按v1=5,v。=24,查F表得F=390,现实得F>F0,故,P<0.01,因而推断: 否定H0:41=42=…=μ6,即6种施氮法的植株含量是显著不同的 4.多重比较——各处理平均数x的比较 在此用新复极差测验,算得 Se= 20542 =0.104l(mg) 1 然后按v=24,从附表8查出p=23…,6时的 SSRoos和 SSRoor,并按7.17式即 LSR=SSR·SE算得各种p时的 L SRoo5和 LSRoOL1值于表87。 表87表8.5资料新复极差测验的LSR值 3 SSRoo 3.07 3.22 4.14 4.33 4.39 0.304 0.319 0.341 0.457 5.试验结论 根据表87的LSR005和LSR01尺度,即可作出6个平均数的多重比较于表8.8。表88 的测验结果说明,除掉第2法和第6法之间的差异为不显著外,其余各种方法间的差异都 达到a=001水平。 表8.86种施氮法植株含氮量的差异显著性 平均数 差异显著性 施氮法 14.48 5263 13.76 %abb BBc 13.12 D 4 E 、各处理观察值数目不等的单向分组资料 若k处理中观察值的数目分别为n1、m、……、n,则为组内观察值数目不等的单向分 组资料。其方差分析的原理、步骤与处理内观察值数目相等的资料完全相同,不同的是各 处理的n不等,所以在方差分析时,下列有关公式作了相应改变: 1.分解平方和与自由度的公式
5 按 vt = 5, ve = 24 ，查 F 表得 F0.01=3.90，现实得 F >>F0.01，故，P<<0.01，因而推断： 否定 0 1 2 6 H : = == ，即 6 种施氮法的植株含量是显著不同的。 4．多重比较——各处理平均数 i x 的比较 在此用新复极差测验，算得 0.1041( ) 5 0.0542 2 mg n S SE e = = = 然后按 ve=24，从附表 8 查出 p=2,3,…，6 时的 SSR0.05 和 SSR0.01，并按 7.17 式即 LSR = SSR SE 算得各种 p 时的 LSR0.05 和 LSR0.01 值于表 8.7。 表 8.7 表 8.5 资料新复极差测验的 LSR 值 P 2 3 4 5 6 SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05,24 LSR0.01,24 2.92 3.96 0.304 0.412 3.07 4.14 0.319 0.431 3.15 4.24 0.328 0.441 3.22 4.33 0.335 0.450 3.28 4.39 0.341 0.457 5．试验结论 根据表 8.7 的 LSR0.05 和 LSR0.01 尺度，即可作出 6 个平均数的多重比较于表 8.8。表 8.8 的测验结果说明，除掉第 2 法和第 6 法之间的差异为不显著外，其余各种方法间的差异都 达到 = 0.01 水平。 表 8.8 6 种施氮法植株含氮量的差异显著性 施氮法 平均数 i x 差异显著性 5% 1% 5 2 6 3 1 4 14.48 13.76 13.64 13.12 12.52 10.66 a b b c d e A B B C D E 二、各处理观察值数目不等的单向分组资料 若 k 处理中观察值的数目分别为 n1、n2、……、nk, 则为组内观察值数目不等的单向分 组资料。其方差分析的原理、步骤与处理内观察值数目相等的资料完全相同，不同的是各 处理的 ni 不等，所以在方差分析时，下列有关公式作了相应改变： 1．分解平方和与自由度的公式
总变异自由度DFr=∑n1-1 处理间自由度DF1=k-1 (8.2) 误差自由度DFe=∑n;-k 总变异平方和 Ssr=∑(x-x)2=2x2-C 处理间平方和S=∑n(x1-x)2=X()-C 误差平方和 ∑∑(x-x)=s-s (83) 2.多重比较时标准误的公式由于各处理的重复数不等,可先算得各n的平均数 n)2-∑n2 (84) ∑n1)(k-1) 然后有 SE= (8.5) no (8.6) [例84]小麦三个新品系A、A2、A3和A4(对照)籽粒蛋白质的测定结果如表89所示, 试测验其蛋白质含量的差异显著性。 表89小麦新品系和对照籽粒蛋白质含量 蛋白质含量(%) 11.110813.112.312.513.1 12.15 12.313.212.813412.1 63.8 10.311.211812.110.511.811.2 78.9 1127 A4 (CK) 11.212.112.411.812.8
