ε 惟一确定.例如,当n>N时,有lan-al<s,则当n>N,=2N时，对于同样的ε，更应有lan-al<8.也就是说，在这里只是强调N的存在性，而不追求N的“最佳性”前页后页返回
前页 后页 返回 |a − a| , n 则当 n > N1 = 2N 时, 对于同样的 , 更应有 惟一确定. 例如, 当 n >N 时, 有 求 N 的 “ 最佳性 ” . |a − a| . n 也就是说, 在这里只是强调 N 的存在性, 而不追
3.极限的几何意义从几何上看“n>N时有lan-al<”,实际上就是所有下标大于N的a，全都落在邻域Ua;ε之内，而在U(a;）之外，a,至多只有有限项（N项）反过来.如果对于任意正数.落在U(a;)之外至多只有有限项，设这些项的最大下标为N，这就表示当n>N时,a,U(a;),即 lima,=an->o0前页后页返回
前页 后页 返回 3. 极限的几何意义 示当 n >N 时, a U(a; ), lim a a . n n n = → 即 从几何上看 “ , n N 时有 |an − a| ” ,实际上就是 所有下标大于 N 的 an 全都落在邻域 U(a; ) 之内， 而在 之外, { an U(a; ) } 至多只有有限项( N 项 ). 反过来, 如果对于任意正数 , 落在 U(a; ) 之外至 多只有有限项, 设这些项的最大下标为 N, 这就表
定义1任给ε>0，若在U(a;)之外至多只有{an}的有限多项，则称数列(a,收敛于a.an}不以a为极限的定义也可陈述为：存在>0,使得在（a-8a+）之外含有（an中的无限多项前页后页返回
前页 后页 返回 { an } 的有限多项, 则称数列 { an } 收敛于a . { an } 不以 a 为极限的定义也可陈述为: 定义1' 任给 0 , 若在 U(a; ) 之外至多只有 0, 存在 0 使得在 ( ) a a − + 0 0 ， 之外含 有{ an } 中的无限多项
注（an无极限（即发散）的等价定义为:an）不以任何实数a为极限.陈述如下对任意实数a存在s>0,使得在(a-8,a+8%)之外含有（an！中的无限多项前页后页返回
前页 后页 返回 不以任何实数 a 为极限.陈述如下： 注 { an }无极限（即发散）的等价定义为: { an } 之外含有{ an } 中的无限多项. 0, 0 0 0 对任意实数 a 存在 使得在 ( ) a a − +
例5证明{(-1)"发散证 对于任意实数 a, 取 8=}, (a,}=((-1)" 满足:当as0 (a≥0)时,在(a-,a+)之外有无限多个偶数项（奇数项）.所以由定义1，（α，不以a为极限.又因a是任意的,所以(a发散前页后页返回
前页 后页 返回 例5 证明 {( 1) } 发散. n − a 为极限. 又因 a 是任意的, 所以 { an } 发散. 证 对于任意实数 a, 取 , 2 1 0 = { } {( 1) }满足: n an = − 2 ) 之外有无限多 1 , 2 1 当 a 0 (a 0 ) 时,在 ( a − a + 个偶数项（奇数项）. 所以由定义1', { an } 不以