结论6f在x>0止单调递增，m得-1a>0一m需-1（谢惠民P123) 证明思路利用夹定理 定义4迪利克雷函数与黎曼函数（教材P71、P77) 补充迪利克雷函数处处极限不存在，黎曼函数有理点不连续无理点连续，处处极限为0， 处处不可导 +很多反例都可以靠两个函数进行变形构造（如乘x 定义5函数单边极限（教材P76) 定义6函数上下极限（教材P112、讲义9） 补充函数此点有极限一左右极限存在且相等一上下极限存在且相等 *函数上下极限存在类似数列上下极限性质（结论28-30）（教材P112-114) 结论7m-1(教材P76) 证明思路几何+代数证明 结论8四（兴-）=受（谢惠民P120) 证明思路先考虑n为1时.再分解为两极限之差 定义7极限推广，无穷大与无穷小及阶的概念、记号 补充等价无穷小在乘积中可替换 +记忆x一sinx-tanx-台-lhn+)- 带记号0的等式实质并不是等价关系，而是序关系，如0(x2)=o(x),o(x)≠o(x2) 结论91imΠ=cos=（教材P79) 证明思路补充后替换，注意常数与极限数的区别 结论10只f)=0aE(01.妈@-a=A→妈=六（美似教材Pe9) 证明思路用定义表述此式。将等比数列累加（注意严谨性，不能直接极限表述） 定义8函数的多种类型极限与统一定义（讲义10）（注意逻辑表述） 结论11函数极限的Stol2定理（讲义10、谢惠民P123)(同样注意需求条件） 证明思路可取出数列说明 需求条件实质上稍弱于连续 *若想通过任意右端成立推左则需一致连续（见结论19） 常直接使用洛必达法则 定义9函数连续性（教材P90)、上下左右连续（讲义11）、开区间上连续（教材P93) 定义10闭区间上连续（利用左右连续）（讲义12） 补充注意讲义1中连续性的多个等价定义（基本等价定义与振幅刻画、开集原象刻画】 定义11上半连续与下半连线 (将单点向上提于 形响 半连续)（讲义14） 补充闭区间上的凸函数必然上半连续，连续一上半连续+下半连续 结论12若í定义在开区间上，每个开区间的像集仍为开区间，则f在区间上连续 证明思路用类似闭区间套定理的方式构造区间套套住某个点
结论 6 𝑓在𝑥 > 0上单调递增， lim 𝑥→+∞ 𝑓(2𝑥) 𝑓(𝑥) = 1, 𝑎 > 0 ⇒ lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑎𝑥) 𝑓(𝑥) = 1（谢惠民 P123） 证明思路 利用夹逼定理 定义 4 迪利克雷函数与黎曼函数（教材 P71、P77） 补充 迪利克雷函数处处极限不存在，黎曼函数有理点不连续无理点连续，处处极限为 0， 处处不可导 *很多反例都可以靠两个函数进行变形构造（如乘𝑥） 定义 5 函数单边极限（教材 P76） 定义 6 函数上下极限（教材 P112、讲义 9） 补充 函数此点有极限⇔左右极限存在且相等⇔上下极限存在且相等 *函数上下极限存在类似数列上下极限性质（结论 28-30）（教材 P112-114） 结论 7 lim𝑥→0 sin𝑥 𝑥 = 1（教材 P76） 证明思路 几何+代数证明 结论 8 lim𝑥→1 ( 𝑚 1−𝑥𝑚 − 𝑛 1−𝑥 𝑛 ) = 𝑚−𝑛 2 （谢惠民 P120） 证明思路 先考虑 n 为 1 时，再分解为两极限之差 定义 7 极限推广，无穷大与无穷小及阶的概念、记号 补充 等价无穷小在乘积中可替换 *记忆 𝑥 ∽ sin 𝑥 ∽ tan 𝑥 ∽ 𝑎 𝑥−1 ln𝑎 ∽ ln(𝑥 + 1) ∽ (1+𝑥) 𝑎 𝑎 *带记号𝑜的等式实质并不是等价关系，而是序关系，如𝑜(𝑥 