6 总变异自由度 DFT = ∑ni -1 处理间自由度 DFt = k-1 （8.2） 误差自由度 DFe =∑n i -k ni T C = 2 总变异平方和 = − = − ni SST x x x C 1 2 2 ( ) 处理间平方和 = − = − k i i t i i C n T SS n x x 1 2 2 ( ) ( ) 误差平方和 = − = − k T t n SSe x xi SS SS i 1 1 2 ( ) （8.3） 2．多重比较时标准误的公式 由于各处理的重复数不等，可先算得各 ni 的平均数 n0。 ( )( 1) ( ) 2 2 0 − − = n k n n n i i i （8.4） 然后有 0 2 n s SE e = （8.5） 或 0 2 2 1 2 n s S e x −x = （8.6） [例 8.4] 小麦三个新品系 A1、A2、A3 和 A4(对照)籽粒蛋白质的测定结果如表 8.9 所示， 试测验其蛋白质含量的差异显著性。 表 8.9 小麦新品系和对照籽粒蛋白质含量 品 系 蛋白质含量（%） n i Ti i x A1 A2 A3 A4（CK） 11.1 10.8 13.1 12.3 12.5 13.1 12.3 13.2 12.8 13.4 12.1 10.3 11.2 11.8 12.1 10.5 11.8 11.2 11.2 12.1 12.4 11.8 12.8 6 5 7 5 72.9 63.8 78.9 60.3 12.15 12.76 11.27 12.06 ∑ n i =23 T =275.9
1.结果整理先将原始资料整理成单向分组资料,再依次求出n;、T;、,、∑n和 T(如表8.9)。 2.自由度与平方和的分解根据82式及83式可得 总变异自由度DFr=∑n1=23-1=22 处理间自由度DF=k1=4-1=3 误差自由度DFe=∑m-k=23-4=19 C=27592 330960 23 总变异平方和SSr=(1l12+10.82+…+12.82)-3309.60=17.15 处理间平方和S=(292638278926032 )-330960=6.77 6 7 误差平方和SSe=17.15-6.77=10.38 3.F测验 表8.10表89资料的方差分析 显著水平 变异来源 DA S F 0.05 3.13 10.38 0.55 总变异 17.15 F测验结果,F>F06,说明不同小麦品系间蛋白质的含量有显著差异,应进 作多重比较。 4.多重比较一一各处理平均数x,的比较由84式可得 在此用新复极差测验(LSR法)该法不仅能测验各新品系与对照间差异显著性,还能 测验各品种相互比较的差异显著性。由8.5式可得 3×(4-1) 由8.5式可得 查附表8,当误差自由度v=19时,p自2到4的SSR00s和 SPool1的值,并计算各LSF 值于表8.11
7 1．结果整理 先将原始资料整理成单向分组资料，再依次求出 n i 、Ti 、 i x 、ni 和 T（如表８.9）。 2．自由度与平方和的分解 根据 8.2 式及 8.3 式可得 总变异自由度 DFT =∑n i-1=23-１=22 处理间自由度 DFt = k-1 = 4-１=3 误差自由度 DFe =∑ni-k=23-4=19 3309.60 23 275.9 2 C = = 总变异平方和 SST =（11.12 + 10.82 + … + 12.82）-3309.60=17.15 处理间平方和 SSt =（ 5 60.3 7 78.9 5 63.8 6 72.9 2 2 2 2 + + + ）-3309.60=6.77 误差平方和 SSe = 17.15-6.77=10.38 3．