第14章狭义相对论基础 自从十七世纪牛顿的经典理论形成以后直到二十世纪前,它在物理学界一直处于 统治地位历史步入二十世纪时,物理学开始深入扩展到微观高速领域这时发现牛顿力 学在这些领域不再适用物理学的发展要求对牛顿力学以及某些长期认为是不言自明 的基本概念作出根本性的改革从而出现了相对论和量子理论本章介绍相对论的基本 知识在下章里将介绍量子理论的基本知识 s141狭义相对论产生的历史背景 、力学相对性原理和经典时空观 力学是研究物体运动的物体的运动就是它的位置随时间的变化为了定量研究这 种变化必须选择适当的参考系,而力学概念以及力学规律都是对一定的参考系才有意 义的在处理实际问题时,视问题的方便我们可以选择不同的参考系相对于任一参考 系分析研究物体的运动时都要应用基本的力学规律,这就要问对于不同的参考系,基本 力学定律的形式是完全一样的吗?同时运动既然是物体位置随时间的变化那么无论 是运动的描述或是运动定律的说明都离不开长度和时间的测量因此与上述问题紧密 联系而又更根本的问题是:相对于不同的参考系长度和时间的测量结果是一样的吗? 物理学对于这些根本性问题的解答,经历了从牛顿力学到相对论的发展 在牛顿的经典理论中,对第一个问题的回答早在1632年伽利略曾在封闭的船舱里 仔细的观察了力学现象发现在船舱中觉察不到物体的运动规律和地面上有任何不同 他写到:“在这里(只要船的运动是等速的),你在一切现象中观察不出丝毫的改变, 你也不能根据任何现象来判断船是在运动还是停止当你在地板上跳跃的时候你所通 过的距离和你在一条静止的船上跳跃时通过的距离完全相同,”据此现象伽利略得到 如下结论:在彼此作匀速直线运动的所有惯性系中物体运动所遵循的力学规律是完全 相同的,应具有完全相同的数学表达式也就是说,对于描述力学现象的规律而言所有 惯性系都是等价的这称为力学相对性原理. 对第二个问题的回答,牛顿理论认为时间和空间都是绝对的可以脱离物质运动而 存在,并且时间和空间也没有任何联系这就是经典的时空观也称为绝对时空观这种 观点表现在对时间间隔和空间间隔的测量上,则认为对所有的参考系中的观察者对于 任意两个事件的时间间隔和空间距离的测量结果都应该相同.显然这种观点符合人们 日常经验 依据绝对时空观伽利略得到反映经典力学规律的伽利略变换.并在此基础上得出 不同惯性参考系中物体的加速度是相同的在经典力学中物体的质量m又被认为是不 变的,据此牛顿运动定律在这两个惯性系中的形式也就成为相同的了,这表明牛顿第 定律具有伽利略变换下的不变性可以证明,经典力学的其他规律在伽利略变换下也是 不变的所以说伽利略变换是力学相对性原理的数学表述它是经典时空观念的集中体
1 第 14 章 狭义相对论基础 自从十七世纪,牛顿的经典理论形成以后,直到二十世纪前,它在物理学界一直处于 统治地位.历史步入二十世纪时,物理学开始深入扩展到微观高速领域,这时发现牛顿力 学在这些领域不再适用.物理学的发展要求对牛顿力学以及某些长期认为是不言自明 的基本概念作出根本性的改革.从而出现了相对论和量子理论.本章介绍相对论的基本 知识,在下章里将介绍量子理论的基本知识. §14.1 狭义相对论产生的历史背景 一、力学相对性原理和经典时空观 力学是研究物体运动的.物体的运动就是它的位置随时间的变化.为了定量研究这 种变化,必须选择适当的参考系,而力学概念以及力学规律都是对一定的参考系才有意 义的.在处理实际问题时,视问题的方便,我们可以选择不同的参考系.相对于任一参考 系分析研究物体的运动时,都要应用基本的力学规律,这就要问对于不同的参考系,基本 力学定律的形式是完全一样的吗？