ， 卜 厂 ‘ ， 、 厂 ‘ ， 、 ‘ ，， 少 ’ ‘ ‘ 。 二 。 … ‘ 。 」夕 一 · ‘ 二 。 ‘，， 这 个方程称为非线性 电阻网 络的广义混 合基方程 ， 简称非 线性广义 混合签方程 。 它是非线 性 电阻网络 中广义混合签列 向盆 〔 叮 〕 ‘必 须满足 的一个非 线性向量方 程 。 它 是 〔 ，」的广义非线性混 合方程 的推广 ， 即推广到 子 网络 与 子 网络 之 间 有 藕合的情况 。 应用 一 迭代算法 〔 〕 解方程 ， 可得迭代公式 〕 。 〕 ， 〔 。 〕 肠 。 · 一 “ 一一 卜 ‘ 、 一 一闭 贬 ， 夕 ， ’ ‘ 氮 一 廿 侧 ‘ …司 ， ’ 二 。 ， ， · 一 ‘ 」 、 沼 厂 火 “ 夕 叹 一 “ 夕 一 ‘厂 定 义 网络 的元件徽变混合参数矩阵 为 。 。 ， 。 · 口 一万二 一 万一 一 万不一一 人 口 二 ， ， ， ‘盛 一 ， 一 一 ，一一一一二 】 ， ， 、 ， 一 ， 一 ” “ 甘 “ 一 川 ’ 季三 ， 口 ’ 乍三 ， 仁 少 二苏勺 戈口 一 口 」贬 芯苏 它是 〔 万扩” 二共〕 · 〕 ，的函数 ， 从式 可求得 〔 广义混合签 的徽变混合今橄矩阵 为 称 为 的 …丁 。 ‘ … ‘ 。 ， ， ， 么 · ‘ “ 艺 月 犷 ‘ “ 一不蕊了一 三梦〕 ‘ 君〕 ， … … ﹄ “ ” 二 护 ， ﹃ 肛，目 式中 曰任 ‘ 、 、、，、， … ‘产 一，工‘几， ，一，上 了、‘、了、 。 “ 二 ， 尸 丁 诊 ’ 二 少 下 一 号 卜 生飞 ’ 、 己 ， · 〕 二 夕〕 玉 呈 丢一 匕 八 二 互 把 代 入 〔 〕 用 左乘 的两 边 ， 考虑 到 象 十 ‘ 〕 兮〕 和 ， 可 推得 二 ， ， ， … 了 ， ‘ 卜，曰 “ 〕 卜 〕 协 月气才八厂少

式中 Cn] 01 6 =Fa +H] e[nj μ2 -yfn] in b2 Q1(-i+H+H) (13) Ba(-v2+H5v+Hi) 方程(12)称为非线性电阻网络的线性化广义混合盖方程。它是chua[5]的方程(44) 的推广，从f混合基推广到广义混合基，从y子网络N1与z子网络N2之间无耦合的情况推广 到有耦合的情况（这表现在C[]和D表达式中的第一项)。它统一了现有的各种线性 5 化混合基方程，混合基方程和节点-回路基方程都是它的特例。 对于线性网络，通常不用迭代算法，从式(7)可直接推得它的广义混合基方程，形 式上类似于式(12)，不过没有右上标迭代号〔n〕和〔n+1)。 三、非线性电阻网络的广义分裂法 对于大规模非线性电阻网络N,可适当选择分裂方案，使得Y子网络N1和Z子网络N2 各含有若干个可离的分网络。设N1含有p个彼此间无耦合的可离分网络N,N子，…N9, N2含有q个彼此间无耦合的可离分网络N2,N,…,N,但是N1与N2之间仍然容许 有耦合。支路顺序规定为 t,1,t好，1好，…，t,1)t姑，1经，t经，1经，…，t,1 (14) 相应地，取变换方阵T1和T2为分块对角方阵： T1=Di(Ti,Ti,,Tf),T2=Dit(Ti,T,..,T9) (15) 那么Q1和B2也是分块对角方阵： Q1=Dig(Q,Q,…,Q),B2=Dig(B2,B径，…，B2) :(16) 式中 Q=T1Q11,j=1,2,…,p (17.1) B吃=TB2,k=1,2,…,g (17.2) 而且式(1)和(9)变成 i v H(v)+H(站2)+…+H(i82) }i2. y H9:(v1)+H2(2)+…+H2(i82) =H (18) ve2 H,(i)+HH)(v)+…+H(v) 12 H2(i2)+H21)(v.1)+…+H1() 和 65