2 ) = 𝑜(𝑥), 𝑜(𝑥) ≠ 𝑜(𝑥 2 ) 结论 9 lim 𝑛→∞ ∏ cos 𝑥 2 𝑘 𝑛 𝑘=1 = sin 𝑥 𝑥 （教材 P79） 证明思路 补充后替换，注意常数与极限数的区别 结论 10 lim𝑥→0 𝑓(𝑥) = 0, 𝑎 ∈ (0,1), lim𝑥→0 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎𝑥) 𝑥 = 𝐴 ⇒ lim𝑥→0 𝑓(𝑥) 𝑥 = 𝐴 1−𝑎（类似教材 P89） 证明思路 用定义表述此式，将等比数列累加（注意严谨性，不能直接极限表述） 定义 8 函数的多种类型极限与统一定义（讲义 10）（注意逻辑表述！） 结论 11 函数极限的 Stolz 定理（讲义 10、谢惠民 P123）（同样注意需求条件） 证明思路 可取出数列说明 *需求条件实质上稍弱于连续 *若想通过任意右端成立推左则需一致连续（见结论 19） *常直接使用洛必达法则 定义 9 函数连续性（教材 P90）、上下左右连续（讲义 11）、开区间上连续（教材 P93） 定义 10 闭区间上连续（利用左右连续）（讲义 12） 补充 注意讲义 11 中连续性的多个等价定义（基本等价定义与振幅刻画、开集原象刻画） 定义 11 上半连续与下半连续（将单点向上提升不影响上半连续）（讲义 14） 补充 闭区间上的凸函数必然上半连续，连续⇔上半连续+下半连续 结论 12 若 f 定义在开区间上，每个开区间的像集仍为开区间，则 f 在区间上连续 证明思路 用类似闭区间套定理的方式构造区间套套住某个点
初等函数（教材P94)均为连续函数 *连续性保四则运算、复合、max、min(可反向考虑复合，即变量代换下的连续性) +考虑黎曼函数知连续性为点概念（一致连续为区间概念) 连续函数可以替换极限运算和函数的顺序 结论13f(x)无理点值有理，有理点值无理，则不连续（教材P110) 证明思路f(x)+x值域为无理数 定义12间断点与间断点类型（教材P94) 结论14单调函数只有至多可数个跳跃间新点（教材P95) 证明思路先利用数列证明单侧极限存在（类似可证明凸函数每点存在左右导数】 单调且值域联通必连续，严格单调且值域联通反函数必连续 结论15柯西法解函数方程（以下f∈C(-m,+m)》(教材P97、谢惠民P129) f(r+y)=f(x)+f(v)f(x)=f(1)r f(x+y)=f(x)f(y) fx)= f1)或fx)=0 f(y)=f)+fy)→fx)=xa或fx)=0 f(停）=@型-f)=f四-f0r+f0 证明思路猜出函数后先归纳得整数满足，推出有理数满足，结合连续证明实数满足 结论16非常值连续周期函数必有最小正周期（讲义12） 证明思路先证明周期下界为0，再推出常仁 结论17利用连续性计算1。型极限（教材P98) 证明思路等价无穷小替换法 结论18m =/呢e1a 证明思路利用上述方式计算 定义13一致连续性（教材P102) 补充利普西茨连续（教材P106)(此条件若可导则与导函数有界等价】 证明思路可直接 通过定义说明 +善用定义说明一致连续 *注意一致连续的等价定义（谢惠民P156) *利普西茨连续的性质（教材P106) *一致连续为区间上概念（由公共δ体现） 结论193x,1im(xn-n)=0,1im(f(xn)-f0n)≠0→f非-致连续 证明思路可直接通过定义说明 结论20f在实数一致连续-a,b20,f(x川≤alx+b 证明思路若否。则，m受=。 +一致连续函数可以被夹在一次函数之间 结论21f-致连续，收∈[0,1)，n∈么mf+刊=0，mf代)=0（教材P106)