同时运动既然是物体位置随时间的变化,那么无论 是运动的描述或是运动定律的说明,都离不开长度和时间的测量.因此与上述问题紧密 联系而又更根本的问题是：相对于不同的参考系,长度和时间的测量结果是一样的吗？ 物理学对于这些根本性问题的解答,经历了从牛顿力学到相对论的发展. 在牛顿的经典理论中,对第一个问题的回答,早在 1632 年伽利略曾在封闭的船舱里 仔细的观察了力学现象,发现在船舱中觉察不到物体的运动规律和地面上有任何不同. 他写到：“在这里（只要船的运动是等速的）,你在一切现象中观察不出丝毫的改变, 你也不能根据任何现象来判断船是在运动还是停止,当你在地板上跳跃的时候,你所通 过的距离和你在一条静止的船上跳跃时通过的距离完全相同,”.据此现象伽利略得到 如下结论：在彼此作匀速直线运动的所有惯性系中,物体运动所遵循的力学规律是完全 相同的,应具有完全相同的数学表达式.也就是说,对于描述力学现象的规律而言,所有 惯性系都是等价的,这称为力学相对性原理. 对第二个问题的回答,牛顿理论认为,时间和空间都是绝对的,可以脱离物质运动而 存在,并且时间和空间也没有任何联系.这就是经典的时空观,也称为绝对时空观.这种 观点表现在对时间间隔和空间间隔的测量上,则认为对所有的参考系中的观察者,对于 任意两个事件的时间间隔和空间距离的测量结果都应该相同.显然这种观点符合人们 日常经验. 依据绝对时空观,伽利略得到反映经典力学规律的伽利略变换.并在此基础上,得出 不同惯性参考系中物体的加速度是相同的.在经典力学中,物体的质量 m 又被认为是不 变的,据此,牛顿运动定律在这两个惯性系中的形式也就成为相同的了,这表明牛顿第二 定律具有伽利略变换下的不变性.可以证明,经典力学的其他规律在伽利略变换下也是 不变的.所以说,伽利略变换是力学相对性原理的数学表述,它是经典时空观念的集中体
、狭义相对论产生的历史背景和条件 19世纪后期,随着电磁学的发展,电磁技术得到了越来越广泛的应用,同时对电磁 规律的更加深入的探索成了物理学研究的中心,终于导致了麦克斯韦电磁理论的建立. 麦克斯韦方程组是这一理论的概括和总结它完整的反映了电磁运动的普遍规律,而且 预言了电磁波的存在揭示了光的电磁本质这是继牛顿之后经典理论的又一伟大成就 光是电磁波,由麦克斯韦方程组可知光在真空中传播的速率为 =2.988×10°m/s 它是一个恒量这说明光在真空中传播的速率与光传播的方向无关 按照伽利略变换关系不同惯性参考系中的观察者测定同一光束的传播速度时,所 得结果应各不相同由此必将得到一个结论:只有在一个特殊的惯性系中,麦克斯韦方 程组才严格成立,即在不同的惯性系中,宏观电磁现象所遵循的规律是不同的这样以来, 对于不可能通过力学实验找到的特殊参考系现在似乎可以通过电磁学、光学实验找到 例如若能测出地球上各方向光速的差异,就可以确定地球相对于上述特殊惯性系的运 为了说明不同惯性系中各方向上光速的差异,人们不仅重新研究了早期的一些实 验和天文观察还设计了许多新的实验迈克耳孙—一莫雷实验就是最早设计用来测量 地球上各方向光速差异的著名实验然而在各种不同条件下多次反复进行测量都表明 在所有惯性系中,真空中光沿各个方向上传播的速率都相同,即都等于c 这是个与伽利略变换乃至整个经典力学不相容的实验结果,它曾使当时的物理学 界大为震动为了在绝对时空观的基础上统一的说明这个实验和其他实验结果,一些物 理学家如洛伦兹等曾提出各种各样的假设,但都未能成功 