式中 老 〕 叭 〕 ︺ 卜到 一 ， 长 … · 留 二 一‘忘全〕 至 〕 是兮〕 盆〕 ‘ 乞瑟〕 ’ 一 留 护 汗 瑟’ ‘ 留 、 方程 称为非线性 电阻 网络的线性化广 义混合甚方程 。 它是 ，〕 的方 程 “ 的推广 ， 从 棍 合基推广到广义混 合基 ， 从 子 网络 与 子 网络 之 间无藕合的情况 推广 到有祸合的情况 这表现在 〔 〕 和 ， 」表达 式 中的第一 项 。 它统一 了现 有 的 各种线性 化混合基方程 ， 混合基方程和节点一 回路基方程 都是它 的特例 。 对于线性网络 ， 通常不用迭代算法 ， 从式 可直接推得它的广义混合基 方 程 ， 形 式上类似于式 ， 不过没 有右上标迭代号 〔 〕 和 〔 〕 。 三 、 非线性 电阻网络的广义分裂法 对于大规模非线性 电阻 网络 ， 可适当选择分裂方案 ， 使 得 子 网络 和 子 网络 各含有若干 个可离 的分网络 。 设 含有 个彼此 间无祸合的可 离分网络 ， 专 ， … 、 ， 含有 个彼此间无藕合 的可离分 网络 孟 ， 圣 ， … ， 星 ， 但是 与 之 间 仍 然 容 许 有祸合 。 支路顺序规定为 ， ， 子 ， 荃 ， … ， 气 ， 气， 孟 ， 孟 ， 呈 ， 鳌 ， … ， 且 ， 呈 ‘ 相应地 ， 取变换方阵 和 为分块对角方 阵 一 ， 资 ， … ， ， 孟 ， 圣 ， … ， 呈 那 么 和 也是 分块对 角方阵 一 ， 子 ， … ， ， 孟 ， 圣 ， … ， 飞 式中 人 气 ， ， ，… ， 轰怡 ， ， ， … ， 和 变成 。 。 … 二 认 矛 孟 人 … 了 气 气、 … 叭 孟 二 轰 矛 … 孟 一 ‘、 、 … 、 曰 矛 ‘ 甲匡口阮比阵以已。， ， 日一磷 而且式 署 … … ， … … 月 尝 、 ， … 罗 ， 和

Hi[) H]…H] Hote) H4】…H H[e]= H]…H] Hig) : H]…H] H OHI aH是 6H19 8vei 8il ∂i82 : OH? H胜… OH? vafe] v 0 0igz aH出… OH OH:: a (19) av 0v: 8 : oHh... oH? OH3 Ova aver ∂i82 i设] 从而方程(12)变成 Y D D v+1 i Yo D…Da v+1 j81 n=0,1,2,….(20) C…ci: Zif3 站+1) e : : Cg… Cp8J Z i8股+1门 e27 这个方程称为非线性电阻网络的线性化多级广义混合善方程，式中 Y=QlH(Q)八j=1,2,…,p (21.1) Z]=B生H1(B),k=1,2,…,9 (21.2) C=B生H(Q)+C,j=1…,pyk=1,…,q (21.3) D=QH(B吃)-Cpj=1,…,pyk=1,…,9 (21.4) R=0(-+v+2),i=12,p (21.5) e=B路(-J+Hi+2H]),k=1,2,…,9 (21.6) j1 66

‘，胜‘月，卫 ， 〕 〕 … 一 ， 〔 〕 孟 ， 〕 。 〕 气、 … 飞沪 户 砰 “ 〕 … 兴 。 〕 台〕 而尸卜 ‘了 、 … 口 孟 二 口 者 ， 口 尝 ， 口 兮、 口 忿 口 忿 呈 苦 … 叭 口 忿 才 心 、 … 二 口 … ，， 〔 〕 二 口 瑟 。 〕 口 曰 日 才 … 口 口 忿 忿 轰 ’ 〕 从而方程 变成 一 〕 二 ‘ 石 马 〕 】 〕 ， ， ， ， … 。 ﹃ 肠 ，二 ︸ 卜 厂 ︸ 二 ‘ 〕 二宁 ‘ 〕 二万 “ ，〕 急全 ‘ … 欲 〕 … 括 〕 这个方程称为非线性 电阻 网络的线性化多级广义混合签方程 ， 式 中 荟 ’ 、 、 ， 、 ，， ， ， … ， 吉 〕 、 气扩〕 盆 ， ， ， ， … ， 牙 〕 、 梦 · 、 · 己 、 ， ， … 公 〕 麦 · 〕 飞一 己 ， ，… 。 目，甘任 、少、产、声刀 … 厄‘矛、、户 ，口自，曰，上，， 矛 ‘ 、 ， ， ， … ， ， ， ，… ， 勺 二〕 、 一 毛几〕 犷〕 ， 孟反 · 〕 艺 五 ” 全二 ， 〕 ， ， ，… ， 鉴 一 冲 〕 铃 ， 毖 ’ 艺 二 梦 · 〕 ，乙气〕 ， ， ， … ， 。 。 玄 三﹄尸 ﹄