F 测验 表 8.10 表 8.9 资料的方差分析 变异来源 DF SS MS F 显著水平 0.05 0.01 处 理 误 差 3 19 6.77 10.38 2.26 0.55 4.11 3.13 5.01 总变异 22 17.15 F 测验结果，F > F0.05 ，说明不同小麦品系间蛋白质的含量有显著差异，应进一步 作多重比较。 4．多重比较——各处理平均数 i x 的比较 由 8.4 式可得 在此用新复极差测验（LSR 法） 该法不仅能测验各新品系与对照间差异显著性，还能 测验各品种相互比较的差异显著性。由 8.5 式可得 5.7 6 23 (4 1) 23 (6 5 7 6 ) 2 2 2 2 2 0 = − − + + + n = 由 8.5 式可得 0.30 6 0.55 0 2 = = = n s SE e 查附表 8，当误差自由度 ve =19 时，p 自 2 到 4 的 SSR0.05 和 SSR0.01 的值，并计算各 LSR 值于表 8.11
表8.11表89资料新复极差测验的LSR 表812表89资料新复极差测验 4 处理 平均蛋白质 差异显著性 AB 0.890.930.96 12.06 AB LSRool 1.22 1.27 1.31 A3(CK)l1.27 5.试验结论:表8.12表明A2、A3间蛋白质含量差异极显著,其它之间均不显著 三、各处理又可分为亚组的单向分组资料 单向分组资料,如果每组又分若干个亚组,而每个亚组内又有若干个观察值,则为组 内分亚组的单向分组资料,简称系统分组资料。系统分组并不限于组内仅分亚组,亚组内 还可分小组,小组内还可分小亚组,……如此一环套一环地分下去。这种试验的设计称为 巢式设计( Nested design)。在农业试验上系统分组资料亦是常见的。如对数块土地取土样 分析,每块地取了若干样点,而每一样点的土样又作了数次分析的资料,或调查某种果树 危害,随机取若干株,每株取不同部位枝条,每枝条取若干叶片査其各叶片病斑数的资料 等,皆为系统分组资料。以下我们仅讨论二级分组观察值数目相等的系统分组资料的方差 分析。 设一系统分组资料共有l组,每组内又分m个亚组,每一亚组内有n个观察值,则该 资料共有lm个观察值,其资料类型如表8.13。 表8.13中每一观察值的线性可加模型为 Xik=A+,+E+Sik (8.7) 表8.13二级系统分组资料lm个观察值的符号 (1,2,…,=1,2,…,m,k=1,2,…n) xi12 x:22 xii? xiIn en 亚组总和 T T=∑ 组总和T7 T T 亚组均数订 Mil i2 Iy xu 组均数x x=T/Imn
8 表 8.11 表 8.9 资料新复极差测验的 LSR 表 8.12 表 8.9 资料新复极差测验 p 2 3 4 处理 平均蛋白质 含 量 差异显著性 0.05 0.01 SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01 2.96 4.05 0.89 1.22 3.11 4.24 0.93 1.27 3.19 4.35 0.96 1.31 A2 A1 A4 A3（CK） 12.76 12.15 12.06 11.27 a ab ab b A AB AB B 5．试验结论：表 8.12 表明 A2、A3 间蛋白质含量差异极显著，其它之间均不显著。 三、各处理又可分为亚组的单向分组资料 单向分组资料，如果每组又分若干个亚组，而每个亚组内又有若干个观察值，则为组 内分亚组的单向分组资料，简称系统分组资料。系统分组并不限于组内仅分亚组，亚组内 还可分小组，小组内还可分小亚组，……如此一环套一环地分下去。这种试验的设计称为 巢式设计（Nested design）。在农业试验上系统分组资料亦是常见的。如对数块土地取土样 分析，每块地取了若干样点，而每一样点的土样又作了数次分析的资料，或调查某种果树 危害，随机取若干株，每株取不同部位枝条，每枝条取若干叶片查其各叶片病斑数的资料 等，皆为系统分组资料。以下我们仅讨论二级分组观察值数目相等的系统分组资料的方差 分析。 