教案第七章气体动理论 对于双原子分子，自由度5，则，-k下k下平均平动动能(D+平均转动 动能(k)。多原子分子的自由度要复杂些，这里不进行讨论，一般6。 一个刚性双原子的动能可写为如下的形式： (1) 在温度为T的平衡状态下，气体分子按能量分布遵循玻而兹曼分布律：N。xa:a 为一与速度，角速度无关的常数，处在e附近dv,d心，dD,do,d@,范围内的分子数 为： dN,-e%dv,dv,dv,do,do, 显然： se dv,dv,dv,do,do,-N 现以10：为例，计算方向的平均转动动能： 5a-上es次u,u,dw.a,do, =上ae°a加上-上o:亩mndu,d,dw do, 利用分部积分司：上：高a,号益， 代入上式可得： kT 1 是o--上7 ,dv,,u.dado,-K灯 同理可证： 2mu2=1 u-mu--k灯 120
教案 第七章 气体动理论 120 对于双原子分子，自由度 i=5，则 a = 2 i k T= 2 5 k T=平均平动动能( 2 3 k T)+平均转动 动能( 2 2 k T)。多原子分子的自由度要复杂些，这里不进行讨论，一般 i=6。 一个刚性双原子的动能可写为如下的形式： = 2 1 m 2 x + 2 1 m 2 y + 2 1 m 2 z + 2 2 1 x I + 2 2 1 y I （1） 在温度为 T 的平衡状态下，气体分子按能量分布遵循玻而兹曼分布律：N ae KT − ；a 为一与速度,角速度无关的常数，处在 附近 d x d y d z d x d y 范围内的分子数 为： d N = ae KT − d x d y d z d x d y 显然： − − ae KT − d x d y d z d x d y =N 现以 2 2 1 x I 为例，计算方向的平均转动动能： 2 2 1 x I = N 1 − − 2 2 1 x I ae KT − d x d y d z d x d y = N 1 − − x KT I I x e d x 2 2 2 2 1 − − 2 2 1 x I ae ( ) 2 1 2 2 2 2 x y z y m m m I kT − + + + d x d y d z d y 利用分部积分可得： − − x KT I I x e d x 2 2 2 2 1 = 2 kT − x KT I e d x 2 2 代入上式可得： 2 2 1 x I = − − 2 kT N 1 ae KT − d x d y d z d x d y = 2 1 KT 同理可证： 2 2 1 m x = 2 2 1 m y = 2 2 1 m z = 2 2 1 y I = 2 1 KT
教案第七章气体动理论】 这说明：大量气体分子处在平衡状态下，在各个自由度上占有相同的平均能量。 kro,k器0 Kdo, 3.理想气体的内能 理想气体分子之间无相互作用势，因此，一摩尔理想气体的内能为E=。6。= 义灯红对报为的气体关为为E业名c,工关种c一 称为理想气体的等容摩尔热容。上式说明：对一定质量的理想气体，其内能反由自由度 和温度来决定，既理想气体的内能只是温度的单值函数。 4.固体热容 圆休热容定义为：C=号 当温度发生变化时，对固体而言，压强、体积变化非常小，故不区别定体热从和定压热 容。 下面分析固体的摩尔热容，组成固体的N个原子在固体中的运动为在晶格附近的热振动， 这个振动是三维的，我们把每个原子的三维振动看作是一个维振了，对每个原子的一维 121