*初等函数（教材 P94）均为连续函数 *连续性保四则运算、复合、max、min（可反向考虑复合，即变量代换下的连续性） *考虑黎曼函数知连续性为点概念（一致连续为区间概念） *连续函数可以替换极限运算和函数的顺序 结论 13 𝑓(𝑥)无理点值有理，有理点值无理，则不连续（教材 P110） 证明思路 𝑓(𝑥) + 𝑥值域为无理数 定义 12 间断点与间断点类型（教材 P94） 结论 14 单调函数只有至多可数个跳跃间断点（教材 P95） 证明思路 先利用数列证明单侧极限存在（类似可证明凸函数每点存在左右导数） *单调且值域联通必连续，严格单调且值域联通反函数必连续 结论 15 柯西法解函数方程（以下𝑓 ∈ 𝐶(−∞, +∞)）（教材 P97、谢惠民 P129） 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑓(1)𝑥 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑓(1) 𝑥 或 f(x) = 0 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑎 或 𝑓(𝑥) = 0 𝑓 ( 𝑥+𝑦 2 ) = 𝑓(𝑥)+𝑓(𝑦) 2 ⇒ 𝑓(𝑥) = [𝑓(1) − 𝑓(0)]𝑥 + 𝑓(0) 证明思路 猜出函数后先归纳得整数满足，推出有理数满足，结合连续证明实数满足 结论 16 非常值连续周期函数必有最小正周期（讲义 12） 证明思路 先证明周期下界为 0，再推出常值 结论 17 利用连续性计算 1 ∞ 型极限（教材 P98） 证明思路 等价无穷小替换法 结论 18 lim𝑥→0 (∑ 𝑎𝑖 𝑛 𝑥 𝑖=1 ) 1 𝑥 𝑛 = √∏ 𝑎𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 证明思路 利用上述方式计算 定义 13 一致连续性（教材 P102） 补充 利普西茨连续（教材 P106）（此条件若可导则与导函数有界等价） 证明思路 可直接通过定义说明 *善用定义说明一致连续 *注意一致连续的等价定义（谢惠民 P156） *利普西茨连续的性质（教材 P106） *一致连续为区间上概念（由公共δ体现） 结论 19 ∃𝑥𝑛, 𝑦𝑛, lim 𝑛→∞ (𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 ) = 0, lim 𝑛→∞ (𝑓(𝑥𝑛 ) − 𝑓(𝑦𝑛 )) ≠ 0 ⇒ 𝑓非一致连续 证明思路 可直接通过定义说明 结论 20 𝑓在实数一致连续⇒ ∃𝑎, 𝑏 ≥ 0, |𝑓(𝑥)| ≤ 𝑎|𝑥| + 𝑏 证明思路 若否，则 lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) 𝑥 = ∞ *一致连续函数可以被夹在一次函数之间 结论 21 𝑓一致连续，∀𝑥 ∈ [0,1), 𝑛 ∈ ℤ, lim 𝑛→∞ 𝑓(𝑥 + 𝑛) = 0 ⇒ lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 0（教材 P106）
