幾何三十載 丘成桐 香港中文大學 數學科學研究所
幾何三十載 丘成桐 香港中文大學 數學科學研究所
●●●●● ●●●● ●●0 ●●● ●●●● 個質點在空間的移動’可以由映射x:[O,一>R?3 來描。它的速度向量是,它的動能是 T E(x) 0 給定空間中兩點p和q’我們考慮所有連接p和q的質點 路徑’其中動能最小的路徑就是連結p和q的直線
2 一個質點在空間的移動，可以由映射 x : [0,T] → R 3 來描述。它的速度向量是 ，它的動能是 。 給定空間中兩點 p 和 q ，我們考慮所有連接 p 和 q 的質點 路徑，其中動能最小的路徑就是連結 p 和 q 的直線。 = T dt dx E x 0 2 2 1 ( ) dt dx
●●●●● ●●●● ●●0 ●●● ●●●● 假如量度速度向量時不用歐氏度量’而是用隨點變動的內積 <>x’我們還是可以定義動能 E(x)=feidt 在空間每一點都可以變動的內積’即是說給岀了黎曼度量 可以寓作一個張量∑8(x) dx' dx! 而上逑的動能可以寫成 d x' dx E(x) 2 研究這種內積的幾何學叫做黎曼幾何’它推廣了歐氏幾何 雙曲幾何和橢圓幾何
3 假如量度速度向量時不用歐氏度量，而是用隨點變動的內積 < >x ，我們還是可以定義動能 。 在空間每一點都可以變動的內積，即是說給出了黎曼度量， 可以寫作一個張量 。 而上述的動能可以寫成 。 研究這種內積的幾何學叫做黎曼幾何，它推廣了歐氏幾何、 雙曲幾何和橢圓幾何。 E x dt T dt dx = 0 2 2 1 ( ) i j i j ij g (x) dx dx , d t d t d x d t d x E x g T i j = i j 0 2 1 ( )
●●●●● ●●●● ●●0 ●●● ●●●● 在一般的黎曼幾何裏’兩點p和q之問可以有超過一條的路徑使得E(x) 是極短的 事實上這些路徑一定是測地線’從球上的北極到南極有無窮多條測地線 一般來說’很多測地線不是p和q間最短的線’它們只是局部最短的 即是說在圓,门的任意一個小的線段上是極短的。 在給定p和q時’我們考慮一個包括所有曲線的空間 這個空問的国的是到Q)地里的 Morse index 指標來決定( Morse指標其實是縮短測地線長度的所有方向的維數)’由 ψnq的拓樸可以推導空間本身的拓樸’這是Bot在古典群上的工作
4 在一般的黎曼幾何裏，兩點 p 和 q 之間可以有超過一條的路徑使得 E(x) 是極短的。 事實上這些路徑一定是測地線，從球上的北極到南極有無窮多條測地線。 一般來說，很多測地線不是 p 和 q 間最短的線，它們只是局部最短的， 即是說在[0,T]的任意一個小的線段上是極短的。 在給定p 和 q 時，我們考慮一個包括所有曲線的空間： 這個空間的拓樸性質可以由所有的從 p 到 q 的測地線和其上的Morse index 指標來決定（Morse 指標其實是縮短測地線長度的所有方向的維數），由 p,q 的拓樸可以推導空間本身的拓樸，這是Bott在古典群上的工作。 p,q = x :0,1→ M, x(0) = p, x(1) = q
●●●●● ●●●● ●●0 ●●● ●●●● 在上逑的討論裏’假如存在勢能(φ potential)V:M→>R則能量 可以定義為 E(x)=2+(x) 我們也可以類似的討論 我們也可以讓p=q’並且不固定P的選取’這時可以得到所 有從圓到M上的所有映射的空間,這個空間叫做Ω(M。 在研究粒子在固定空問M的量子化時’我們考慮 Feyman積分 exp(一E(x) xEQ2(M)
5 在上述的討論裏，假如存在勢能(potential) V : M → R 則能量 可以定義為 。 我們也可以類似的討論。 我們也可以讓 p = q ，並且不固定 p 的選取，這時可以得到所 有從圓到 M 上的所有映射的空間，這個空間叫做 (M) 。 在研究粒子在固定空間 M 的量子化時，我們考慮Feyman 積分 E x dt V x dt T T d t d x = + 0 0 2 ( ) 2 1 ( ) − ( ) exp( ( )) x M E x