第十三章 动量矩定理
第十三章 动量矩定理
§12-1转动惯量 定义 ∑mr2 若刚体的质量是连续分布,则J=m7m 刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量,它的 大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。 转动惯量恒为正值,国际单位制中单位kgm2。 转动惯量的计算 1.积分法(具有规则几何形状的均匀刚体可采用)
§12-1 转动惯量 一．定义 = 2 z i i J m r Jz = m r dm2 刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的 大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。 转动惯量恒为正值，国际单位制中单位 kg·m2 。 若刚体的质量是连续分布，则 二．转动惯量的计算 １．积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）
[例1匀质细直杆长为/,质量为m。 求:对z轴的转动惯量J 对z′轴的转动惯量J,。 解 O J2=2 dx n d 2 12 2 3 2.回转半径 由=Vm所定义的长度2称为刚体对z轴的回转半径 2
[例1] 匀质细直杆长为l ,质量为m 。 求： 对z轴的转动惯量 ； 对z' 轴的转动惯量 。 2 2 2 2 12 1 dx ml l m J x l z = l = − 2 0 2 3 1 dx ml l m J x l z ' = = 解： 2. 回转半径 由 所定义的长度 称为刚体对z 轴的回转半径。 m Jz = z 2 z m z J = z J z' J
对于均质刚体,p仅与几何形状有关,与密度无关。对 于几何形状相同而材料不同(密度不同)的均质刚体,其回 转半径是相同的。 在机械工程设计手册中,可以查阅到简单几何形状或已 标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质 刚体的和p,以供参考 3.平行移轴定理 同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的 (1)定理J=J+md 刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行 的轴的转动惯量,加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积
在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已 标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质 刚体的 Iz 和 z ，以供参考。 2 J J md z' = zC + 刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行 的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。 同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。 ⑴ 定理 3. 平行移轴定理 对于均质刚体， 仅与几何形状有关，与密度无关。对 于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回 转半径是相同的。 z
(2)证明 设质量为m的刚体,质心为C, Jc=∑m2=∑m(x2+y2)=∑m2=∑m(x2+y x=x, y=yi+d ∑mx2+(y1+)2 y(2 ∑m2(x2+y2)+(∑m1)d2 +2a∑m2y ∑m,=m,∑my=m=0 y +md 刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值
⑵ 证明 设质量为m的刚体，质心为C， = = ( + ) 2 2 2 zC i i i i i J m r m x y = ' = ( ' + ' ) ' 2 2 2 z i i i i i J m r m x y = + + = = + [ ( ) ] ' , ' ' 2 2 J m x y d x x y y d z i i i i i i i + = + + i i i i i i d m y m x y m d 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 0 J J md m m m y my z z C i i i C = + = = = , 刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值