证明思路利用一致连续性拆分f(x)为三段无穷小 仅连续不能推出此结论。反例如一一 *实质是函数极限Sto忆定理的逆定理 将条件改为1 im f(nx)=0则只需f连续便能成立结论（谢惠民P156 有界闭区间上连续函数的性质 结论22有界闭区间上的连续函数必一致连续（康托定理.教材P106) 证明思路凝聚定理出发，利用反证法说明 有界开区间一致连续一连续+端点存在有限极限 连续+无限点存在有限极限→有界开区间一致连续（另一侧反例：sx) 一致连续风间可以拼接 有界的一致连续函数柔积仍一致连续 *注意以上推论证明过程中的严谨性（谢惠民P141) *感觉说不清楚时就用定义表述（此方式可行于大部分证明题） 结论23连续周期函数必一致连续（讲义13） 证明思路利用上方结论拼接连续风域即可 :此结论可反面使用即连续非一致连续则无周期 结论24f@=fo,a<69国-=限+b-0 x≤a →g保留f的连续/一致连续 证明思路连续由定义，一致连续由拼接可立刻得 直观地看，σ即为从f上挖去一个区间后拼接 此结论有时可用于归纳，如谢惠民P155第二题 结论25有界闭区间连续函数有最大值、 最小值（教材P108) 补充此结论蕴含有界性 证明思路反证有界，考虑趋向上界的点，列紧得成立 +若此点非边界且可导，则导数为0（即Role定理的经典证法） ,两次使用有界性可推出最值（谢南民P135) 推论台 若此点有二阶 ,则最大值处≤0.最小值处≥0 也即，非边界处的最值点必为极值点 结论26连续函数的零值定理、介值定理（教材P108) 补充介值定理的另一个表述：区间上的连续函数值域为区间 证明思路零值由实数完备多个等价定理可推得（谢惠民P129),证明介值需构造铺助函数 个值姓质并不需要连续即连续是更器的各件 满足介值性的函数若存在趋向无穷的极限，则必为正或负无究 零值可直接说明根的存在性 *两零点处导函数符号相同可知中间存在零点（可看成零值定理弱化条件】 结论27fECa.bl.f(a)=f(b)=0.任两零点之间存在零点f(x)=0 证明思路先用确界定理说明任一子区间(m,)上有f零点 *此结论即 连续函数存在不同零点，则某 子区间为0或能取出相邻零点 此任一子区间上有f零点即为f零点稠密，与稠密性相关的另一重要结论 结论28xQ.记{t=t-[tl.则对neZ{nx在(0,1)上稠密 证明思路无理数不同倍数必然不等，考虑抽屉原理得可任意接近0，作倍数得结论
证明思路 利用一致连续性拆分𝑓(𝑥)为三段无穷小 *仅连续不能推出此结论，反例如 sinπ𝑥 1+𝑥 2 sin2 π𝑥 *实质是函数极限 Stolz 定理的逆定理 *将条件改为 lim 𝑛→∞ 𝑓(𝑛𝑥) = 0则只需𝑓连续便能成立结论（谢惠民 P156） 有界闭区间上连续函数的性质 结论 22 有界闭区间上的连续函数必一致连续（康托定理，教材 P106） 证明思路 凝聚定理出发，利用反证法说明 *有界开区间一致连续⇔连续+端点存在有限极限 *连续+无限点存在有限极限⇒有界开区间一致连续（另一侧反例：sin 𝑥） *一致连续区间可以拼接 *有界的一致连续函数乘积仍一致连续 *注意以上推论证明过程中的严谨性（谢惠民 P141） *感觉说不清楚时就用定义表述（此方式可行于大部分证明题） 结论 23 连续周期函数必一致连续（讲义 13） 证明思路 利用上方结论拼接连续区域即可 *此结论可反面使用，即连续非一致连续则无周期 结论 24 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), 𝑎 < 𝑏, 𝑔(𝑥) = { 𝑓(𝑥) 𝑥 ≤ 𝑎 𝑓(𝑥 + 𝑏 − 𝑎) 𝑥 > 𝑎 ⇒ 𝑔保留𝑓的连续/一致连续 证明思路 连续由定义，一致连续由拼接可立刻得 *直观地看，𝑔即为从𝑓上挖去一个区间后拼接 *此结论有时可用于归纳，如谢惠民 