rx#0例如 f(x)=3e0,x=0在x=0点任意可导,且 f(n)(0)=0 (n=0,1,2,…)8: f(x)的麦氏级数为0·x"n=0该级数在(-o0,+)内和函数s(x)= 0. 可见除s =0外,f(x)的麦氏级数处处不收敛于f(x)
= = − 0, 0 , 0 ( ) 2 1 x e x f x x 例如 (0) 0 ( 0,1,2, ) 且 f (n) = n = = 0 ( ) 0 n n f x 的麦氏级数为 x 该级数在(−,+)内和函数s(x) 0. 可见 除s = 0外, f (x)的麦氏级数处处不收敛于 f (x). 在x=0点任意可导
定理 2 f(x)在点x,的泰勒级数,在Us(x,)内收敛于f(x)一在U。(x,)内lim R,(x)=0.n→证明必要性设f(x)能展开为泰勒级数2f(i)(x)("f(x)-/x-x,) + R,(x)i!i=0:. R,(x) = f(x)- Sn+1(x), : limsn+i(x)= f(x)n→0:. lim R,(x) = lim[f(x) - Sn+1(x)]= 0;n-→>n-→80
定 理 2 f (x)在 点x0的泰勒级数,在 ( ) U x0 内 收 敛 于 f (x)在 ( ) U x0 内lim ( ) = 0 → Rn x n . 证明 必要性 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) x x R x i f x f x n i n i i = − + = ( ) ( ) ( ), Rn x = f x − sn+1 x 设f (x)能展开为泰勒级数, lim ( ) ( ) sn 1 x f x n + = → = → lim R (x) n n lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + → − = 0;
充分性: f(x)-sn+i(x) = R,(x),.. lim[f(x)- Sn+i(x)]= lim R, (x) = 0,n->00n→0即 lim Sn+1(x) = f(x),n→8:: f(x)的泰勒级数收敛于f(x)定理 3 设f(x)在U(x)上有定义,3M >0, 对VxE(x,-R, x,+R), 恒有 f(n)(x)≤M(n =0,1,2,),则f(x)在(x-R,x + R)内可展开成点x.的泰勒级数
充分性 ( ) ( ) ( ), f x − sn+1 x = Rn x lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + → − lim R (x) n n→ = = 0, lim ( ) ( ), sn 1 x f x n + = → 即 f (x)的泰勒级数收敛于 f (x). 定 理 3 设 f (x)在 ( ) U x0 上有定义,M 0,对 ( , ) x x0 − R x0 + R ,恒有 f x M n ( ) ( ) (n = 0,1,2,),则 f (x)在( , ) x0 − R x0 + R 内可展 开成点x0的泰勒级数
证明n+1S+?-xo: R,(x)≤M(n + 1)!(n + 1)!n+1xe(Xo -R,X +R)8x-xo.2在(-0,+)收敛,(n + 1)!n=0n+1x-xo= 0, 故 lim R,(x)= 0,:. lim(n + 1)!n→>8n-→oxe(xo -R,xo + R)：可展成点x,的泰勒级数
证明 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x , ( 1)! 1 0 + − + n x x M n ( , ) x x0 − R x0 + R ( , ) , ( 1)! 0 1 0 在 − + 收敛 + − = + n n n x x 0, ( 1)! lim 1 0 = + − + → n x x n n lim ( ) = 0, → Rn x n 故 . 可展成点x0的泰勒级数 ( , ) x x0 − R x0 + R
二、函数展开成幂级数1.直接法（泰勒级数法）步骤: (I)求a, =f("(x)n!(2)讨论 lim R, = 0或f(n(x)≤ M,n-→8则级数在收敛区间内收敛于f(x)下面看几个初等函数的幕级数展开式
二、函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) 步骤: ; ! ( ) (1) 0 ( ) n f x a n 求 n = (2) lim 0 ( ) , Rn f (n) x M n = → 讨论 或 则级数在收敛区间内收敛于 f (x). 下面看几个初等函数的幂级数展开式