把闭区域9投影到xoy面上,如图, 2 Q ≤z≤√4-r 3 0<r≤ 9 0≤0≤2兀 3 ,2 2兀 de di ridz _13 T 0 4 上页
− = 2 3 2 2 4 0 3 0 r r I d dr r zdz . 4 13 = 把闭区域 投影到 xoy 面上，如图， 0 2 . 0 3, 4 3 : 2 2 − r z r r
例2计算I=(x2+y2) )dxdydz,其2 是曲线=2,X=0绕0轴旋转周而成 的曲面与两平面z=2,z=8所围的立体 王解出{P=2 绕0z轴旋转得, y=0 h旋转面方程为x2+y2=2, 王所围成的立体如图, 上页
例２ 计算 I = (x + y )dxdydz 2 2 ， 其中 是曲线 y 2z 2 = ，x = 0 绕oz 轴旋转一周而成 的曲面与两平面z = 2,z = 8所围的立体. 解 由 = = 0 2 2 x y z 绕 oz 轴旋转得， 旋转面方程为 2 , 2 2 x + y = z 所围成的立体如图
所围成立体的投影区域如图, D1:x2+y2=16, 0≤0≤2兀 0<r≤4 ● ≤z≤8 0≤e 0≤ 2:x2+y2=4 2 23s2 上页
: D2 4, 2 2 x + y = . 2 2 0 2 0 2 : 2 2 z r r : D1 16, 2 2 x + y = , 8 2 0 4 0 2 : 1 2 z r r 所围成立体的投影区域如图， D2 D1
I=11-12 fJ6x2+y2xdxdydz-[e2+y2)dxdy dz, 王4C间上,h= 1 2 frdrdef fiz=J 2π 2 d0d2r·r2=2π 2 6 D 原式I= 4525 3尤-二兀=336兀 上页
( ) ( ) , 1 2 2 2 2 2 1 2 = + − + = − x y dxdydz x y dxdydz I I I = 1 2 8 2 1 D I rdrd r fdz , 3 4 5 = = 2 2 2 2 2 D I rdrd r fdz , 6 2 5 = 原式I = 3 4 5 − 6 2 5 = 336 . = 8 2 4 0 2 0 2 2 r d dr r r dz = 2 2 2 0 2 0 2 2 r d dr r r dz
二、利用球面坐标计算三重积分 设M(x,y,z)为空间内一点,则点M可用 三个有次序的数,mθ来确定,其中r为原 午点O与点M间的距离,q为有向线段OM与z 工工工 轴正向所夹的角,6为从正z轴来看自x轴按 逆时针方向转到有向线段OP的角,这里P为 点M在xOy面上的投影,这样的三个数r,g, 6就叫做点M的球面坐标. 上页
二、利用球面坐标计算三重积分 就叫做点 的球面坐标． 点 在 面上的投影，这样的三个数 ， ， 逆时针方向转到有向线段 的角，这里 为 轴正向所夹的角， 为从正 轴来看自 轴按 点 与点 间的距离， 为有向线段 与 三个有次序的数 ， ， 来确定，其中 为原 设 为空间内一点，则点 可用 M M xoy r OP P z x O M OM z r r M x y z M ( , , )