南阳师范学院 Nanyang Normal University 数学与统计学院 例2己知随机变量X的密度函数为 求其数学期望. x≥1 解E(X)=∫f(x)d =0+小0山
School of Maths and Statistics 例2 已知随机变量X的密度函数为 2 1 , 1 ( ) 1 0, 1 x f x x x π ⎧ < ⎪ = ⎨ − ⎪ ≥ ⎩ E X xf x dx ( ) () +∞ −∞ = ∫ 解 求其数学期望. 1 1 1 1 2 1 0 0 1 0 x dx x dx x dx π x − +∞ −∞ − = ⋅⋅ + + ⋅⋅ − = ∫∫ ∫
南阳师范学院 Nanyang Normal University 数学与镜计学院 E(X)的意义反映了随机变量X取值的“概率平均”，是 X的可能值以其相应概率的平均. 试验次数较大时，X的观测值的算术平均值 x 在E(X附近摆动 x≈E(X 因此，数学期望又可以称为期望值，均值
School of Maths and Statistics 试验次数较大时，X的观测值的算术平均值 在E(X)附近摆动 x x EX ≈ ( ) 因此，数学期望又可以称为期望值，均值. E(X)的意义 反映了随机变量X取值的“概率平均”,是 X的可能值以其相应概率的平均
南阳师范学院 Nanyang Normal University 数学与统学院 (X,Y)为二维离散型随机变量 E(X)=∑xP{X=x}=∑xP.=∑∑XP) E(Y)=∑y,PY=y}=∑yP,=∑∑y,P (X,Y)为二维连续型随机变量 E(X)=[xf (x)dx =xf(x,y)dxdy. E(Y)=yf(y)dy =yf(x.y)dxd
School of Maths and Statistics (X,Y)为二维离散型随机变量 . () { } i i ii iij i i i j E X xP X x xp xp = == = ∑ ∑ ∑∑ . () { } j j j j jij j j j i EY yPY y y p y p = == = ∑ ∑ ∑∑ ( ) () (, ) , EX x Xf x dx x f x y dxdy +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ = = ∫ ∫∫ () () ( , ) E Y y f y dy y f x y dxd Y y +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ = = ∫ ∫∫ (X,Y)为二维连续型随机变量
南阳师范学院 Nanyang Normal University 数学与镜计学院 例3设（仪，Y)的联合密度为 f(x,)=0 ay,x∈[0,1，y∈[1,3] ,其它 (1)求k (2) 求X和Y的边缘密度； (3) 求E(X),E(Y):
School of Maths and Statistics 例 3 设(X,Y)的联合密度为 , [ , ], [ , ] (, ) kxy x y f xy ⎧ ∈ ∈ = ⎨ ⎩ 01 13 0 , 其它 (1) 求 k； (2) 求 X 和 Y的边缘密度； (3) 求E(X), E(Y)
南阳师范学院 Nanyang Normal University 数学与统学院 解 (1)由 ∫rfx,yadd=l1 购=422k-l 所以 k= 2 (2)x∈[0,1]时 f(2x 所以f(0 x,x∈[0,1] ,其它
School of Maths and Statistics = k k ⋅⋅ = = 1 4 21 2 1 2 k = () (, ) Xf x f x y dy +∞ −∞ = ∫ = xydy x = ∫ 3 1 1 2 2 [,] ( ) X x x f x ⎧ ∈ = ⎨ ⎩ 2 01 0 ， ，其它 f x y dxdy (, ) +∞ +∞ −∞ −∞ = ∫ ∫ 1 k ydy xdx ⋅ ∫ ∫ 3 1 1 0 所以 所以 得 (2) x ∈[,] 0 1 时 解 (1) 由