设一系统分组资料共有 l 组，每组内又分 m 个亚组，每一亚组内有 n 个观察值，则该 资料共有 lmn 个观察值，其资料类型如表 8.13。 表 8.13 中每一观察值的线性可加模型为 ijk i ij ijk x = + + + （8.7） 表 8.13 二级系统分组资料 lmn 个观察值的符号 （i=1,2,… ,l; j=1,2,…,m; k=1,2,…,n） 组 别 1 2 i l 1 2 j m ln 1 12 11 i i k i i x x x x i n i k i i x x x x 2 2 22 21 ijm ij ij x x x 2 1 imn im iml x x x 2 亚组总和 Tij 组总和 Ti 亚组均数 ij x 组均数 i x T1 1 x T2 2 x …… …… Ti1 i1 x Ti2 i2 x i ij i ij x x T T im im x T Tl l x T = x x = T / lmn
以上μ为全体平均;τ为组效应或处理效应,可以是固定模型或随机模型;s为同组 中各亚组的效应,一般为随机变异,具有N(0G3);:k为同一亚组中各观察值的变异,具 有N(0a2)。上式说明,表8.13的任一观察值的总变异(x-)可分解为3种变异因素的 变异:(1)组间(或处理间)变异;(2)同一组内亚组间变异;(3)同一亚组内各观察值 的变异。其自由度和平方和的估计如下: 自由度=lmn-1 (8.8) (x-x) 其中 (8.9) 2.组间(处理间)变异 自由度=l-1 ∑T2 (8.10) -x)= 3.同一组内亚组间的差异 自由度=1(m-1) nG, -x).27: 2r- (8.11) 4.亚组内的变异 自由度=lm(n-1) ∑m( 因而可得方差分析表于表8.14 表814二级系统分组资料的方差分析 期望均方(EMS) 变异来源 F 随机模型 mn2(,-1)2 52/32l 02+no2 +mno2 o+no3+mnc2 组内亚组间m-1)∑Σm(x-x)ss/52a2+n3 +n0 亚组内m0n-1)∑∑∑(x-x)2s2 总变异Lmn1
9 以上 为全体平均； i 为组效应或处理效应，可以是固定模型或随机模型； ij 为同组 中各亚组的效应，一般为随机变异，具有 2 (0, N )； ijk 为同一亚组中各观察值的变异，具 有 (0, ) 2 N 。上式说明，表 8.13 的任一观察值的总变异（ x − ）可分解为 3 种变异因素的 变异：（1）组间（或处理间）变异；（2）同一组内亚组间变异；（3）同一亚组内各观察值 的变异。其自由度和平方和的估计如下： 1．总变异 = − = − = − lmn SST x x x C lmn 1 2 ( ) 自由度 1 （8.8） 其中 lmn T C 2 = （8.9） 2．组间（处理间）变异 − = − = = − l i T i C mn T SS mn x x l 1 2 2 ( ) 自由度 1 （8.10） 3．同一组内亚组间的差异 = − = − = − l m ij i e ij i mn T n T SS n x x l m 1 1 2 2 2 1 ( ) 自由度 ( 1) （8.11） 4．亚组内的变异 = − = − = − l m n ij e ijk ij ijk n T SS n x x x lm n 1 1 1 2 2 2 2 ( ) 自由度 ( 1) （8.12） 因而可得方差分析表于表 8.14 表 8.14 二级系统分组资料的方差分析 变异来源 DF SS MS F 期望均方（EMS） 混合模型 随机模型 组 间 组内亚组间 亚 组 内 ( 1) ( 1) 1 − − − lm n l m l 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ij ij i i x x n x x mn x x − − − 2 2 2 1 2 1 e e s s s 2 2 2 1 2 1 2 / / e e t e s s s s 2 2 2 2 2 2 n n mn + + + 2 2 2 2 2 2 n n mn + + + 总 变 异 Lmn-1 2 (x − x)