江西财经大学：《运筹学》课程教学资源（PPT课件）第九章 特殊随机服务系统

CPOSIS AND 邮电大生 管理与人文学院忻展红 1999,4 第九章特殊随机服务系统 秩序影响服务质量

©管理与人文学院 忻展红 1999，4 第九章 特殊随机服务系统 秩序影响服务质量

9M/Gi/1等待制,无限源,无限容量 G表示一般独立分布,没有具体的分布函数,但知道该分布 的数学期望1/和方差a 设到达率为,平均服务时长为h=1/,则系统业务量为 p=和h;同样,系统有稳态的条件是p<1 911系统中逗留顾客的平均数 由于服务时长不具有马氏性,不能套用生灭方程求稳态P 以第n个顾客离去瞬间系统内顾客数表示系统状态,如图 Q…。9-°-98口b→第n个顾客 第n+1个顾客 ·Ln为第n个顾客离开系统瞬 n+1 -1Ln>0 n+1 间的系统排队队长 n2+1 L=0 Yn+1为第n+1个顾客服务时 间内到达的顾客数

2 9.1 M/G/1 等待制，无限源，无限容量 • G 表示一般独立分布，没有具体的分布函数，但知道该分布 的数学期望 1/ 和方差  2 • 设到达率为 ，平均服务时长为 h = 1/ ，则系统业务量为  = h；同样，系统有稳态的条件是  < 1 9.1.1 系统中逗留顾客的平均数 • 由于服务时长不具有马氏性，不能套用生灭方程求稳态 pj • 以第 n 个顾客离去瞬间系统内顾客数表示系统状态，如图 • Ln 为第 n 个顾客离开系统瞬 间的系统排队队长 • Yn+1 为第 n +1 个顾客服务时 间内到达的顾客数第n个顾客 第n+1个顾客 Ln Yn+1 Ln+1 ... ... ... ...    = + −  = + + + 0 1 0 1 1 1 n n n n n n Y L L Y L L

若令U(Ln) Ln>o 0. L=0 n n+1 n n2+1 U(Ln) n 由于Ln与Yn+1独立,对上式两边取数学期望得 EILn+1=elLnl+elYn+1 -EIU(Ln)I 系统稳态时有ELn+l=ELnl,故 ElYn+1=EU(Ln) EYn代表一个服务时长内到达系统的平均顾客数 EU(L川代表系统中有顾客逗留的概率,也即服务台被占 用的概率;服务台被占用的概率就是p,所以有 EIU(Ln=Elm+1=p (3) 对(1)式两边平方后再求数学望整理后得 ElEnI E(2 11-2p2+p (4) 2(1-p) 通过复杂的计算可得EY1l=x2a2+p2+p

3 [ ] [ ( )] (2) [ ] [ ], [ ] [ ] [ ] [ ( )] , , ( ) (1) 0, 0 1, 0 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n E Y E U L E L E L E L E L E Y E U L L Y L L Y U L L L U L = = = + − = + −    =  = + + + + + + + 系统稳态时有 故 由 于 与 独 立 对上式两边取数学期望得 则 若 令 • E[Yn+1] 代表一个服务时长内到达系统的平均顾客数 • E[U(Ln )] 代表系统中有顾客逗留的概率，也即服务台被占 用的概率；服务台被占用的概率就是 ，所以有         = + + − − + = = = + + + 2 2 2 2 1 2 2 1 1 [ ] (4) 2(1 ) [ ] 2 [ ] (1) , [ ( )] [ ] (3) n n n n n E Y E Y E L E U L E Y 通过复杂的计算可得 对 式两边平方后再求数学期 望 整理后得

由此可得 d= ellul 2(1-p (5) x2a2+ (6) 2(1-p) Ld,Lq不但与p有关,而且与a2有关 (5),(6)式以俄国数学家朴拉切克欣钦命名 对于定长分布a2=0,有 p(1-p/2) 2(1-p) 对于负指数分布有a2=1/m2,故 q=1(方差越大队越长)

4 (6) 2(1 ) (5) 2(1 ) [ ] 2 2 2 2 2 2           − + = − = + − + = = q d d n L L L E L 由此可得 • Ld，Lq 不但与  有关，而且与  2 有关 • (5),(6)式以俄国数学家 朴拉切克—欣钦 命名 ( !) 1 1 , 1 , 1 2(1 ) (1 2) , 0, 2 2 2 2 2 方差越大队越长 对于负指数分布 有 故 对于定长分布 有             − = − = = − = − − = = d q d q L L L L

对于阶爱尔兰分布有方差σ2=1/km2,因此 I+k p 1+k 2k1 2kH-元 顾客等待的概率为D=EU(Ln)=p,不需等待的概率为1-p 912平均剩余服务时间 对于负指数服务时间分布,众所周知剩余服务时间仍服从 原来的分布,即h′=1/ 但在MG/中,平均剩余服务时间T需要研究,它与顾客 排队等待的时间W有关;显然,W分为两部分:(1)等待 服务台空出的平均时间,(2)排在队中所有顾客的服务时间 对于第1)部分的平均等待时间 71=0(1-p)+Tp=Trp 对于第2)部分的平均等待时间 T2=hLg =Walu=pW a

5         − + = = − + = = k k W L k k L k k q q q 2 1 2 1 1 , 1 , 2 对 于 阶爱尔兰分布 有方差 2 2 因 此 • 顾客等待的概率为 D=E[U(Ln )]=，不需等待的概率为 1−  9.1.2 平均剩余服务时间 • 对于负指数服务时间分布，众所周知剩余服务时间仍服从 原来的分布，即 h =1/ • 但在M/G/1中，平均剩余服务时间 Tr 需要研究，它与顾客 排队等待的时间 Wq 有关；显然， Wq分为两部分：(1)等待 服务台空出的平均时间，(2)排在队中所有顾客的服务时间 q q q r r T hL W W T T T       = = = = − + = 2 1 (2) 0(1 ) (1) 对于第 部分的平均等待时间为 对于第 部分的平均等待时间为