P155 第二题 结论 25 有界闭区间连续函数有最大值、最小值（教材 P108） 补充 此结论蕴含有界性 证明思路 反证有界，考虑趋向上界的点，列紧得成立 *若此点非边界且可导，则导数为 0（即 Rolle 定理的经典证法） *两次使用有界性可推出最值（谢惠民 P135） *在上一个推论的条件中，若此点有二阶导，则最大值处≤ 0，最小值处≥ 0 *也即，非边界处的最值点必为极值点 结论 26 连续函数的零值定理、介值定理（教材 P108） 补充 介值定理的另一个表述：区间上的连续函数值域为区间 证明思路 零值由实数完备多个等价定理可推得（谢惠民 P129），证明介值需构造辅助函数 *介值性质并不需要连续，即连续是更强的条件 *满足介值性的函数若存在趋向无穷的极限，则必为正或负无穷 *零值可直接说明根的存在性 *两零点处导函数符号相同可知中间存在零点（可看成零值定理弱化条件） 结论 27 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) = 0, 任两零点之间存在零点⇒ 𝑓(𝑥) = 0 证明思路 先用确界定理说明任一子区间(𝑚, 𝑛)上有𝑓零点 *此结论即：连续函数存在不同零点，则某一子区间为 0 或能取出相邻零点 *此任一子区间上有𝑓零点即为𝑓零点稠密，与稠密性相关的另一重要结论： 结论 28 𝑥 ∉ ℚ，记{𝑡} = 𝑡 − [𝑡]，则对𝑛 ∈ ℤ, {𝑛𝑥}在(0,1)上稠密 证明思路 无理数不同倍数必然不等，考虑抽屉原理得可任意接近 0，作倍数得结论
+此结论在说明一些周期函数的性质时很有用（如谢惠民P155第13题） 结论29feC(0,+m)有界→M,3xm→+，imfQ+x)-fxn)=0(教材P111 证明思路反证。由恒大于正数（成小于负数）推出无牙 结论30f∈C(),f0cI或1cf0)→f(x)存在不动点（谢惠民P132、P148) 证明思路构造f(x)-x,考虑定义域/值域的端点处 三、导数 定义1导数定义、左右导数、区间可导（教材P125)、光滑函数（讲义15） 补充可导必连续，连续未必可导（存在连续处处不可导的连续函数），此结论亦可推出微 分中的无穷小增量公式（谢惠民P159、P161) *导数是美商的极限（在分段承数表示时有时只能利用定义） 导数最常用的几何观点：切线斜率， 一阶导数是最准确的线性逼近（谢惠民P160) *可导是 点处的 念（仅一点可导：黎曼函数乘x) *函数的左右导数具有保号性（本质是极限保号性）（谢惠民P186) 结论1奇函数导函数为偶，偶函数导函数为奇（若0点存在则必为0） 证明思路由定义推得成立 此结论可通过归纳推论出n阶导数的情况，也可说明泰勒公式中只含奇/偶项 结论2 的链式法则（教材P131 证明思路利用定义构造函数说明或利用无穷小增量公式 *链式法则亦可推广到阶情况（讲义16，实际应用很少） *求导还有一些基础结论，如四则运算与导数混合、初等函数导数、反函数求导法则 注意反函数求导法刚使用时自变量的不同 结论3莱布尼茨公式（教材P141 证明思路利用乘积求导公式归纳 结论4)={8产之0则在0处任意阶左号数为0 证明思路说明指数收敛速度高于任意阶多项式后归纳得结论 此函数为任意阶可导但非实解析函数的典型案例（讲义24），其泰勒多项式恒为0 结论5n为奇数时arctan(例(0)=(-1)号(n-1)！(n为偶数是0可由奇偶性推知) 证明思路y=arctan'(x)=中，可利用(1+x2)y=0使用莱布尼茨公式递推，或 分解为y=(-)直接计算n阶导数 第二种思路的合理性需要由复变函数论说明。因此暂不适合写过程 *事实上，第一种解法更为本质也更为常用（谢惠民P168例题、P176前三道练习题） 注意拆项法的使用 关干这个函数的n阶导数有不少可通讨归纳得出的结论（教材P143第4、5题） 结论6隐函数与参数方程的求导法则（谢惠民P171、P174) 证明思路利用反函数求导法则与链式法则 微分学中值定理（范围：有界闭区间连续、有界开区间可导的函数】