1905年,26岁的爱因斯坦另辟蹊径他不固守绝对时空观和经典力学的观念,而是 在对实验结果和前人工作进行仔细分析研究的基础上从全新的角度来考虑所有问题 首先他认为自然界是对称的包括电磁现象在内的一切物理现象和力学现象一样都应 满足相对性原理,即在所有的惯性系中物理定律及其数学表达式都是相同的,因而用任 何方法都不能确定特殊的参考系;此外,他还指出,许多实验都已表明,在所有的惯性系 中测量,真空中的光速都是相同的于是爱因斯坦提出了两个基本假设并在此基础上建 立了新的理论一一狭义相对论
2 现. 二、狭义相对论产生的历史背景和条件 19 世纪后期,随着电磁学的发展,电磁技术得到了越来越广泛的应用,同时对电磁 规律的更加深入的探索成了物理学研究的中心,终于导致了麦克斯韦电磁理论的建立. 麦克斯韦方程组是这一理论的概括和总结,它完整的反映了电磁运动的普遍规律,而且 预言了电磁波的存在,揭示了光的电磁本质.这是继牛顿之后经典理论的又一伟大成就. 光是电磁波,由麦克斯韦方程组可知,光在真空中传播的速率为 2 988 10 m/s 1 8 0 0 = c = . 它是一个恒量,这说明光在真空中传播的速率与光传播的方向无关. 按照伽利略变换关系,不同惯性参考系中的观察者测定同一光束的传播速度时,所 得结果应各不相同.由此必将得到一个结论：只有在一个特殊的惯性系中,麦克斯韦方 程组才严格成立,即在不同的惯性系中,宏观电磁现象所遵循的规律是不同的.这样以来, 对于不可能通过力学实验找到的特殊参考系,现在似乎可以通过电磁学、光学实验找到, 例如若能测出地球上各方向光速的差异,就可以确定地球相对于上述特殊惯性系的运 动. 为了说明不同惯性系中各方向上光速的差异,人们不仅重新研究了早期的一些实 验和天文观察,还设计了许多新的实验.迈克耳孙——莫雷实验就是最早设计用来测量 地球上各方向光速差异的著名实验.然而在各种不同条件下多次反复进行测量都表明： 在所有惯性系中,真空中光沿各个方向上传播的速率都相同,即都等于 c. 这是个与伽利略变换乃至整个经典力学不相容的实验结果,它曾使当时的物理学 界大为震动.为了在绝对时空观的基础上统一的说明这个实验和其他实验结果,一些物 理学家,如洛伦兹等,曾提出各种各样的假设,但都未能成功. 1905 年,26 岁的爱因斯坦另辟蹊径.他不固守绝对时空观和经典力学的观念,而是 在对实验结果和前人工作进行仔细分析研究的基础上,从全新的角度来考虑所有问题. 首先,他认为自然界是对称的,包括电磁现象在内的一切物理现象和力学现象一样,都应 满足相对性原理,即在所有的惯性系中物理定律及其数学表达式都是相同的,因而用任 何方法都不能确定特殊的参考系；此外,他还指出,许多实验都已表明,在所有的惯性系 中测量,真空中的光速都是相同的.于是爱因斯坦提出了两个基本假设,并在此基础上建 立了新的理论——狭义相对论
§142狭义相对论的基本原理 狭义相对论的两个基本假设 爱因斯坦在对实验结果和前人工作进行仔细分析研究的基础上,提出了狭义相对 论的如下两个基本假设 1)相对性原理:基本物理定律在所有惯性系中都保持相同形式的数学表达式即 切惯性系都是等价的它是力学相对性原理的推广和发展 2)光速不变原理:在一切惯性系中,光在真空中沿各个方向传播的速率都等于同 一个恒量c,且与光源的运动状态无关 狭义相对论的这两个基本假设虽然非常简单但却与人们已经习以为常的经典时 空观及经典力学体系不相容确认两个基本假设就必须彻底摒弃绝对时空观念,修改伽 利略坐标变换关系和牛顿力学定律等使之符合狭义相对论两个基本原理的要求另 方面应注意到伽利略变换关系和牛顿力学定律是在长期的实践中证明是正确的因此 它们应该是新的坐标变换式和新的力学定律在一定条件下的近似即狭义相对论应包 含牛顿力学理论在内牛顿的经典力学理论是狭义相对论在一定条件(低速运动情况) 下的近似 尽管狭义相对论的某些结论可能会使初学者感到难于理解,但是一百多年来大量 实验事实表明,依据上述两个基本假设建立起来的狭义相对论,确实比经典理论更真 实、更全面、更深刻地反映了客观世界的规律性. 