中图科亨技术大学数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 例：已知m爱-号如好点如号=受 分别利用sinx的1次、2次Lagrange插值计算sin50 并估计误差
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 例：已知 2 3 3 , sin 2 1 4 , sin 2 1 6 sin = = = 分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50 并估计误差
中图科亨技术大学数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 500=5元 18 解：n=1分别利用x,x1以及x1,x2计算 x1 x2 利用-无=音→4(=614*+6 π14-π/6V2 内插通常优于外推。选择 5.)=-si血5.，5e(爱3 要计算的x所在的区间的 ) 端点，插值效果较好。 国sin50°=0.7660444. 外推快extrapolation*/的 差≈-0.01001 ◆利用x=至，x=号→sin50=08Q0538<(餐) <0.00660 内插*interpolation*/的实际误差≈0.00596
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 解： x0 1 x x2 18 5 500 = n = 1 分别利用x0 , x1 以及 x1 , x2 计算 4 , 6 0 1 利用 x = x = 2 1 / 4 / 6 / 6 2 1 / 6 / 4 / 4 ( ) 1 − − + − − = x x L x 这里 ) 3 , 6 ( ) sin , ( ) sin , ( (2) f x = x f x = − x x 而 ) 4 )( 6 ( 2 ! ( ) , ( ) 2 3 sin 2 1 (2) 1 = x − x − f R x x x ) 0.00762 18 5 0.01319 ( − 1 − R sin 50 = 0.7660444. ) 18 5 sin 50 (1 0 L 0.77614 外推 /* extrapolation */ 的实际误差 −0.01001 3 , 4 1 2 利用 x = x = sin 50 0.76008, 0.00660 18 ~ 5 0.00538 1 R 内插 /* interpolation */ 的实际误差 0.00596 内插通常优于外推。选择 要计算的 x 所在的区间的 端点，插值效果较好
中图 科亨技术大学数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS n=2 L,(w=-x-x+r-x-2x1+x-x-2x5 (-)ξ-)2（年-）（年-）√2（号-等-）2 sin50°=L4(资)*076543 ()-g5(x-爱xx-晋Xx-:m<9 0.04<R(径)<0.0077 sim50°=0.7660444. 2次插值的实际误差≈0.00061 高次插值通常优于 低次插值
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS n = 2 2 3 ( )( ) ( )( ) 2 1 ( )( ) ( )( ) 2 1 ( )( ) ( )( ) ( ) 3 6 3 4 6 4 4 6 4 3 6 3 6 4 6 3 4 3 2 − − − − + − − − − + − − − − = x x x x x x L x ) 18 5 sin 50 (2 0 L 0.76543 2 3 cos 2 1 ); 3 )( 4 )( 6 ( 3 ! cos ( ) 2 − − − − = x x R x x x x 0.00077 18 5 0.00044 2 R sin 50 = 0.7660444. 2次插值的实际误差 0.00061 高次插值通常优于 低次插值
中图科亨技术大学数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 事后误差估计 给定{x,任取n+1个构造Ln(x) 如： i=0,.,n → L(x) 另取 i=1,.,n+1→Ln(x) 则 f-L()=1x-(x-x) (n+1)川 -i.=m52(x-5）-） (n+1)！
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 事后误差估计 给定 1 0 + = n i i x 任取n+1个构造 L (x) n ( ) ~ 1, , 1 0, , ( ) i n L x i n L x n n = + = 如： 另取 则 ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) 1 1 2 ( 1) 0 1 ( 1) + + + − − + − = − − + − = n n n n n n x x x x n f f x L x x x x x n f f x L x
中固科亨技术大学数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 近似fm(5)≈f(52) 则 f(x)-Ln(x)x-xo f(x)-L (x)x-x+ f(x)%L(x)+x-%oL(x) Xo-Xn+I Xn+1-Xo →f0)-L.()）x-(.(x）-i.(x) Xo-Xn+1
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 近似 ( ) ( ) 2 ( 1) 1 ( 1) + + n n f f 则 ( ( )) ~ ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 L x L x x x x x f x L x L x x x x x L x x x x x f x x x x x f x L x f x L x n n n n n n n n n n n n − − − − − − + − − − − − − + + + + +