*此结论在说明一些周期函数的性质时很有用（如谢惠民 P155 第 13 题） 结论 29 f ∈ 𝐶(0, +∞)有界 ⇒ ∀λ, ∃𝑥𝑛 → +∞, lim 𝑛→+∞ (𝑓(λ + 𝑥𝑛 ) − 𝑓(𝑥𝑛 )) = 0（教材 P111） 证明思路 反证，由恒大于正数（或小于负数）推出无界 结论 30 𝑓 ∈ 𝐶(𝐼), 𝑓(𝐼) ⊂ 𝐼或𝐼 ⊂ 𝑓(𝐼) ⇒ 𝑓(𝑥)存在不动点（谢惠民 P132、P148） 证明思路 构造𝑓(𝑥) − 𝑥，考虑定义域/值域的端点处 三、导数 定义 1 导数定义、左右导数、区间可导（教材 P125）、光滑函数（讲义 15） 补充 可导必连续，连续未必可导（存在连续处处不可导的连续函数），此结论亦可推出微 分中的无穷小增量公式（谢惠民 P159、P161） *导数是差商的极限（在分段函数表示时有时只能利用定义） *导数最常用的几何观点：切线斜率，一阶导数是最准确的线性逼近（谢惠民 P160） *可导是一点处的概念（仅一点可导：黎曼函数乘𝑥） *函数的左右导数具有保号性（本质是极限保号性）（谢惠民 P186） 结论 1 奇函数导函数为偶，偶函数导函数为奇（若 0 点存在则必为 0） 证明思路 由定义推得成立 *此结论可通过归纳推论出𝑛阶导数的情况，也可说明泰勒公式中只含奇/偶项 结论 2 求导的链式法则（教材 P131） 证明思路 利用定义构造函数说明或利用无穷小增量公式 *链式法则亦可推广到𝑛阶情况（讲义 16，实际应用很少） *求导还有一些基础结论，如四则运算与导数混合、初等函数导数、反函数求导法则 *注意反函数求导法则使用时自变量的不同 结论 3 莱布尼茨公式（教材 P141） 证明思路 利用乘积求导公式归纳 结论 4 f(𝑥) = {𝑒 − 1 𝑥2 𝑥 > 0 0 𝑥 = 0 ，则𝑓在 0 处任意阶左导数为 0 证明思路 说明指数收敛速度高于任意阶多项式后归纳得结论 *此函数为任意阶可导但非实解析函数的典型案例（讲义 24），其泰勒多项式恒为 0 结论 5 𝑛为奇数时𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (𝑛) (0) = (−1) 𝑛−1 2 (𝑛 − 1)!（𝑛为偶数是 0 可由奇偶性推知） 证明思路 𝑦′ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛’(𝑥) = 1 1+𝑥 2，可利用(1 + 𝑥 2 )𝑦’ = 0使用莱布尼茨公式递推，或 分解为𝑦’ = 1 2𝑖 ( 1 𝑥−𝑖 − 1 𝑥+𝑖 )直接计算𝑛阶导数 *第二种思路的合理性需要由复变函数论说明，因此暂不适合写过程 *事实上，第一种解法更为本质也更为常用（谢惠民 P168 例题、P176 前三道练习题） *注意拆项法的使用 *关于这个函数的𝑛阶导数有不少可通过归纳得出的结论（教材 P143 第 4、5 题） 结论 6 隐函数与参数方程的求导法则（谢惠民 P171、P174） 证明思路 利用反函数求导法则与链式法则 微分学中值定理（范围：有界闭区间连续、有界开区间可导的函数）