二、洛伦兹变换 为简单起见如图14所示,设惯性系S"(Oxyz)以速度υ相对于惯性系S(O xyz)沿x(x)轴正向作匀速直线运动x轴与x轴重合y和z轴分别与y和z轴 平行S系原点O与S'系原点O重合时两惯性坐标系在原点处的时钟都指示零点设P 为观察的某一事件在S系 观察者看来它是在t时刻 P(x,y,=) 发生在(xy,z)处的而在 (x’,y,=) S系观察者看来它却在t 时刻发生在(x'y,z)处 下面我们就来推导这同一 事件在这两惯性系之间的 时空坐标变换关系 在y(y)方向和z(z)方 图141洛伦兹坐标变换 向上,S系和S‘系没有相对 运动则有:y=y,z=z下面仅考察(x、t)和(x、t)之间的变换由于时间和空间的均匀 性,变换应是线性的在考虑t=t=0时两个坐标系的原点重合,则x和(x+ut)只能相
3 §14.2 狭义相对论的基本原理 一、狭义相对论的两个基本假设 爱因斯坦在对实验结果和前人工作进行仔细分析研究的基础上,提出了狭义相对 论的如下两个基本假设 1）相对性原理：基本物理定律在所有惯性系中都保持相同形式的数学表达式,即 一切惯性系都是等价的.它是力学相对性原理的推广和发展. 2）光速不变原理：在一切惯性系中,光在真空中沿各个方向传播的速率都等于同 一个恒量 c,且与光源的运动状态无关. 狭义相对论的这两个基本假设虽然非常简单,但却与人们已经习以为常的经典时 空观及经典力学体系不相容.确认两个基本假设,就必须彻底摒弃绝对时空观念,修改伽 利略坐标变换关系和牛顿力学定律等,使之符合狭义相对论两个基本原理的要求.另一 方面应注意到,伽利略变换关系和牛顿力学定律是在长期的实践中证明是正确的,因此 它们应该是新的坐标变换式和新的力学定律在一定条件下的近似.即狭义相对论应包 含牛顿力学理论在内,牛顿的经典力学理论是狭义相对论在一定条件（低速运动情况） 下的近似. 尽管狭义相对论的某些结论可能会使初学者感到难于理解,但是一百多年来大量 实验事实表明,依据上述两个基本假设建立起来的狭义相对论,确实比经典理论更真 实、更全面、更深刻地反映了客观世界的规律性. 二、洛伦兹变换 为简单起见,如图 14.1 所示,设惯性系 S'（O' x'y' z' ）以速度υ相对于惯性系 S（O xy z）沿 x（x'） 轴正向作匀速直线运动,x'轴与 x 轴重合,y' 和 z' 轴分别与 y 和 z 轴 平行,S 系原点 O 与 S '系原点 O '重合时两惯性坐标系在原点处的时钟都指示零点.设 P 为观察的某一事件,在 S 系 观察者看来,它是在 t 时刻 发生在（x,y, z）处的,而在 S'系观察者看来,它却在 t ' 时刻发生在（x',y', z'）处. 下面我们就来推导这同一 事件在这两惯性系之间的 时空坐标变换关系. 在 y (y')方向和 z(z')方 向上,S 系和 S '系没有相对 运动,则有：y' =y，z'=z,下面仅考察(x、t)和(x'、t')之间的变换.由于时间和空间的均匀 性,变换应是线性的,在考虑 t=t'=0 时两个坐标系的原点重合,则 x 和(x' +υt' )只能相 x(x') ( ' , ' , ') ( , , ) x y z P x y z y y' z z' o o' 图14.1 洛伦兹坐标变换
