§3-3功能原理机械能守恒定律 前面讨论了质点运动的能量(动能和势能)以及动能定理。在许多实际问题中,需要研究由许多质点组 成的质点系,这时系统内的质点,既可能受到系统内各质点之间相互作用的内力,又可能受到系统外的质 点对它的作用的外力,无论是内力还是外力,都可以是保守力或非保守力。 、质点系的功能原理 作用于系统的力可以分为内力和外力,内力又可分为保守内力和非保守内力。 A=A外力+A1力=A外力+A保守内力+A保守内力 而保守力所作的功等于势能增量的负值 所以 A4+4保外∑E-∑E E :E=Ek+E—系统的动能与势能之和为系统的机械能( Mechanical Energy) 则 A外力+A非保守外力=E一E 其中E=∑E+∑E为系统的末态机械能 E=∑E+∑E0为系统的初态机械能 质点系的功能原理:质点系的机械能的增量等于外力和非保守内力对系统所作的功之和 说明: 1.A外方是作用于系统的外力所做作的功之和;A非保外力是作用于系统的非保守外力所做的功之和 2.当A外=0时,A非保守外力=E-E0 A非保守外方>0时时,EE0>0:A保外力<0时时,EE0<0 当A保守外力=0时,A外=EE0 A外力>0时,EEp>0;A外<0时,E-E0<0 3.外力和内力的划分是相对的。选取的系统不同,其内力和外力就不同。因此应用功能原理时,首 先要选好系统,并且在计算功时要将保守内力的功除外;另外,由于功能原理实际上是从牛顿运动定律导 出的,因此只能适用于惯性系。 4.功是能量变化与转化的量度,是过程量,与过程有关;能量是代表系统在一定状态下所具有的做 功的本领,是状态量,与状态有关 功能原理与质点系动能定理不同之处是功能原理将保守内力作的功用势能差来代替。因此,在用功能 原理解题的过程中,计算功时,要注意将内部保守内力的功除外
二、机械能守恒定律 当A外力=0和A非架守外=0时 E=Eo ∑E。+∑E=∑E0+∑E2—质点系的机械能是守恒的。 或∑E∑E60=-C∑En∑Em) △E4=-△E 上式表明,在满足机械能守恒的条件下,系统内各质点的动能和各种势能可以相互转换,且转换的量 值是相等的,动能的增加量等于势能的减小量,但它们的总和(即总机械能)却保持不变。(二者的转换 是通过质点系内部保守内力做功来实现的。) 解题时注意事项 (1)明确系统中的物体; (2)机械能守恒的前提:只有保守内力做功,其它内力和外力不做功,或它们做功的代数和为零, 或可以忽略不计 (3)只适用于惯性参考系。因为在非惯性参考系中,即使满足上述条件,但由于惯性力可能倣功, 所以机槭能不一定守恒 (4)与惯性参考系的选择有关。因为我们知道,内力总是成对出现的,它们做功的和与参考系的选择 无关,但是外力做功却与参考系有关,它们做功总和是否为零则决定于参考系的选择 例1.如图所示,用一弹簧把两块质量分别为m1和m2的板连接起来。问在m1上需要加多大的压力使 力停止作用后,恰能使m在跳起时m2稍被提起。弹簧的质量忽略不计。 解:取弹簧的原长处O为重力势能和弹性势能的零点,并以此点为坐标轴的原点,如图(a)。当在弹簧 上加上m1和外力F后,弹簧被压缩到y处,如图(b);当外力F撤去后,弹簧被推到y处,如图(c)。在 此过程中,只有重力和弹性力做功,故系统的机械能守恒,设弹簧的劲度系数为k,则有 kyi -m,gy,=cky+m,gy2 整理得 k(y1-y2)=2m1g y 「1 ky,-,g=m,gtky, (1) 1 由图(b)得F+m1g=ky1 (2) 由图(c)可知,欲使m2跳离地面,必须满足 ≥m2g 把(2)和(3)代入(1),得 F=m1g+ky2≥m1g+m2 所以F2(m1+m2)g 例2.在一截面积变化的弯曲管中,稳定流动着不可压缩的密度为ρ的流体,如图(a)所示。在图中