例6 用定义验证 lim^a=1,其中 a>0.n证这里只验证a>1的情形(0<a<1时自证）。设 α,=a"-1. 因为 a=(1+α,)"≥1+nα,, 所以0<αn =Va-1≤a-1[-]故对于任意正数ε,取 N=当n>N时8Va-1<8.因此证得 lim"a=1.n→→0返回前页后页
前页 后页 返回 1 1 . n n 设 = − a 因为 (1 ) 1 , n n a = +n + n 所以 例6 lim = 1, → n n 用定义验证 a 其中 a 0. 1 . n a − 因此证得 lim = 1 . → n n a 证 这里只验证 a 1 的情形（ 0 1 a 时自证）. . 1 0 1 n a a n n − = − 故对于任意正数 1 , , , a N n N 取 当 时 − =
a"lim=0.例7证明n→o n!解 [a/>1 时, Ve>0, 取 N=Lajl当n>N时,e[la]![lal]aallaalalk.Ial...Ja|1-2.[aal+].n [a] n1a当0<|a|≤1时,取N==,n>N时,<<n!nah从而jlim=0.n-→oo n!前页后页返回
前页 后页 返回 0 . ! lim = → n a n n 例7 证明 解 | a | 1 时, 0, | | 1 | | , | | ! a a N a + 取 = 当 n N 时， | | | | | | | | | | | | 0 ! 1 2 | | | | 1 a n a n a a a a a n a a n − − = + | | | | | | . | | ! a a a a n 从而 0 . ! lim = → n a n n 当 时，取 ， 时， 1 a N = n N 0 | | 1 , 1 ! n n a n
注这里可以将N取为正数，而非正整数.实际上N只是表示某个时刻，保证从这一时刻以后的所有项都能使不等式la,-al<ε成立即可后页返回前页
前页 后页 返回 有项都能使不等式 | a − a | 成立即可. n 注 这里可以将 N 取为正数, 而非正整数. 实际上 N 只是表示某个时刻, 保证从这一时刻以后的所
三、再论“ε-N”说法1.ε的任意性：定义中的ε用来刻画数列(a,的通项与定数a的接近程度.显然正数ε愈小，表示a与a接近的程度愈高；ε是任意的，这就表示an与α可以任意接近.要注意，ε一旦给出，在接下来计算N的过程中，它暂时看作是确定不变的此外，又因 ε是任意正数，所以 2e,3e,,. 等前页后页返回
前页 后页 返回 三、再论 “ - N ”说法 此外，又因 是任意正数, 所以 , 等 2 2 , 3 , 1. 的任意性: 定义中的 用来刻画数列 {an } 的通 项与定数 a 的接近程度. 显然正数 愈小,表示 a n 与 a 接近的程度愈高；是任意的, 这就表示 an 与 a 可以任意接近.要注意， 一旦给出，在接下 来计算 N 的过程中，它暂时看作是确定不变的
均可看作任意正数，故定义1中的不等式la,-al<可以用la,-al<K（K为某一正常数）来代替再有，我们还可以限定ε小于某一个正数（比如8<1).事实上,对0<ε<1若能验证1a,满足定义1,那么对ε≥1自然也可以验证成立2.N的相对性：从定义1中又可看出，随着ε的取值不同，N当然也会不同.但这并不意味着N是由返回前页后页
前页 后页 返回 | a − a | n 可以用 a a K | n − | ( K 为某一正常数 ) 来代替. 定义 1, 那么对 1 自然也可以验证成立. 均可看作任意正数, 故定义 1 中的不等式 2. N 的相对性:从定义1 中又可看出, 随着 的取值 不同, N 当然也会不同. 但这并不意味着N 是由 再有, 我们还可以限定 小于某一个正数 ( 比如 < 1 ). 事实上, 对 0 < < 1 若能验证 { an } 满足