差一个常数因子,即 x=y(x'+ur) (14.1) 由相对性原理知所有惯性系都是等价的,对S系来说,S系是以速度υ沿x的负方向运 动,因此x和(x-Ut)也只能相差一个常数因子,且应该是相同的常数,即有 x=y(x-ut 为确定常数y,考虑在两惯性系原点重合时(t==0),在共同的原点处有一点光源发出一 光脉冲,在S系和S系都观察到光脉冲以速率c向各个方向传播所以有 x=ct. x=ct (14.3) 将式(143)代入式(141)和式(142)并消去t和t后得 1 将上式中的y代入式(142)得 x-U I (146) √1-υ2/c2 另由式(141)和(142)求出t并代入γ的值得 I-Ux/c r'=yt+() 于是得到如下的坐标变换关系 x-ut x+u 1-υ2/ 1-u2/c2 y=) (14.7) 逆变换 /=I-ux/c2 r+ux/c 这种新的坐标变换关系称为洛伦兹( H.A Lorentz,1853-1928)变换显然, 讨论:1)从洛伦兹变换中可以看出不仅x是x、t的函数而且t也是x、t的 函数并且还都与两个惯性系之间的相对运动速度有关这样洛伦兹变换就集中的反映 了相对论关于时间、空间和物体运动三者紧密联系的新观念这是与牛顿理论的时间 空间与物体运动无关的绝对时空观截然不同的 2)在υ<<c的情况下洛伦兹变换就过渡到伽利略变换 3)洛伦兹变换中x和t都必须是实数所以速率U必须满足υ≤c.于是我们就得到 了一个十分重要的结论:一切物体的运动速度都不能超过真空中的光速c,或者说真空
4 差一个常数因子,即 x = (x'+ t') (14.1) 由相对性原理知,所有惯性系都是等价的,对 S'系来说,S 系是以速度υ沿 x' 的负方向运 动,因此,x' 和(x -υt)也只能相差一个常数因子,且应该是相同的常数,即有 x'= (x − t) (14.2) 为确定常数,考虑在两惯性系原点重合时(t=t'=0),在共同的原点处有一点光源发出一 光脉冲,在 S 系和 S'系都观察到光脉冲以速率 c 向各个方向传播.所以有 x = ct, x'= ct' (14.3) 将式(14.3)代入式(14.1)和式(14.2)并消去 t 和 t' 后得 2 2 1 1 − / c = (14.5) 将上式中的代入式(14.2)得 2 2 1 c x t x / ' − − = (14.6) 另由式(14.1)和(14.2)求出 t' 并代入的值得 2 2 2 2 1 1 1 c x c t t / / ' ( ) − − = − = + 于是得到如下的坐标变换关系 − − = = = − − = 2 2 2 2 2 1 1 c t x c t z z y y c x t x / / ' ' ' / ' 逆变换 ⎯x⎯'⎯x,t'⎯t,⎯→⎯−→ − + = = = − + = 2 2 2 2 2 1 1 c t x c t z z y y c x t x / ' '/ ' ' / ' ' (14.7) 这种新的坐标变换关系称为洛伦兹(H.A.Lorentz,1853—1928)变换.显然, 讨论：1）从洛伦兹变换中可以看出,不仅 x' 是 x、t 的函数,而且 t' 也是 x、t 的 函数,并且还都与两个惯性系之间的相对运动速度有关,这样洛伦兹变换就集中的反映 了相对论关于时间、空间和物体运动三者紧密联系的新观念.这是与牛顿理论的时间、 空间与物体运动无关的绝对时空观截然不同的. 2）在 c 的情况下,洛伦兹变换就过渡到伽利略变换. 3）洛伦兹变换中,x'和 t'都必须是实数,所以速率υ必须满足 c .于是我们就得到 了一个十分重要的结论：一切物体的运动速度都不能超过真空中的光速 c ,或者说真空
