)、随机变量的分布函数 定义设X(o)是一个随机变量 称函数F(x):=P{X≤x},-∞<x<∞ 为随机变量X的分布函数 分布函数的性质 (1)Va<b,总有F(a)≤F(b)(单调非减性) (2)F(x)是一个右连续的函数 (3)Vx∈R1,总有0≤F(x)≤1(有界性),且
（二）、随机变量的分布函数 设X()是一个随机变量. 称函数 F(x):= P{X≤x},-∞<x<∞ 为随机变量X的分布函数. 分布函数的性质 （1）a<b,总有F(a)≤F(b)(单调非减性) （2）F(x)是一个右连续的函数 （3） xR 1 ,总有0≤F(x)≤1(有界性),且 定义
lim F(x)=0 lim F(x)=l 记mnF(x)为F(∞)记mnF(x)为F(∞) x→)-00 x→00
lim ( ) = 0 lim ( ) =1 →− → F x F x x x lim ( ) (−) lim ( ) () →− → F x F F x F x x 记 为 记 为
证明:仅证(1) {a<X≤b}={X≤b}∩{X>a} ={X≤b}-{X≤a},而{≤a}c{X≤b} P{a<X≤b}=P{X≤b}-P{X≤a} F(b)-Fa 注意又:P(a(x≤b≥0,Fa)≤F(b) 上述证明中我们得到一个重要公式 P{a<X≤b}=F(b)-F(a) 它表明随机变量落在区间(a,b]上的概 率可以通过它的分布函数来计算
证明: 仅证(1) ∵{a<X≤b}={X≤b}∩{X>a} ={X≤b}-{X≤a},而{X≤a}{X≤b}. ∴ P{a<X≤b}= P{X≤b}- P{X≤a} =F(b)- F(a). 又∵P{a<X≤b}≥0, ∴F(a)≤F(b). 上述证明中我们得到一个重要公式: P{a<X≤b}=F(b)- F(a). 它表明随机变量落在区间(a,b]上的概 率可以通过它的分布函数来计算. 注意
离散型随机变量的分布函数 设离散型随机变量X的分布律为 pk:=P{X=xk},k=1,2,… X的分布函数 (x)=P{X≤x}=P∪{x=xk} F(x)=∑P{X=xk}=∑p
设离散型随机变量X的分布律为 pk:= P{X=xk} , k=1,2,…, X的分布函数 离散型随机变量的分布函数 = = = x x k k F(x) P{X x} P X x = = = x x k x x k k k F(x) P X x p
分布函数F(x)是一个右连续的函数,在 x=x(k=1,2.)处有跳跃值pk=P{Xx},如下 图(图2.2.1)所示 2 3
分布函数F(x)是一个右连续的函数,在 x=xk(k=1,2…)处有跳跃值 pk=P{X=xk},如下 图(图2.2.1)所示