教案 第七章 气体动理论 121 这说明：大量气体分子处在平衡状态下，在各个自由度上占有相同的平均能量。 注： − − x KT I I x e d x 2 2 2 2 1 = − − KT I x x I de 2 2 2 2 1 (- I 2KT ) x 2 1 = − 2 1 KT − KT I x x de 2 2 () = − 2 1 KT( − − KT I x x e 2 2 − − − x KT I e d x 2 2 ) = 2 1 KT − − x KT I e d x 2 2 − − KT I x x e 2 2 =2 KT I e 2 2 − =0 3. 理想气体的内能 理想气体分子之间无相互作用势，因此，一摩尔理想气体的内能为 E=N 0 a = N 0 2 i KT= 2 i RT 对质量为 m 的理想气体，其内能为：E= M 2 i RT= M C v T；其中 C v = 2 i R 称为理想气体的等容摩尔热容。上式说明：对一定质量的理想气体，其内能反由自由度 和温度来决定，既理想气体的内能只是温度的单值函数。 4. 固体热容 固体热容定义为： dT dQ C = 当温度发生变化时，对固体而言，压强、体积变化非常小，故不区别定体热从和定压热 容。 下面分析固体的摩尔热容，组成固体的 N 个原子在固体中的运动为在晶格附近的热振动， 这个振动是三维的，我们把每个原子的三维振动看作是一个维振了，对每个原子的一维
教案第七章气体动理论 振动，有质心坐标和相对质心的质点坐标两个自由度，即1，则每个原子的振动能量为： E=3x2x-KT=3KT 1mol品体的振动能量为： E=N &=3N kT=3RT 其摩尔热容为：C-号=票=识25nar 即理想晶体的摩尔热容是不依赖于温度的常量，上式称为杜隆珀蒂定律，是他们于1819 年在实验中发现的此规律，下面给出几种固体的摩尔热容值。 铝铜镉金铂银锡 (20℃) 25.724.725.626.626.325.727.8Cm(Jmo1.kl) 当温度不太低时，杜隆珀蒂定律与实验值符合的很好，当温度很低时，固体的摩尔热容 明显地依赖于温度，此时，能量均分定理则解释不了，而需要用量子理论来解决。下图 为银的摩尔热容与温度曲线。 s5麦克斯韦分子速率分布律Max well Velocity Distribution 处于平衡态的气体分子，以不同的速率沿着各个方向运动着，有的分子速率较大，有 的较小由于相互碰撞，每个分子的速率都在不断的改变因此，个别分子的运动完全是偶 然的。然而从大量分子整体来看，在一定条件下，分子的速率分布遵从着一定的统计规 律。1895年，英国物理学家从理论上得到了这一规律。 注：麦克斯韦（英国）与1859年导出分布律，由0.Stern于1920年用实验证实其正确 性。麦克斯韦还建立了经典电磁理论，并预言电磁波的存在，后由赫兹由实验验证。 具体实验是如下进行的(O.Stern1888-1969): 1.测定气体分子速率的实验 122
教案 第七章 气体动理论 122 振动，有质心坐标和相对质心的质点坐标两个自由度，即 i=1，则每个原子的振动能量为： KT 3KT 2 1 = 3 2 = 1mol 晶体的振动能量为： E = NA = 3NA kT = 3RT 其摩尔热容为： 1 1 3 25 − − = = = R = J mol l dT dE dT dQ Cm 即理想晶体的摩尔热容是不依赖于温度的常量，上式称为杜隆-珀蒂定律，是他们于 1819 年在实验中发现的此规律，下面给出几种固体的摩尔热容值。 铝 铜 镉 金 铂 银 锡 （20℃） 25.7 24.7 25.6 26.6 26.3 25.7 27.8 Cm(Jmol-1 k -1 ) 当温度不太低时，杜隆-珀蒂定律与实验值符合的很好，当温度很低时，固体的摩尔热容 明显地依赖于温度，此时，能量均分定理则解释不了，而需要用量子理论来解决。下图 为银的摩尔热容与温度曲线。 §5 麦克斯韦分子速率分布律 Maxwell Velocity Distribution 处于平衡态的气体分子,以不同的速率沿着各个方向运动着，有的分子速率较大，有 的较小.由于相互碰撞，每个分子的速率都在不断的改变.因此，个别分子的运动完全是偶 然的。然而从大量分子整体来看，在一定条件下，分子的速率分布遵从着一定的统计规 律。1895 年，英国物理学家从理论上得到了这一规律。 注： 麦克斯韦（英国）与 1859 年导出分布律，由 O.Stern 于 1920 年用实验证实其正确 性。 麦克斯韦还建立了经典电磁理论，并预言电磁波的存在，后由赫兹由实验验证。 具体实验是如下进行的(O.Stern 1888-1969)： 1. 测定气体分子速率的实验