中的光速c是物体运动的极限速度 4)时钟和尺子 例题141北京与上海直线相距1000km,在某一时刻从两地同时各开出一列火车 现有一艘飞船沿从北京到上海的方向在高空掠过速率恒为υ=外km/s求宇航员测得 的两列火车开出时刻的间隔哪一列先开出? 解:取地面为S系坐标原点在北京,以北京到上海的方向为x轴正方向北京和上 海的位置坐标分别为x1和x2取飞船为S'系 现已知在S系,两地距离为 x 而两列火车开出时刻的间隔是 t2-1=0 由洛伦兹变换可得 9×103 (2-4)-=(3-x)-03×10y2×10 n2-II √1-υ2/e21-(9×10)23×103) 这一负的结果表示:宇航员发现从上海发车的时刻比从北京发车的时刻早10-7s 三、洛伦兹速度变换关系 洛伦兹速度变换关系讨论的是同一运动质点在S系和S系中速度的变换关系在S 系的观察者测得该物体速度的三个分量为 dt dt dt 在S系的观察者测得该物体速度的三个分量为 dy dt' (14.10) dt 为了求得上列不同惯性系速度各分量之间的变化关系我们对洛伦兹变换式中各 式求微分得 1-U2/c2 dy’=d (14.11) d=d dt-udx/c
5 中的光速 c 是物体运动的极限速度. 4)时钟和尺子。 例题 14.1 北京与上海直线相距 1000km,在某一时刻从两地同时各开出一列火车. 现有一艘飞船沿从北京到上海的方向在高空掠过,速率恒为 = 9km/s.求宇航员测得 的两列火车开出时刻的间隔,哪一列先开出？ 解：取地面为 S 系,坐标原点在北京,以北京到上海的方向为 x 轴正方向,北京和上 海的位置坐标分别为 x1 和 x2.取飞船为 S '系. 现已知在 S 系,两地距离为 10 m 6 x = x2 − x1 = 而两列火车开出时刻的间隔是 t = t 2 −t 1 = 0 由洛伦兹变换可得 10 s 1 9 10 3 10 10 3 10 9 10 1 7 3 2 8 2 6 8 2 3 2 2 2 1 2 2 1 2 1 − − − − = − − − − − = ( ) /( ) ( ) / ( ) ( ) ' ' c x x c t t t t 这一负的结果表示：宇航员发现从上海发车的时刻比从北京发车的时刻早 10 s −7 . 三、洛伦兹速度变换关系 洛伦兹速度变换关系讨论的是同一运动质点在 S 系和 S'系中速度的变换关系.在 S 系的观察者测得该物体速度的三个分量为 dt dz u dt dy u dt dx ux = , y = , z = (14.9) 在 S'系的观察者测得该物体速度的三个分量为 ' ' , ' ' ' , ' ' ' ' dt dz u dt dy u dt dx u x = y = z = (14.10) 为了求得上列不同惯性系速度各分量之间的变化关系,我们对洛伦兹变换式中各 式求微分,得 − − = = = − − = 2 2 2 2 2 1 1 c dt dx c dt dz dz dy dy c dx dt dx / / ' ' ' / ' (14.11)