CPOSIS AND 邮电大生 管理与人文学院忻展红 1999,4 第八章标准服务系统 MM/n系统 鱼与熊掌兼得?
©管理与人文学院 忻展红 1999，4 第八章 标准服务系统 M/M/n 系统 鱼与熊掌兼得？
8MM损失制 81M/M/n损失制,无限源(MM/n:∞/m/FIFO) 令从顾客源来的顾客到达率为4,每台的服务率为 则有4=,户=0,1,…,n1;A=0,1=j厂,…, 将,代入生灭方程,得 10 Po l¨Hj-1j !u 由∑n=1得m=2pk =0 / n /k=0 pk/k j=1,2,,n 式中p=4称为业务量( raffic),是无量纲量;表示单位时间 内要求系统提供的服务时间;和的单位必须一致;由于 纪念 Erlang,用爱尔兰作单位(Er)
2 8.1 M/M/n 损失制 8.1.1 M/M/n 损失制，无限源(M/M/n: /n/FIFO) • 令从顾客源来的顾客到达率为 ，每台的服务率为 – 则有 j = , j=0,1, ... , n–1; n=0， j = j, j=1, ... , n • 将 j , j 代入生灭方程，得 • 式中 =/称为业务量(traffic)，是无量纲量；表示单位时间 内要求系统提供的服务时间； 和 的单位必须一致；由于 纪念Erlang，用爱尔兰作单位 (Erl) j n k j p p p k p j p j p p n k k j j n k k n j j j j j j j j j j 1,2, , ! ! 1 ! ! ! 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 1 = = = = = = = = − = = − − − 由 得
系统的服务质量 系统的质量用顾客的损失率来度量,有两种度量方法 按时间计算的损失率pn,即单位时间内服务台全被占用的 时间 按顾客计算的损失率B,即单位时间内损失的顾客数与到 达顾客数之比 在本系统中有B→pn=En(),称为爱尔兰损失公式 p/n Pn /k=0 /k! B=Nn Pn=entp) 不是所有系统都有B=pn的性质 工程上经常是已知p,给定B,求所需最少的服务台n 求n一般有三种方法:迭代计算,查图,查表
3 系统的服务质量 • 系统的质量用顾客的损失率来度量，有两种度量方法 – 按时间计算的损失率 pn，即单位时间内服务台全被占用的 时间 – 按顾客计算的损失率 B，即单位时间内损失的顾客数与到 达顾客数之比 – 在本系统中有 B=pn =En ()，称为爱尔兰损失公式 • 不是所有系统都有 B=pn 的性质 • 工程上经常是已知 ，给定 B，求所需最少的服务台 n • 求 n 一般有三种方法：迭代计算，查图，查表 ( ) ! ! 0 n n n n k k n n p E p B k n p = = = = =
求所需服务台的方法 1、查图,如书上262页 2、迭代计算 无法由En(p)给出n的逆函数,因此采用逐次试算的方洁 注意,En()有较简单的递推公式 E(p)=1 E0(p)=1 n+pEn-(p 迭代直到首次满足En()≤B,则n即为所求 3、工程上经常采用查表的方法 爱尔兰表最左边一列为服务台数n,最上面一行为服务 质量的不同等级,即B 爱尔兰表中元素的值为p,表示服务台数为n,服务质 量为B时,系统最大所能承担的业务量;工程上经常用 A表示p,A是加入话务量
4 求所需服务台的方法 1、查图，如书上262页 2、迭代计算 – 无法由 En () 给出 n 的逆函数，因此采用逐次试算的方法 – 注意， En () 有较简单的递推公式 3、工程上经常采用查表的方法 – 爱尔兰表最左边一列为服务台数 n，最上面一行为服务 质量的不同等级，即 B – 爱尔兰表中元素的值为 ，表示服务台数为 n，服务质 量为 B时，系统最大所能承担的业务量；工程上经常用 A表示 ，A 是加入话务量 迭代直到首次满足 ( ) , 则 即为所求 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0 1 1 E B n E n E E E n n n n = + = − −
爱尔兰损失表 0.0050.010.050.10.2 0.3 0.0050.0100.0530.1110.2500.429 0.1050.1530.3810.5951.0001.449 0.3490.45508991.2711.9302.633 3456789 0.70108691.5252.0452.9453891 1.1321361221828814.0105.189 1.6221.90929603758|5.1096.514 2.1572.501|3.7384.6666.2307.857 2.7303.1284.5435.5977.3699213 3333|3.7835.37065468.52210.579 10 39614.4616.2167.511968511953 n=3,B=0.01,查表得p=0455 已知n和p如何求B,线性内插法;例:n=3,p=25 由表可知B落在0.2-0.3之间,若假设在这区间所承担 的业务量与B成线性关系,则有线性内插公式 B2.=0.2+(0.3-0.2)(25-1.930)(2633-1.930)=0.281
5 爱尔兰损失表 A n B 0.005 0.01 0.05 0.1 0.2 0.3 1 0.005 0.010 0.053 0.111 0.250 0.429 2 0.105 0.153 0.381 0.595 1.000 1.449 3 0.349 0.455 0.899 1.271 1.930 2.633 4 0.701 0.869 1.525 2.045 2.945 3.891 5 1.132 1.361 2.218 2.881 4.010 5.189 6 1.622 1.909 2.960 3.758 5.109 6.514 7 2.157 2.501 3.738 4.666 6.230 7.857 8 2.730 3.128 4.543 5.597 7.369 9.213 9 3.333 3.783 5.370 6.546 8.522 10.579 1 0 3.961 4.461 6.216 7.511 9.685 11.953 – n=3, B=0.01, 查表得 =0.455 – 已知 n 和 如何求 B，线性内插法；例： n=3， =2.5， 由表可知 B 落在 0.2~0.3 之间，若假设在这区间所承担 的业务量与 B 成线性关系，则有线性内插公式 – B 2.5=0.2+(0.3-0.2)(2.5-1.930)/(2.633-1.930)=0.281