线性代数智能电子教案 第三节线性方程组的解 利用系数矩阵A和增广矩阵B的秩可方便地 讨论线性方程组Ax=b的解,其结论是: a b 定理2n元齐次线性方程组Amnx=0有 非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(4)<n heIp
线 性 代 数 智 能 电 子 教 案 第 三 节 线性方程组的解 利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B 的秩,可方便地 讨论线性方程组 Ax = b 的解, 其结论是: 定理 2 n 元齐次线性方程组 Amn x = 0 有 非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) < n
线性代数智能电子教 证先证必要性设方程组Ax=0有非零解, 数要证R(4)<n用反证法,设R(4)=n则在A中应 能有一个n阶非零子式Dn从而Dn所对应的n个 方程只有零解,这与原方程组有非零解相矛盾,故 案R(4)<n a b 再证充分性设R(4)=r<n,则A的行阶梯形 矩阵只含r个非零行,从而知其有n-r个自由未 知量.任取一个自由未知量为1,其余自由未知量 國国为0,即可得方程组的一个非零解 证毕 heIp
线 性 代 数 智 能 电 子 教 案 证 先证必要性. 设方程组 Ax = 0 有非零解, 要证 R(A) < n. 用反证法, 设 R(A) =n ,则在 A 中应 有一个 n 阶非零子式 Dn , 从而 Dn 所对应的 n 个 方程只有零解, 这与原方程组有非零解相矛盾, 故 R(A) < n. 再证充分性.设 R(A) = r < n,则 A 的行阶梯形 矩阵只含 r 个非零行, 从而知其有 n - r 个自由未 知量. 任取一个自由未知量为 1 , 其余自由未知量 为 0, 即可得方程组的一个非零解. 证毕
线性代数智能电子教 定理3n元非齐次线性方程组Amnx=b 有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广 矩阵B=(4,b)的秩 证先证必要性设方程组Ax=b有解要 案证R(4)=R(B)用反证法设R(4)<R(B,则B的 a行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程0 1,这与方程组有解相矛盾因此R(4)=R(B) heIp
线 性 代 数 智 能 电 子 教 案 定理 3 n 元非齐次线性方程组 Amn x = b 有解的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广 矩阵B = (A , b) 的秩. 证 先证必要性. 设方程组 Ax = b 有解,要 证R(A) = R(B). 用反证法, 设 R(A) < R(B), 则 B 的 行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程 0 = 1, 这与方程组有解相矛盾. 因此 R(A) = R(B)
线性代 再证充分性,设R(4)=R(B),要证方程组有解 警』把B化为行阶梯形矩阵,设R=R(B)=r(rsm 暱则B的行阶梯形矩阵中含r个非零行把这r行的 教第一个非零元所对应的未知量作为非自由量其余 案 n-r个作为自由未知量,并令n-r个自由未知量 a b 全取0,即可得方程组的一个解 证毕 heIp
线 性 代 数 智 能 电 子 教 案 再证充分性, 设 R(A) = R(B), 要证方程组有解. 把 B 化为行阶梯形矩阵, 设 R(A) = R(B) = r (r n), 则 B 的行阶梯形矩阵中含 r 个非零行, 把这 r 行的 第一个非零元所对应的未知量作为非自由量, 其余 n - r 个作为自由未知量, 并令 n - r 个自由未知量 全取 0 , 即可得方程组的一个解. 证毕
线 性 当R(4)=R(B)=n时,方程组没有自由未知 代 数量,只有唯一解当R(4)=R(B)=r<n时方程组 智 能有nr个自由未知量,令它们分别等于a1,2 ···9 子cn,可得含n-r个参数c1,c2,,Cn的解,这些 案参数可任意取值,因此这时方程组有无限多个解 a并且这个含mr个参数的解可表示方程组的任 解,因此这个解称为线性方程组的通解 heIp
线 性 代 数 智 能 电 子 教 案 当 R(A) = R(B) = n 时, 方程组没有自由未知 量, 只有唯一解. 当 R(A) = R(B) = r < n 时, 方程组 有 n-r 个自由未知量, 令它们分别等于 c1 , c2 , ... , cn-r , 可得含 n - r 个参数 c1 , c2 , ... , cn-r 的解, 这些 参数可任意取值, 因此这时方程组有无限多个解. 并且这个含 n-r 个参数的解可表示方程组的任一 解, 因此这个解称为线性方程组的通解