3n?lim=3例3证明2-3n→ 80n分析 由于3n?99(1)3(n≥3),n2-3-3nn9因此,对任给的ε>0，只要一<&,便有n3n3(2)<8.n2-3后页返回前页
前页 后页 返回 2 2 3 lim 3 . n 3 n → n = − 例3 证明 2 2 2 3 9 9 3 ( 3), (1) 3 3 n n n n n − = − − 分析 由于 9 , , n 因此 对任给的 >0 ,只要 便有 2 2 3 3 , (2) 3 n n − −
9即当n>时,(2)式成立.又由于(1)式是在8n≥3的条件下成立的,故应取N-ma/([:]/在给>0 取N-mm(6[:],据分析，当n>N时有(2)式成立.证毕前页后页返回
前页 后页 返回 9 即当n 时 ,(2)式成立.又由于(1)式是在 n 3的条件下成立的,故应取 当n N 时有(2) . . 式成立 证毕 9 N max 3, = 9 N max 3, , , = 任给 0 ,取 据分析 证：
lim qn=0 (0<lql<1)例4用定义验证n→8分析 对于任意的正数&,要使1q"-0/<ε，只要log8nlog Iqllog8证Vε>0不妨设0<ε<1),取Nlog I q当 n>N时,有lgn-0/<8.这就证明了limq"=0n8返回前页后页
前页 后页 返回 lim 0 ( 0 | | 1) . n n q q → 例4 用定义验证 = 分析 对于任意的正数, 要使 | 0 | , n q − 只要 log . log | | n q 这就证明了 lim 0. n n q → = | 0 | . n q − 证 0( 0 1), 不妨设 当 n N 时,有 log , log | | N q 取 =
h?3--例5用定义验证limn→0分析 任给 ε>0,由n?n+73n2-n-7 3// 33(3n2-n-7)当 n≥7时, n+7≤2n, 3n2-n-7≥3n2-2n≥2n2n+72n￥1故要使≤<ε 成立,23n3(3n-n-7)6n1只要即可.n>38返回前页后页
前页 后页 返回 2 2 2 1 7 , 3 7 3 3 7 3 n n n n n n + − = − − − − （ ） 当 n 7 , 时 n + 7 2n, 2 2 2 3 7 3 2 2 , n n n n n − − − 只要 即可. 1 3 n 2 2 1 lim . n 3 7 3 n → n n = − − 例5 用定义验证 分析 任给 0, 由 故要使 2 2 7 2 1 3 3 7 6 3 n n n n n n （ ） + = − − 成立
注意 解这个不等式是在n≥7的条件下进行的，证对于任意的正数ε，取N-mm/[]当 n>N时,有h?1<6,3n2-n-7 3即得h2limn-o3n-n-7"3前页后页返回
前页 后页 返回 证 对于任意的正数 , 取 1 max 7, , 3 N = 当 n N 时, 有 2 2 1 , 3 7 3 n n n − − − 即得 2 2 1 lim . n 3 7 3 n → n n = − − 注意 解这个不等式是在 n 7 的条件下进行的